2025年高考数学一轮复习讲义 考点归纳与方法总结 第06练 函数的概念与表示（精练：基础+重难点）（含解析）

2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）第06练函数的概念与表示（精练）1.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单应用.一、填空题1．（2023·北京·高考真题）已知函数，则．【答案】1【分析】根据给定条件，把代入，利用指数、对数运算计算作答.【详解】函数，所以.故答案为：12．（2022·浙江·高考真题）已知函数则；若当时，，则的最大值是．【答案】/【分析】结合分段函数的解析式求函数值，由条件求出的最小值,的最大值即可.【详解】由已知，，所以，当时，由可得，所以，当时，由可得，所以，等价于，所以，所以的最大值为.故答案为：，.3．（2022·北京·高考真题）设函数若存在最小值，则a的一个取值为；a的最大值为．【答案】0（答案不唯一）1【分析】根据分段函数中的函数的单调性进行分类讨论，可知，符合条件，不符合条件，时函数没有最小值，故的最小值只能取的最小值，根据定义域讨论可知或，

解得.【详解】解：若时，，∴；若时，当时，单调递增，当时，，故没有最小值，不符合题目要求；若时，当时，单调递减，，当时，∴或，解得，综上可得；故答案为：0（答案不唯一），14．（2022·北京·高考真题）函数的定义域是．【答案】【分析】根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到方程组，解得即可；【详解】解：因为，所以，解得且，故函数的定义域为；故答案为：5．（2021·浙江·高考真题）已知，函数若，则.【答案】2【分析】由题意结合函数的解析式得到关于的方程，解方程可得的值.【详解】，故，故答案为：2.【A级

基础巩固练】06讲A组2.0一、单选题1．（23-24高一下·山西临汾·阶段练习）的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据具体函数定义域的要求列不等式组求解.【详解】要使函数有意义，必须满足，解得，函数的定义域为.故选；B.2．（23-24高二下·河北承德·开学考试）下列函数中，表示同一函数的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】从函数的定义域和对应法则两个方面是否都相同考查函数即得.【详解】对于A项，，与的对应法则不同，故不是同一函数，A项错误；对于B项，的定义域为的定义域为，故两函数定义域不同，故与不是同一函数，B项错误；对于C项，与的定义域相同，对应法则也相同，C项正确；对于项，，与的对应法则不同，故不是同一函数，D项错误.故选:C.3．（2024·安徽·模拟预测）已知，，则（

）．A． B．C． D．【答案】B【分析】根据函数定义域和值域的求法可分别确定集合，由交集定义可得结果.【详解】由得：或，即；，，即，.故选：B.4．（23-24高一下·江西南昌·期中）函数的定义域为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据函数的定义列出不等式解得即可.【详解】根据题意得，解得即.故选：D．5．（23-24高一下·广东广州·期中）已知函数，若，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】结合二次函数性质判断函数的单调性，再借助单调性求解不等式作答.【详解】因为在上单调递增，在上单调递增，且连续不断，可知函数在R上单调递增，则，可得，解得，所以实数的取值范围是.故选：A.6．（23-24高二下·浙江宁波·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由求解即可【详解】函数的定义域为，由，得，则函数的定义域为故选：C7．（23-24高一上·江苏盐城·阶段练习）函数满足，则函数（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由可得，运用解方程组法求解析式即可.【详解】因为①，所以②，得，即.故选：B.8．（2024·江苏南通·二模）已知对于任意，都有，且，则（

）A．4 B．8 C．64 D．256【答案】D【分析】由题意有，得，求值即可.【详解】由，当时，有，由，则有.故选：D9．（2024高一·全国·专题练习）已知的定义域为，则的定义域为（）A． B． C． D．【答案】C【详解】利用抽象函数定义域的解法即可得解.【分析】因为的定义域为，即，则，所以，所以的定义域为.故选：C.10．（2024·江西南昌·二模）已知，则不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分别在条件下化简不等式求其解可得结论.【详解】当时，不等式可化为，所以，可得；当时，不等式可化为，所以，且，所以，所以不等式的解集是，故选：B.11．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用换元法令，代入运算求解即可.【详解】令，则，由于，则，可得，所以.故选：B.二、多选题12．（2024高三·全国·专题练习）(多选)下列各组函数中，表示同一函数的是（

