专题3-3解三角形压轴综合小题（原卷版）

专题3-3解三角形压轴综合小题目录TOC\o"1-1"\h\u题型01边角互化求角 1题型02判断三角型形状 2题型03三角形几解判断 3题型04正余弦应用：求面积 4题型05正余弦应用：求长度 5题型06正余弦应用：比值型求值 6题型07最值型：角与对边互化面积型 6题型08最值型：周长、边长范围 7题型09最值型：比值范围 8题型10最值型：余弦定理齐次式 8题型11最值型：正切 9题型12三角形角平分线型 10题型13三角形中线型 11题型14三角形重心型 12题型15三角形外接圆 13高考练场 14题型01边角互化求角【解题攻略】在解三角形中，选择用正弦定理或余弦定理，可以从两方面思考：(1)从题目给出的条件，边角关系来选择；(2)从式子结构来选择．边角互化的方法（1）边化角：利用正弦定理（为外接圆半径）得，，；（2）角化边：

①利用正弦定理：，，②利用余弦定理：辅助角公式【典例1-1】（2022下·黑龙江哈尔滨·高三校联考）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则A＝（

）A． B． C． D．或【典例1-2】（2021下·内蒙古赤峰·高三校考阶段练习）在锐角中，角，，所对应的边分别为，，，若，则角等于（

）A． B． C． D．或【变式1-1】（2023上·河南焦作·高三石家庄市第九中学校考）在中，的对边分别为a，b，c，若，则（

）A． B． C． D．【变式1-2】（2023·湖南·校联考模拟预测）在中，，，且的面积为，则（

）A． B． C． D．【变式1-3】（2023上·黑龙江佳木斯·高三佳木斯一中校考阶段练习）在中，分别为角的对边，已知，则等于（

）A． B． C． D．题型02判断三角型形状【解题攻略】判断三角形形状时，可利用正余弦实现边角转化，统一成边或角的形式，还要注意三角形自身的特点①sinA=sinB⇒A=B⇒△ABC为等腰三角形②sinA=cosB⇒或⇒△ABC直角三角形或钝角三角形③sin2A=sin2B⇒A=B或⇒△ABC为等腰三角形或钝角三角形④cos2A=cos2B⇒A=B⇒△ABC为等腰三角形⑤⇒⇒△ABC为直角三角形⑥⇒或⇒⇒△ABC为钝角三角形或⇒⑦⇒且⇒⇒△ABC为锐角三角形且⇒【典例1-1】在中，是三角形的三条边，若方程有两个相等的实数根，则是（

）A．锐角三角形； B．直角三角形； C．钝角三角形； D．以上都有可能．【典例1-2】在中，已知，则是（

）A．直角三角形； B．锐角三角形； C．钝角三角形； D．等边三角形．【变式1-1】在中，，则三角形的形状为（

）A．直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形C．正三角形 D．等腰三角形【变式1-2】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，那么是（

）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定【变式1-3】在中，角的对边分别为，若，则一定是（

）A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．等边三角形题型03三角形几解判断【解题攻略】判断三角形解的个数有2种：画图法：以已知角的对边为半径画弧，通过与邻边的交点个数判断解的个数。①若无交点，则无解；②若有一个交点，则有一个解；③若有两个交点，则有两个解；④若交点重合，虽然有两个交点，但只能算作一个解。公式法：运用正弦定理进行求解。①a＝bsinA，△＝0，则一个解；②a＞bsinA，△＞0，则两个解；③a＜bsinA，△＜0，则无解。【典例1-1】在中，，则此三角形的解的情况是（

）A．有两解 B．有一解 C．有无数个解 D．无解【典例1-2】在中，a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，若，则此三角形解的情况是（

）A．无解 B．有一解 C．有两解 D．有无数解【变式1-1】在ABC中，a=80，b=100，A=45°，则此三角形解的情况是（）A．一解 B．两解 C．一解或两解 D．无解【变式1-2】在中，已知，，，则此三角形的解的情况是（

）A．有一解 B．有两解 C．无解 D．有解但解的个数不确定【变式1-3】在中，已知，，，这个三角形解的情况是A．一解 B．两解 C．无解 D．不确定题型04正余弦应用：求面积【解题攻略】三角形面积：①S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(abc,4R) ②S△ABC＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)·r(r是切圆的半径)【典例1-1】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的面积为（

）A． B．C． D．【典例1-2】已知的内角所对的边分别为，则的面积为（

）A． B． C．27 D．36【变式1-1】（2022春·河南许昌·高三统考期末）如图，在平面四边形ABCD中，，∠ADC＝45°，∠ACD＝105°，∠B＝60°，AB＋BC＝4，则三角形ABC的面积为（

