第1章集合与逻辑单元综合检测

第1章集合与逻辑单元综合检测一、填空题1．已知全集，，则【答案】【分析】根据补集的定义直接求解.【解析】由题全集，，所以.故答案为：.2．下列写法中，正确的有①；②；③；④.【答案】①【分析】根据元素与集合，集合与集合关系可判断.【解析】空集是任何非空集合的真子集，故①正确，②错误，，故③错误，空集是不含任何元素的集合，故④错误.故答案为：①.3．集合，则实数【答案】2【分析】根据集合间关系可知，即可求出.【解析】因为，所以，解得，故答案为：24．陈述句“存在实数x，”的否定为.【答案】所有实数x，【分析】根据存在量词命题的否定形式可得.【解析】由存在量词命题的否定形式可知：“存在实数x，”的否定为“所有实数x，”.故答案为：所有实数x，5．已知集合，用列举法表示为.【答案】【分析】根据集合的意义直接表示集合.【解析】，故答案为：.6．用反证法证明“若,则或”时,应假设.【答案】且【分析】根据反证法，假设原命题的结论的否定即可.【解析】“或”的否定为“且”.故答案为：且7．已知集合，且，则.【答案】【分析】根据题意，列出方程，求得的值，结合集合元素的互异性，即可求解.【解析】因为，所以或，解得或，当时，，，集合不满足元素的互异性，所以舍去；当时，经检验，符合题意，所以．故答案为：．8．已知，.若是的充分非必要条件，则实数m的取值范围是.【答案】【点睛】由是的充分非必要条件，集合的包含关系列出不等式组，解之即可.【解析】因为是的充分非必要条件，所以是的真子集，则（不同时取等号），解得，所以实数m的取值范围是.故答案为：.9．集合，集合，则．【答案】【分析】根据给定条件，求出方程组的解即可.【解析】依题意，由，解得或，所以.故答案为：10．如图，已知是全集，、、是的三个子集用交、并、补关系将图中的阴影部分可表示为

【答案】【分析】根据韦恩图及集合的运算表示即可.【解析】由韦恩图可知阴影部分表示集合中集合的补集与集合的公共部分，所以可以表示为.故答案为；11．若集合，，若满足的所有m的值组成的集合记为Q，则Q的真子集个数为．【答案】7【分析】根据子集关系可分类求解，进而得到，根据子集的个数公式即可求解.【解析】由可得，由于，所以，当时，，当时，则，解得，当时，则，解得，所以,故Q的真子集个数为，故答案为：712．集合有10个元素，设M的所有非空子集为每一个中所有元素乘积为，则.【答案】1【分析】分析可得M的所有非空子集为可分为4类，分别分析4类子集中，所有元素乘积，综合即可得答案.【解析】集合M的所有非空子集为可以分成以下几种情况①含元素0的子集共有个，这些子集中所有元素乘积；②不含元素0，含元素1且含有其他元素的子集有个③不含元素0，不含元素1，但含其他元素的子集有个其中②③中元素是一一对应的，且为相反数，则的和为0，④只含元素1的子集1个，满足，综上：所有子集中元素乘积.故答案为：1二、单选题13．下列元素与集合的关系中，正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据元素与集合的关系、常见数集的定义判断即可.【解析】表示全体实数组成的集合，则，故A错误；表示全体有理数组成的集合，则，故B错误；表示全体正整数组成的集合，则，故C正确；表示全体自然数组成的集合，则，故D错误.故选：C.14．已知:整数能被2整除，：整数能被6整除，则是的（

）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件【答案】B【分析】根据题意分别判断充分性和必要性即可得到答案.【解析】充分性：因为:整数能被2整除，所以设此数为，则不一定为整数，即不一定能被6整除，故充分性不成立；必要性：因为：整数能被6整除，所以设此数为，则一定为整数，即一定能被2整除，故必要性成立.综上所述，是的必要非充分条件.故选：B15．已知非空集合且，设，，则对于的关系，下列问题正确的是（

）A． B． C． D．的关系无法确定【答案】C【分析】由集合与元素、集合与集合之间的关系从两个方面推理论证即可求解.【解析】，有，从而有，进一步，即，所以，，有，从而有，进一步有，即，所以，综上所述，有.故选：C.16．设，用表示不超过的最大整数，则称为“取整函数”，如：，.现有关于“取整函数”的两个命题：①集合是单元素集：②对于任意，成立，则以下说法正确的是（