）A．f(x)＝elnx，g(x)＝xB．f(x)＝x2－2x－1，g(s)＝s2－2s－1C．f(x)＝，g(x)＝sinxD．f(x)＝|x|，g(x)＝【答案】BD【解析】略13．（23-24高一上·河南南阳·期末）已知函数，若存在最小值，则实数a的可能取值为（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】CD【分析】运用指数函数的单调性，求得的的值域，再由对数函数的单调性，讨论对称轴和区间的关系，可得的值域，由题意列出不等式，求解即可得到所求范围．【详解】函数函数，当时，的范围是；时，，，由题意存在最小值，，故选：CD．14．（23-24高一上·河北保定·期末）已知函数，则下列命题正确的是（

）A．的值域为B．的值域为C．若函数在上单调递减，则的取值范围为D．若在上单调递减，则的取值范围为【答案】AC【分析】由已知结合二次函数及分段函数的值域及单调性依次判断各选项即可得出结果.【详解】当时，的值域为，当时，的值域不为，A正确，B错误.若函数在上单调递减，则的取值范围为，C正确.若在上单调递减，则的取值范围为D错误.故选：AC三、填空题15．（23-24高二下·广东汕头·阶段练习）函数的定义域为【答案】且【分析】根据函数解析式，建立不等式求解即可.【详解】要使函数有意义，则需且，解得且，所以函数定义域且.故答案为：且16．（2024高三·全国·专题练习）设函数f(x)＝若f(2)＝4，则实数a的取值范围是．【答案】(－∞，2]【详解】因为f(2)＝4，所以2∈[a，＋∞)17．（2024高三·全国·专题练习）若函数f(x)的定义域为[0，2]，则函数f(x－1)的定义域为．【答案】[1，3]【详解】∵f(x)的定义域为[0，2]，∴0≤x－1≤2，即1≤x≤3，∴函数f(x－1)的定义域为[1，3].18．（2024·湖北武汉·二模）已知函数的定义域为，则函数的定义域为.【答案】【分析】借助函数定义域的定义计算即可得.【详解】由函数的定义域为，则有，令，解得.故答案为：.19．（2024高三·上海·专题练习）若函数的值域为，则实数a的值为．【答案】2【分析】分离常数得出，根据，即可得出该函数值域为，从而得出a的值．【详解】由，∵，∴，又该函数的值域为，∴．故答案为：2．20．（2024高一·全国·专题练习）若函数的定义域为，则的范围为.【答案】【分析】将条件转化为不等式的任意性问题，然后取特殊值得到的取值范围，再验证该范围下的都符合条件.【详解】由于函数的定义域是，故条件即为，这等价于对任意实数成立.若对任意实数成立，取知，即；若，则对任意实数都有，故对任意实数成立.综上，的取值范围是.故答案为：.四、解答题21．（23-24高一上·广东潮州·期中）已知函数.(1)求，的值；(2)若，求实数的值.【答案】(1)，(2)【分析】（1）利用函数对应关系代入求解即可；（2）令，讨论的范围解方程求解得答案.【详解】（1）因为，且，所以.因为，所以.（2）依题意，令，若，则，解得，与矛盾，舍去；若，则，解得，故，解得，所以实数的值为；综上所述：的值为.22．（23-24高一上·湖南衡阳·期末）已知二次函数满足．(1)求的解析式．(2)求在上的值域．【答案】(1)(2)【分析】（1）令，则，利用换元法代入可求得的解析式；（2）由（1）可得函数的解析式，结合二次函数的性质分析可得答案.【详解】（1）令，则，，∴.（2）因为，所以的图象对称轴为，在上递减，在上递增，∴，，即的值域为.23．（23-24高一下·河南·开学考试）已知函数满足．(1)求的解析式；(2)求函数在上的值域．【答案】(1)(2)．【分析】（1）利用换元法进行求解即可；（2）根据二次函数的单调性进行求解即可.【详解】（1）令，得，则，故的解析式为．（2）由题意得，函数的对称轴为，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，，故在上的值域为．24．（23-24高一上·四川宜宾·期中）已知(1)求，的值；(2)求满足的实数a的值；(3)求的定义域和值域．【答案】(1)，(2)(3)定义域为，值域为【分析】根据自变量所属范围，求分段函数求函数值；根据函数值，求自变量值；确定分段函数的定义域值域.【详解】（1），.（2）由或，解得.（3）