）A． B． C． D．【变式1-2】（2023春·辽宁沈阳·高三沈阳二中校考）我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”公式.设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，“三斜求积”公式表示为.在△ABC中，若，，则用“三斜求积”公式求得△ABC的面积为.【变式1-3】（2019·陕西宝鸡·统考二模）已知三角形的内角、、所对的边分别为、、，若，，则角最大时，三角形的面积等于．.题型05正余弦应用：求长度【解题攻略】.解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的，其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向；第二步：定工具，根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的转换；第三步：求结果.【典例1-1】（2023下·江西萍乡·高三统考）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，若，，，则．【典例1-2】（2023下·江苏盐城·高三校联考）中，，在上，，，则．【变式1-1】（2023下·广西钦州·高三统考）在中，角、、所对的边分别为、、，且，则.若，，则.【变式1-2】（2022下·高三校考单元测试）在中，、、所对的边分别为、、，又..，则.【变式1-3】（2023上·山东日照·高三统考开学考试）在中，，为中点，，，则边的长为.题型06正余弦应用：比值型求值【解题攻略】最值范围：分式比值型化边为角型通过正余弦定理，把边转化为角。利用特殊角，消角，以分母角度为住元，消去分子角度，转化为分母角度的单变量函数形式对单变量（单角）求最值。【典例1-1】（2022上·四川成都·高三成都七中校考阶段练习）在中，斜边为，点在边上，若，，则.【典例1-2】（2023下·福建泉州·高三校联考阶段练习）记的内角的对边分别为，，若的面积为3，则当的周长取到最小值时，．【变式1-1】（2022上·江苏南通·高三统考）在中(角A为最大内角，a，b，c为、、所对的边)和中，若，，，则.【变式1-2】（2020·四川成都·高三双流中学校考阶段练习）在中，，，则.【变式1-3】．已知中，设角、B、C所对的边分别为a、b、c，的面积为，若，则的值为（

）A． B． C．1 D．2题型07最值型：角与对边互化面积型【解题攻略】注意正弦定理在进行边角转换时等式必须是齐次，关于边的齐次式或关于角的正弦的齐次式，齐次分式也可以用正弦定理进行边角转换．求范围问题，通常是把量表示为三角形某个角的三角函数形式，利用此角的范围求得结论．【典例1-1】（2023·全国·高三专题练习）在中，角、、所对的边分别为、、，已知，，则面积的最大值为（

）A． B． C． D．【典例1-2】（2022秋·黑龙江·高三哈尔滨三中校考）在中，角的对边分别为，若，，则面积的最大值为（

）A． B． C． D．【变式1-1】（2023秋·辽宁铁岭·高三校考开学考试）在中，内角的对边分别为，若，且，则面积的最大值为.【变式1-2】（2023秋·广东珠海·高三校考开学考试）已知，，分别为的三个内角，，的对边，，且，则面积的最大值为.【变式1-3】（2023秋·四川成都·高三四川省成都市新都一中校联考开学考试）在中，角，，的对边分别为，，，若，，则面积的最大值为．题型08最值型：周长、边长范围【解题攻略】解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法；③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值【典例1-1】（2021上·河南濮阳·高三濮阳市油田第二高级中学校考阶段练习）锐角中，内角的对边分别为，且满足，若，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【典例1-2】（2023上·四川南充·高三四川省南充高级中学校考阶段练习）设锐角的内角所对的边分别为，若，则的取值范围为（

）A．(1，9] B．(3，9]C．(5，9] D．(7，9]【变式1-1】（2023下·高三单元测试）在中，角，，的对边分别为，，，若，，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式1-2】（2021·河北唐山·统考三模）的内角，，的对边分别为，，，角的内角平分线交于点，若，，则的取值范围是．【变式1-3】（2023上·四川宜宾·高三四川省宜宾市第四中学校校考阶段练习）中，若，则周长最大值为．题型9最值型：比值范围【典例1-1】（2022上·广西桂林·高三校考阶段练习）在中，角所对应的边分别为，设的面积为，则的最大值为（

）A． B． C． D．【典例1-2】（2023上·江苏无锡·高三江苏省南菁高级中学校考阶段练习）在锐角中，角的对边分别为，为的面积，且，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【变式1-1】（2023上·贵州黔东南·高三统考）在锐角中，角的对边分别为，且的面积，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【变式1-2】（2022·全国·高三专题练习）已知的内角的对边分别为，若，则的取值范围为．【变式1-3】（2022下·重庆·高三重庆市彭水第一中学校校考）在锐角中，角、、的对边分别为、、，若，则的取值范围是．题型10最值型：余弦定理齐次式【典例1-1】（2022·全国·高三课时练习）锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的取值范围是（

）A．(） B．(）C．[) D．[，1)【典例1-2】（2020·全国·高三课时练习）锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【变式1-1】（2022·四川成都·二模（理））已知中，角的对边分别为.若，则的最大值为（

