24版高中同步新教材选择性必修第一册苏教版数学备课4.3.3　等比数列的前n项和

选择性必修第一册

苏教版高中数学1.等比数列前n项和公式1|等比数列的前n项和知识点必备知识清单破4.3.3等比数列的前n项和已知量首项、公比与项数首项、末项与公比求和公式Sn=

Sn=

2.等比数列前n项和公式的函数特征(1)当q=1时,Sn=na1,Sn是关于n的一次函数.(2)当公比q>0且q≠1时,等比数列的前n项和公式Sn=

可以变形为Sn=-

·qn+

,设A=

,则Sn=A(qn-1),即Sn是关于n的指数型函数.已知等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn,则利用等比数列的通项公式及其前n项和公

式可推得Sn有如下性质:(1)Sn+m=Sm+qmSn=Sn+qnSm,m,n∈N*.(2)当q≠-1或q=-1且k为奇数时,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…是等比数列.(3)设S偶与S奇分别是偶数项的和与奇数项的和.若项数为2n,则

=q;若项数为2n+1,则

=q.(4)当q=1时,

=

;当q≠±1时,

=

.2|等比数列前n项和的性质知识点知识辨析1.若数列{an}的通项公式是an=an,则其前n项和一定为Sn=

吗?2.等比数列的前n项和一定是关于n的指数型函数吗?3.若数列{an}是等比数列,则S4,S8-S4,S12-S8一定构成等比数列吗?4.已知等比数列{an}是递增数列,其前n项和为Sn,则{Sn}也是递增数列吗?一语破的1.不一定.当a=1时,Sn=n.2.不一定.当公比q=1时,等比数列的前n项和是关于n的一次函数,当公比q>0且q≠1时,等比

数列的前n项和是关于n的指数型函数.3.不一定.当a1=1,q=-1时,S4=0,S8-S4=0,S12-S8=0,构不成等比数列.4.不一定.当a1<0,0<q<1时,等比数列{an}是递增数列,此时an<0,从而{Sn}是递减数列.等比数列的通项公式与前n项和公式共涉及五个量a1,an,n,q,Sn,这五个量可以“知三求

二”,一般通过等比数列的通项公式和前n项和公式列方程(组)求基本量,注意一些解题技

巧,如用约分或两式相除的方法进行消元,整体代换的应用

可以看作一个整体

等.1|等比数列前n项和基本量的求解

定点关键能力定点破典例已知等比数列{an}的前n项和为Sn.(1)已知an=3n+1,求Sn和S4;(2)已知Sn=2-n-1,求an和a4;(3)已知S2=30,S3=155,求an和Sn;(4)已知S3S5-

=-16,a2a4=32,求S4.解析

设等比数列{an}的公比为q.(1)因为an=3n+1,所以a1=9,a2=27,所以q=

=3.故Sn=

=

=

(3n-1),所以S4=

×(34-1)=360.(2)当n=1时,a1=S1=2-1-1=-

;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2-n-1)-(2-n+1-1)=

-

=-

.因为a1=-

适合上式,所以对任意的n∈N*,an=-

,因此a4=-

=-

.(3)由

得

解得

或

当a1=q=5时,an=a1qn-1=5n,Sn=

=

=

(5n-1);当a1=180,q=-

时,an=a1qn-1=180×

,Sn=

=

=

.(4)当q=1时,S3S5-

=3a1×5a1-(4a1)2=-

=-16,得

=16,此时,a2a4=32≠

,矛盾;当q≠1时,S3S5-

=

·

-

=-

q3=-16,所以

解得

因此S4=

=

=15a1=±15

.易错警示

利用等比数列求和公式进行运算时,一定要注意q的取值是不是1,如果不确定,

需要分情况讨论.

在等比数列前n项和的有关问题中,把握好等比数列前n项和性质的使用条件,恰当运用

性质能帮助我们简化运算,快速解题.2|等比数列前n项和的性质及应用定点典例(1)已知一个等比数列的首项为1,项数是偶数,其奇数项之和为85,偶数项之和为170,则

这个数列的项数为

(

)A.2B.4C.8D.16(2)等比数列{an}中,已知a1+a2+a3+a4=20,a5+a6+a7+a8=10,则数列{an}的前16项和S16=

(

)A.20B.

C.

D.-

(3)各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=2,S3n=14,则S4n等于

(

)A.80B.30C.26D.16解析

(1)设这个等比数列为{an},{an}中共有2k(k∈N*)项,公比为q,前n项和为Sn,则奇数项之和S奇=a1+a3+…+a2k-1=85,偶数项之和S偶=a2+a4+…+a2k=q(a1+a3+…+a2k-1)=qS奇=170,∴q=

=

=2,故S2k=

=22k-1=170+85=255,则22k=256,解得k=4,因此,这个等比数列的项数为8.故选C.(2)由题意得S4=20,S8-S4=10,则

=

,根据等比数列前n项和的性质可知S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12构成公比为

的等比数列,∴S12-S8=5,S16-S12=

,易求得S8=30,∴S12=35,∴S16=

,故选B.(3)设公比为q,则由条件知q>0且q≠1,根据Sn=2,S3n=14,得

=2①,

=14②,

得

=7,即1+qn+q2n=7,解得qn=2或qn=-3(舍去),∴

=

=

=15,∴S4n=15Sn=30.

1.分组求和法一般地,若{an},{bn}中一个是等差数列,一个是等比数列,则常用分组求和法求数列{an±bn}的

前n项和,即先分别求{an},{bn}的前n项和,再将两个和式合在一起.2.错位相减法已知数列{an}为等差数列,数列{bn}为公比不为1的等比数列,由这两个数列组成的新数列为

{anbn},在求该数列的前n项和时,常常将{anbn}的各项乘{bn}的公比q,并向后错位一项,与

{anbn}中q的同次项对应相减,即可转化为特殊数列的求和,这种求数列前n项和的方法称为

错位相减法.若公比不确定,则需对其进行分类讨论.3|与等比数列有关的数列求和定点当q=1时,Sn=b1(a1+a2+…+an)=b1·

;当q≠1时,Sn=a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn=a1b1+a2b1q+a3b1q2+…+anb1qn-1,qSn=a1b1q+a2b1q2+a3b1q3+…+an-1·b1qn-1+anb1qn,∴Sn-qSn=a1b1+(a2-a1)b1q+(a3-a2)·b1q2+…+(an-an-1)b1qn-1-anb1qn,由等差数列的定义知a2-a1=a3-a2=…=an-an-1=d,∴(1-q)Sn=a1b1+db1q+db1q2+…+db1qn-1-anb1qn=a1b1+db1(q+q2+…+qn-1)-anb1qn,∵q≠1,∴Sn=

+db1·

.求和过程如下:设数列{anbn}的前n项和是Sn,等差数列{an}的首项是a1,公差是d,等比数列{bn}的首项是b1,公比是q,则典例已知数列{an}的前n项和为Sn,且2Sn+3an=6n+4(n∈N*).(1)求证:数列{an-3}是等比数列;(2)求数列{nan}的前n项和.解析

(1)证明:当n=1时,2S1+3a1=6+4,∴a1=2,当n≥2时,有

两式相减得2an+3an-3an-1=6,∴5an-3an-1=6,故an-3=

(an-1-3),又a1-3=-1≠0,故

=

,∴数列{an-3}是以-1为首项,

为公比的等比数列.(2)由(1)可得an-3=-1×

,∴an=3-

,∴nan=3n-n·

,令Wn=1×

+2×

+3×

+…+n·

,①两边同乘

,得

Wn=

+2×

+3×

+…+(n-1)

+n

,②由①-②得