专题2-4 构造函数以及切线（原卷版）

专题2-4构造函数以及切线归类目录TOC\o"1-1"\h\u题型01切线求参 1题型02求“过点”型切线方程 2题型03“过点”切线求参 3题型04“过点”切线条数的判断 3题型05由切线条数求参 4题型06公切线 4题型07特殊构造：幂积型构造 5题型08特殊构造：幂商型构造 6题型09特殊构造：ex的积型构造 6题型10特殊构造：ex的商型构造 7题型11特殊构造：对数型构造 8题型12特殊构造：正弦型构造 9题型13特殊构造：余弦型构造 10题型14复合型构造 11高考练场 12题型01切线求参【解题攻略】求曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程：(1)求出函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数，即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的斜率．(2)切线方程为：y＝y0＋f′(x0)(x－x0)．1、设切点（或者给出了切点）：P(x0，y0)2、y0=f(x0)3、y＝f′(x)k=f′(x0)4、切线方程：y-y0＝k(x－x0)【典例1-1】（2023春·重庆·高二校联考期中）若函数的图象在处的切线与直线垂直，则的值为（

）A． B．2或 C．2 D．1或【典例1-2】(山东省烟台市2021-2022学年高三数学试题)已知曲线在点（0，1）处的切线与曲线只有一个公共点，则实数a的值为（

）A． B．1 C．2 D．【变式1-1】（河南省郑州市2021-2022学年高三考试数学（理科）试题）若曲线在点处的切线与直线平行，则___________.【变式1-2】（河南省许昌市2021-2022学年高三数学文科试题）已知曲线在点处的切线方程为，则___________.【变式1-3】已知函数，函数（且）的图象过定点，若曲线在处的切线经过点，则实数的值为______．题型02求“过点”型切线方程【解题攻略】1、设切点（或者给出了切点）：P(x0，y0)2、y0=f(x0)3、y＝f′(x)k=f′(x0)4、切线方程：y-y0＝k(x－x0)5、过（a,b）,代入y-y0＝k(x－x0)，得【典例1-1】（2023下·上海嘉定·高三上海市嘉定区第一中学校考）已知曲线，过点作曲线的切线，则切线方程．【典例1-2】（2023下·上海浦东新·高三上海市实验学校校考开学考试）已知曲线，过点作曲线的切线，则切线的方程为.【变式1-1】）（云南民族大学附属中学2022届高三高考押题卷二数学（理）试题）函数过原点的切线方程是_______.【变式1-2】（2023春·河北邢台·高三统考）过点作曲线的切线，则该切线的斜率为（

）A．1 B． C． D．【变式1-3】（（天津市北京师范大学天津附属中学2022-2023学年高三线上检测数学试题））过点作曲线的切线，则切线方程是__________．.题型03“过点”切线求参【典例1-1】（2023上·辽宁锦州·高三渤海大学附属高级中学校考期中）已知曲线过点处的切线与曲线相切，则【典例1-2】（2023下·吉林长春·高二长春市实验中学校考阶段练习）已知函数，过点作与轴平行的直线交函数的图象于点，过点作的切线交轴于点，则面积的最小值.【变式1-1】（2023·河北保定·统考二模）已知函数，过点且平行于轴的直线与曲线的交点为，曲线过点的切线交轴于点，则面积的最小值为（

）A．1 B． C． D．【变式1-2】（2023上·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）已知曲线，过点作该曲线的两条切线，切点分别为，则（

）A． B． C． D．3【变式1-3】.直线是曲线的切线，则______.题型04“过点”切线条数的判断【解题攻略】“过点型”切线条数判断：有几个切点横坐标，就有几条切线。切线条数判断，转化为关于切点横坐标的新的函数零点个数判断。【典例1-1】.（湖南省邵阳市武冈市2022-2023学年高三上学期数学试题）已知是奇函数，则过点向曲线可作的切线条数是（

）A．1 B．2 C．3 D．不确定【典例1-2】已知曲线，则过点可向引切线，其切线条数为（

）A． B． C． D．【变式1-1】（湖南省长沙市长郡中学2021届高三第一次暑假作业检测数学试题）已知函数，过点可作曲线切线的条数为A．0 B．1 C．2 D．3【变式1-2】（2021-2022学年广东省东莞市高三数学A卷）已知函数，则过点（0，0）可作曲线的切线的条数为(

)A．3 B．0 C．1 D．2【变式1-3】（北京市北京理工大学附属中学通州校区2019-2020学年高三年级考试数学试题）已知过点且与曲线相切的直线的条数有（

）条.A．0 B．1 C．2 D．3题型05由切线条数求参【典例1-1】若过点可作出曲线的三条切线，则实数的取值范围是___________【典例1-2】（福建省福州华侨中学2023届高三上学期第二次考试数学试题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围为__________．【变式1-1】过点作曲线的切线，若切线有且只有两条，则实数的取值范围是___________.【变式1-2】若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________．【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）已知过点作曲线的切线有且仅有两条，则实数a的取值可能为（

）A． B． C． D．题型06公切线【解题攻略】交点处公切线，可以直接参照直线在点处的切线求法设交点（切点）对函数，如果要求它们的图象的公切线，只需分别写出两条切线：)

和再令

，消去一个变量后，再讨论得到的方程的根的个数即可。但在这里需要注意

x1

和

x2

的范围，例如，若f（x）=lnx，则要求

x1>0

【典例1-1】已知直线是函数与函数的公切线，若是直线与函数相切的切点，则____________．【典例1-2】（2023春·高三课时练习）已知直线：既是曲线的切线，又是曲线的切线，则（