）A． B． C． D．【变式1-2】（2022·全国·高三专题练习）已知中，角的对边分别为．若，则的最小值为（

）A． B． C． D．【变式1-3】（2020·河南·校联考二模）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且BC边上的高为，则的最大值是．题型11最值型：正切【解题攻略】正切：1；2.在三角形中，【典例1-1】（2023上·辽宁丹东·高三校联考阶段练习）在锐角三角形中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【典例1-2】（2023下·云南保山·高三校考）已知的三个内角分别为，，，若，则的最大值为（

）A． B． C． D．【变式1-1】（2022·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考二模）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积为S，若，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【变式1-2】（2023上·全国·高三专题练习）在锐角中，，则角的范围是，的取值范围为.【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的最大值为．题型12三角形角平分线型【解题攻略】角平分线定理（大题中，需要证明，否则可能会扣过程分）：三角形角平分线的处理方法：【典例1-1】（2022·贵州贵阳·高三开学考试（理））已知的内角对应的边分别是，内角的角平分线交边于点，且．若，则面积的最小值是（

）A．16 B． C．64 D．【典例1-2】（2023·全国·高三专题练习）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝1，则的最小值为（）A．8 B．9 C．10 D．7【变式1-1】（2022·安徽·巢湖市第一中学模拟预测（理））在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，若角A的内角平分线AD的长为2，则的最小值为（

）A．10 B．12 C．16 D．18【变式1-2】（2021·全国·高三专题练习）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，角A的平分线交BC于点D，且，则的值为（

）A． B． C． D．【变式1-3】（2022·陕西西安·三模（理））在中，，，的角平分线的长为，则（

）A． B． C． D．题型13三角形中线型【解题攻略】中线的处理方法1.向量法：双余弦定理法（补角法）：如图设，在中，由余弦定理得，①在中，由余弦定理得，②因为，所以所以①+②式即可3.延伸补形法：如图所示，延伸中线，补形为平行四边形4.中线分割的俩三角形面积相等【典例1-1】在中，内角的对边分别为，且边上的中线，则（

）A．3 B． C．1或2 D．2或3辽宁省沈阳市东北育才学校科学高中部2021-2022学年高三下学期考试数学试题【典例1-2】.在中，分别是的中点，且，若恒成立，则的最小值为（）A． B． C． D．变式1-1】在中，角的对边分别为，已知，点是的中点，若，则面积的最大值为（）A． B． C． D．【变式1-2】在中，若3sinC=2sinB,点,F分别是,的中点，则BEA．（14，78） B．（【变式1-3】（2022·河南·郑州四中高三阶段练习（理））在等腰中，AB＝AC，若AC边上的中线BD的长为3，则的面积的最大值是（

）A．6 B．12 C．18 D．24题型14三角形重心型【解题攻略】中线的处理方法1.向量法：补全为平行四边形。再转而在新三角形中用正余弦定理【典例1-1】.在钝角中，分别是的内角所对的边，点是的重心，若，则的取值范围是（）A． B． C． D．【典例1-2】（2024秋·福建福州·高三福建省福清第一中学校考阶段练习）已知点G为三角形ABC的重心，且，当取最大值时，（

）A． B． C． D．【变式1-1】．（2023·全国·高三专题练习）在锐角中，、、分别是的内角、、所对的边，点是的重心，若，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式1-2】（2020春·天津·高三天津市滨海新区塘沽第一中学校考阶段练习）已知中，为的重心，则A． B． C． D．【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）锐角中，，，为角，，所对的边，点为的重心，若，则的取值范围为（

）A．， B．， C．， D．，题型15三角形外接圆【解题攻略】三角形所在的外接圆的处理方法：1.外接圆的圆心到三角形的三个顶点的距离相等。锐角三角形外心在三角形内部。直角三角形外心在三角形斜边中点上。钝角三角形外心在三角形外。2.正弦定理：eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R，其中R为外接圆半径【典例1-1】（2023秋·辽宁沈阳·高三沈阳市第一二〇中学校考开学考试）在中，，，，是的外接圆上的一点，若，则的最大值是（

）A．1 B． C． D．【典例1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知锐角满足，且O为的外接圆圆心，若，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【变式1-1】（2022春·上海闵行·高三上海市七宝中学校考）若是外接圆圆心，是的内角，若，则实数的值为（

）A． B． C． D．【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）设为锐角的外心（三角形外接圆圆心），．若，则（）A． B． C． D．【变式1-3】．（2022春·北京·高三校考期末）已知三角形外接圆的半径为1为圆心，且，，则等于（

）A． B． C． D．高考练场1.（2021·安徽安庆·统考二模）在中，分别是，，的对边.若，且，则的大小是（

）A． B． C． D．2.在中，，则三角形的形状为（

）A．直角三角形 B．等边三角形C．锐角三角形 D．等腰三角形陕西省西安市长安区2022-2023学年高三上学期数学试题3.在中，，