）A．①②都是真命题 B．①是真命题②是假命题C．①是假命题②是真命题 D．①②都是假命题【答案】A【分析】对于①，分类讨论、、、和五种情况分别求解即可判断；对于②，分类讨论为整数和不为整数时原式是否成立，对于不为整数时，进一步分类讨论其小数部分即可.【解析】对于①：当时，，不符合题意；当时，，不符合题意；当时，，则，不符合题意；当时，，则，不符合题意；当时，；则符合题意，不符合题意；综上，是单元素集，故①正确.对于②：当为整数时，成立；当不为整数时，设（为整数，），当时，，，此时，成立；当时，，则，，此时，成立；当时，，，此时，成立；综上，对于任意，成立，故②正确.故选：A【点睛】方法点睛：针对一般的函数新定义问题的方法和技巧：（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.三、解答题17．设集合,.(1)若，判断集合A与B的关系；(2)若，求实数的取值集合.【答案】(1)是的真子集(2)【分析】（1）解方程得到，得到是的真子集；（2）分，和三种情况，求出答案.【解析】（1），时，，故是真的子集（2），故，当时，，满足要求，当时，若时，，解得，若时，，解得，故实数的取值集合为.18．求证：关于x的方程有两个同号且不相等的实数根的充要条件是.【答案】证明见解析【分析】结合判别式、根与系数关系，先证得充分性，然后证得必要性.【解析】①充分性：因为，所以方程的判别式，且两根积，所以方程有两个同号且不相等的实根.②必要性：若方程有两个同号且不相等的实根，设两根为，则有，解得.综合①②可知，方程有两个同号且不相等的实根的充要条件是，命题得证.19．已知，且，，且或(1)若，，求实数a的值.(2)若p是q的充分条件，求实数a的取值范围.【答案】(1)2(2)【分析】（1）由题意结合数轴法易得，得到后再检验一下，进而确定；（2）利用充要条件与集合之间的关系得到，结合数轴可得或，从而得到a的取值范围.【解析】（1）因为，，所以由数轴法可得，解得，此时，或，满足，，故.（2）因为p是q的充分条件，所以，又因为，所以结合数轴可得，或，得或，所以满足p是q的充分条件的实数的取值范围为.20．设集合；(1)若，求实数的值；(2)若集合中有两个元素，求；(3)若，求实数的取值范围；【答案】(1)或(2)(3)【分析】（1）由，代入后解方程并检验是否满足题意；（2）根据韦达定理和完全差的平方公式化简求值即可；（3）根据集合B元素情况分类求解即可.【解析】（1）由题意得，因为，所以，所以即，化简得，即，解得或，检验：当时，，满足，当时，，满足，所以或.（2）因为集合中有两个元素，所以方程有两个根，所以且，，所以.（3）因为，且，当时，，解得，符合题意；当时，则，无解；当时，则，所以；当时，则，无解；综上，.21．对于正整数，定义．对于任意的，称为的第个分量，称是的一个“协同子集”．如果同时满足：①的元素个数不少于；②对于任何、、，存在，使得、、的第个分量都是．(1)对于，若是的一个恰好含有四个元素的“协同子集”，且其中两个元素是和，直接写出另外两个元素；(2)证明：若是的一个“协同子集”，则的元素个数不超过；(3)证明：若是的一个“协同子集”，且的元素个数恰好是，则存在唯一的，使得中所有元素的第个分量都是．【答案】(1)、(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）根据“协同子集”的定义直接写出另外两个元素；（2）若为的一个“协同子集”，考虑元素，进行判断证明即可；（3）根据“协同子集”的定义，证明存在性和唯一性即可得到结论.【解析】（1）解：由题意可知，中两个元素分别为和，这两个元素第个分量都是，故中另外两个元素分别为、.（2）解：对于，考虑元素；显然，、、，对于任意的，、、不可能都为，可得、不可能都在“协同子集”中．又因为取定，则一定存在且唯一，而且，由的定义知道，，，，这样，集合中元素的个数一定小于或等于集合中元素个数的一半，而集合中元素的个数为，所以中元素个数不超过．（3）证明：，，定义元素、的乘积为，显然．我们证明“对任意的，都有.”假设存在、使得，则由（2）知，．此时，对于任意的，、、不可能同时为，矛盾，所以．因为中只有个元素，我们记为中所有元素的乘积，根据上面的结论，我们知道，显然这个元素的分量不能都为，不妨设，根据的定义，可以知道中所有元素的第个分量都为．下面再证明的唯一性：若还有，即中所有元素的第个分量都为，此时由（2）可知集合中元素个数至多为