的定义域为，值域为25．（22-23高一上·吉林长春·阶段练习）已知函数在上有定义，且满足.(1)求函数的解析式；(2)若，对均有成立，求实数m的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】(1)换元法和配凑法可求函数解析式.(2)依题意，，设，则在区间内恒成立，用一次函数性质求解.【详解】（1），∴，又∵，∴.（2），对均有成立，在上单调递增，，依题意有对均有成立，即在时恒成立，∴，解得，∴实数m的取值范围是.【B级

能力提升练】一、单选题1．（23-24高二下·福建三明·阶段练习）下列各组函数相等的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】分别求每个选项中两个函数的定义域和对应关系，即可判断是否为相同函数，进而可得正确选项.【详解】对于A中，函数的定义域为R，的定义域为，所以定义域不同，不是相同的函数，故A错误；对于B中，函数的定义域为R，的定义域为，所以定义域不同，不是相同的函数，故B错误；对于C中，函数的定义域为R，与的定义域为，所以定义域不同，所以不是相同的函数,故C错误；对于D中，函数与的定义域均为R，可知两个函数的定义域相同，对应关系也相同，所以是相同的函数,故D正确；故选：D.2．（2024高三·全国·专题练习）函数f(x)＝的定义域为（

）A．(－∞，3] B．(1，＋∞)C．(1，3] D．[3，＋∞)【答案】C【详解】解析：依题意log(x－1)＋1≥0，即log(x－1)≥－1，∴解得1<x≤3．故选C．3．（2024·吉林·模拟预测）已知若，则实数的值为（

）A．1 B．4 C．1或4 D．2【答案】B【分析】分和，求解，即可得出答案.【详解】当时，，则，解得：（舍去）；当时，，则，解得：.故选：B.4．（23-24高一上·北京通州·期末）下列函数中，其定义域和值域分别与函数的定义域和值域相同的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用幂函数、指数函数、对数函数的定义域、值域一一判定选项即可.【详解】易知，且，，故其定义域与值域均为.显然A选项定义域与值域均为，故A错误；因为，且恒成立，即其定义域与值域均为，故B错误；，即其定义域为，值域为，故C错误；，且，故其定义域与值域均为，即D正确.故选：D5．（23-24高一上·湖北·阶段练习）已知函数的定义域是，则函数的定义域为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由函数定义域的概念及复合函数定义域的求解方法运算求解即可.【详解】因为函数的定义域是，所以，所以，所以函数的定义域为，所以要使函数有意义，则有，解得，所以函数的定义域为.故选：A.6．（23-24高一下·江西·阶段练习）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】依据分段函数的单调性知，函数g(x)每一段均需单调增，且每相邻两段函数，右段函数的左端点函数值不小于左段函数右端点函数值，列出不等式组求解即可.【详解】由题：函数在上单调递增，故，解得：,故选：C.7．（23-24高一上·北京·期中）若函数的值域为，则实数的取值范围为（

）.A． B． C． D．【答案】D【分析】求出函数在上的值域，由已知可得函数在上的值域包含，再列出不等式求解即得.【详解】当时，函数在上单调递减，在上的值域为，因为函数在R上的值域为，则函数在上的值域包含，显然，否则当时，，不符合题意，于是函数在上单调递减，其值域为，因此，则，所以实数的取值范围为.故选：D8．（23-24高一上·河南商丘·期中）已知，则函数的值域为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用换元法求得的解析式，进而结合二次函数的性质求解即可.【详解】设，则，，，，函数在上单调递减，当时，，函数的值域为.故选：C.9．（2024·全国·模拟预测）已知，函数是上的减函数，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据分段函数的单调性和指数函数的单调性列出不等式组，解之即可直接得出结果.【详解】因为函数是减函数，所以．又因为函数5）图像的对称轴是直线，所以函数在上单调递减，在上单调递增．又函数是上的减函数，所以，解得，所以的取值范围是．故选:B．10．（23-24高二上·广东广州·期末）函数的最大值是（

）A． B． C． D．4【答案】B【分析】设，根据辅助角公式，结合三角函数的性质求解.【详解】由，解得，故的定义域为.设，则，其中，，∵，则，∴当，即时，取最大值，即函数的最大值是.故选：B.11．（2024·四川绵阳·三模）已知函数，存在使得，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分a≤0和a＞0两种情况讨论即可得到答案．【详解】，当a≤0时，当x＞0时，，f(x)如图：f(x)≥0恒成立，不满足题意；当a＞0时，，f(x)如图：当时，．故选：D．二、多选题12．（23-24高一下·内蒙古鄂尔多斯·开学考试）下列函数中，最小值是4的有（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】A选项，举出反例；B选项，利用基本不等式求出最小值；C选项，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值；D选项，求出定义域，平方后求出，得到答案.【详解】A选项，当时，，A错误；B选项，，当且仅当，即时取最小值，B正确；C选项，因为，所以，，故，当且仅当，即时，等号成立，C错误；D选项，易知，且其定义域为，而，即当或时,取最小值，的最小值为，D正确故选：BD13．（23-24高一上·广东广州·期末）已知定义域为的函数，使，则下列函数中符合条件的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】根据特值以及基本不等式判断即可.【详解】对于A选项，，故A选项符合题意；对于B选项，，当，即时等号成立，故B选项不符合题意；对于C选项，，故C选项符合题意；对于D选项，由题意得，故D选项不符合题意.故选：AC.14．（23-24高一下·福建·期中）已知函数，则以下说法正确的是（

）A．若，则是R上的减函数B．若，则有最小值C．若，则的值域为D．若，则存在，使得【答案】BC【分析】把选项中的值分别代入函数，利用此分段函数的单调性判断各选项.【详解】对于A，若，，在和上单调递减，故A错误；对于B，若，，当时，，在区间上单调递减，，则有最小值1,故B正确；对于C，若，，当时，，在区间上单调递减，；当时，，在区间上单调递增，，则的值域为，故C正确；对于D，若，当时，；当，即时，；当，即时，，即当时，，所以不存在，使得，故D错误.故选：BC三、填空题15．（23-24高一下·安徽安庆·开学考试）若函数的定义域为，则函数的定义域为【答案】【分析】由的取值范围求出的取值范围，再令，求出的范围即可.【详解】当时，所以，所以，即，则，即，解得，所以函数的定义域为.故答案为：16．（23-24高一上·江苏徐州·期中）已知函数对任意实数都有，则.【答案】【分析】由可列出方程组：，从而求解.【详解】由题意得：对任意实数都有，所以：，解得：.故答案为：.17．（23-24高一上·山东·期中）已知，则当时，的最小值为．【答案】1【分析】先利用换元法得到，进而得到，再利用基本不等式求解.【详解】解：因为，令，则，所以，所以.所以当时，，，当且仅当，即时，等号成立，故答案为：118．（2024·上海松江·二模）已知，函数，若该函数存在最小值，则实数的取值范围是.【答案】或【分析】令，，，，分类讨论的取值范围，判断，的单调性，结合存在最小值，列出相应不等式，综合可得答案．【详解】由题意，令，，，，当时，在上单调递减，在上单调递减，则在上的值域为，因为存在最小值，故需，解得，结合，此时；当时，在上单调递减，在上单调递增，则在上的值域为，因为存在最小值，故需，即，解得，这与矛盾；当时，在上单调递减，且在上的值域为，，此时存在最小值2；则实数的取值范围为或．故答案为：或．四、解答题19．（23-24高一上·浙江杭州·期中）求下列函数的值域：(1)(2)(3)【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）（3）根据题意结合基本不等式求值域；（2）换元令，结合二次函数求值域.【详解】（1）因为，则，可得，当且仅当，即时，等号成立，所以函数的值域为.（2）令，则，可得，当时，等号成立，所以函数的值域为.（3）因为，则，可得，当且仅当，即时，等号成立，即，所以函数的值域为.20．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）已知函数满足，函数满足．(1)求函数和的解析式；(2)求函数的值域．【答案】(1)，(2)【分析】（1）利用换元法求出的解析式，利用解方程组法求出的解析式；（2）利用换元法求函数的值域.【详解】（1）令，即，所以，即，因为①，②，由①②解得，.（2）因为，令，所以，因为，所以，所以该函数的值域为.21．（23-24高一上·河北·阶段练习）已知二次函数的解为.(1)求；(2)证明：也是方程的解，并求的解集.【答案】(1)(2)证明见解析，【分析】（1）根据题意列式求解即可；（2）根据，代入证明即可，展开解方程即可.【详解】（1）因为的解为，则，解得.（2）由（1）可知：，且，则，即也是方程的解，对于，即，整理得：，解得，所以的解集为.【C级

拓广探索练】一、单选题1．（23-24高三下·湖北·阶段练习）以表示数集中的最小值，已知不全为的实数，，二元函数，则的最大值为（

）A．0 B． C．1 D．2【答案】C【分析】首先求出，再分、两种情况讨论，即可求出的最大值.【详解】因为，又实数，不全为，且，所以；当时；当，时；当时，①若，即，则，所以，②若，即，所以，③若，即，则，所以，当时，所以，综上，当时，；当时，，，则，所以，综上可得，故选：C．【点睛】关键点点睛：本题关键是分、两种情况讨论得到当时，，当时.2．（23-24高一下·湖南·阶段练习）已知的值域为，，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】考虑时，由指数函数的单调性得到取值范围，此时不成立，舍去，再考虑，结合基本不等式求出函数值域，A错误；考虑，求出与时的函数值取值范围，进而得到不等式，求出答案.【详解】①若，当时，在上单调递增，此时，则，又不成立，所以此时不成立，排除选项D；②若当时，，当时，，当且仅当时，等号成立，则函数的值域，满足；排除选项A；③若，当时，在上单调递减，此时，当时，，当且仅当时，等号成立，又函数的值域满足，则解得.综上所述：.故选：C.3．（23-24高一上·浙江·期末）已函数，若对于定义域内任意一个自变量都有，则的最大值为（

）A．0 B． C．1 D．2【答案】B【分析】由已知对的取值进行分类讨论，结合的取值范围求出函数的定义域，再结合函数的性质分别进行求解即可.【详解】若，则恒成立，故符合题意；若.①当即时，，此时函数的定义域为，所以恒成立，所以：符合题意；②当即时，，此时函数的定义域为，则，所以恒成立，所以：符合题意；③当即时，函数的定义域为且则取，则，令，当时，，可以取得负值，故不符合题意.若，则函数定义域为且，令，则.当且时，，可以取得负值，故不符合题意；综上，，即的最大值为.故选：B【点睛】关键点点睛：对的取值进行分类讨论，分别判断是否恒成立.二、多选题4．（23-24高一上·江苏泰州·期末）已知函数，若的值域为，则实数的值可以是（

）A． B． C． D．【答案】BD【分析】分别求出值域，根据值域的并集为建立不等式，逐项判断即可.【详解】当时，单调递增，其值域为，当时，单调递增，其值域为，由题意的值域为，所以，所以，记，且，在一个坐标系内作出函数图象，如图：

因为，所以，又因为，所以，所以，要使，则，因为，所以，因为，所以，所以，结合选项可知，实数的值可以是，.故选：BD5．（23-24高一上·贵州毕节·期末）设表示不超过的最大整数，如．设（且），则下列选项正确的有（

）A．函数的值域为B．若，则C．函数的值域为D．