）A．0 B． C．0或 D．或【变式1-1】（2023·全国·高三专题练习）若直线是曲线的切线，也是的切线，则（

）A． B． C． D．【变式1-2】（2022·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）曲线过点的切线也是曲线的切线，则；若此公切线恒在函数的图象上方，则a的取值范围是.【变式1-3】若曲线与曲线存在2条公共切线，则a的值是_________．.题型07特殊构造：幂积型构造【解题攻略】幂函数积形式构造：1.对于构造2.对于构造【典例1-1】设定义在的函数的导函数为，且满足，则关于x的不等式的解集为（）A． B． C． D．【典例1-2】已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，，若，则的大小关系正确的是（）A． B． C． D．【变式1-1】已知定义在R上的偶函数，其导函数为．当时，恒有，若，则不等式的解集为A． B．C． D．【变式1-2】.已知奇函数是定义在上的可导函数，其导函数为，当时，有，则不等式的解集为()A． B． C． D．【变式1-3】已知奇函数的导函数为，当时，，若，，则的大小关系正确的是A． B． C． D．题型08特殊构造：幂商型构造【解题攻略】幂函数商形式构造：1.对于构造2.对于构造【典例1-1】（江西省宜春市奉新县第一中学2019-2020学年高三第一次月考数学试题）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，f′（x）为f（x）的导函数，且满足当x＜0时，有xf′（x）﹣f（x）＜0，则不等式f（x）﹣xf（1）＞0的解集为（）A．（﹣1，0）∪（1，+∞） B．（﹣∞，0）∪（0，1）C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D．（﹣1，0）∪（0，1）【典例1-2】（2020届高三1月）》函数在定义域内恒满足，其中为导函数，则（）A． B． C． D．【变式1-1】（四川省宜宾市第四中学校2019-2020学年高三考试数学试题）设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为A． B． C． D．【变式1-2】（湖北省仙桃市汉江中学2018-2019学年高三试题）已知定义在上的函数的导函数为，若，则不等式的解集为A． B． C． D．【变式1-3】（甘肃省张掖市第二中学2019-2020学年高三4月线上测试数学（理）试卷）已知定义在上的函数满足，其中是函数的导函数若，则实数m的取值范围为A． B． C． D．题型09特殊构造：ex的积型构造【解题攻略】ex函数积形式构造：1.对于构造2.对于构造【典例1-1】（江西省上饶中学2019-2020学年高三上学期第二次月考数学试题）已知函数是定义在上的可导函数，，且，则不等式的解集为A． B． C． D．【典例1-2】（2023春·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考阶段练习）已知定义在上的函数的导函数为，且，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【变式1-1】（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考）设函数的定义域为R，是其导函数，若，，则不等式的解集是（

）A． B．C． D．【变式1-2】（2023春·河南洛阳·高三统考）设是定义在上的函数的导函数，且．若（e为自然对数的底数），则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．【变式1-3】（2022·全国·高三专题练习）已知定义在上的函数的导函数为，满足．当时，．当时，，且，其中是自然对数的底数．则的取值范围为（

）A． B． C． D．题型10特殊构造：ex的商型构造【解题攻略】ex函数商形式构造：1.，2.【典例1-1】定义在上的函数的导函数为，满足：，，且当时，，则不等式的解集为（）A． B． C． D．【典例1-2】已知在上的可导函数的导函数为，满足，且为偶函数，，则不等式的解集为A． B． C． D．【变式1-1】已知定义在上的函数的导函数为，且满足，，则不等式的解集为（）A． B． C． D．【变式1-2】设函数f(x)的导函数为，f(0)=1，且,则的解集是A． B． C． D．【变式1-3】已知定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集为（）A． B． C． D．题型11特殊构造：对数型构造【解题攻略】1.2.授课时，可以让学生写出y=ln（kx+b）与y=f(x)的加、减、乘、除各种结果【典例1-1】（2023·江西宜春·校联考模拟预测）已知函数满足（其中是的导数），若，，，则下列选项中正确的是（

）A． B． C． D．【典例1-2】（2022·全国·高三专题练习）设函数是奇函数的导函数，时，，则使得成立的的取值范围是（

）A． B．C． D．【变式1-1】（2020上·河南·高三校联考阶段练习）已知函数是奇函数的导函数，且满足时，，则的解集为（

）A． B．C． D．【变式1-2】（2023上·河南周口·高三校联考阶段练习）已知函数的定义域为，导函数为，不等式恒成立，且，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【变式1-3】（2022·广东梅州·统考二模）已知是定义在上的奇函数，是的导函数，当时，，且，则不等式的解集是（

）A． B． C． D．题型12特殊构造：正弦型构造【解题攻略】三角函数形式构造：1.，2.3.对于正切型，可以通分（或者去分母）构造正弦或者余弦积商型【典例1-1】（2023春·四川成都·高三阶段练习）记函数的导函数为，若为奇函数，且当时恒有成立，则（

）A． B．C． D．【典例1-2】（2021·贵州遵义·高三遵义航天高级中学阶段练习）已知定义在上的函数，为其导函数，且恒成立，则A． B．C． D．【变式1-1】（2023春·重庆·高三统考）设是函数的导函数，当时，，则（

）A． B．C． D．【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知可导函数是定义在上的奇函数．当时，，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【变式1-3】（2021下·江西·高三校联考）已知是定义域为的奇函数的导函数，当时，都有，，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．题型13特殊构造：余弦型构造【解题攻略】三角函数形式构造：1.，2.3.对于正切型，可以通分（或者去分母）构造正弦或者余弦积商型【典例1-1】（2020下·安徽六安·高二六安一中校考期中）设奇函数的定义域为，且的图象是连续不间断，，有，若，则的取值范围是（

）．A． B． C． D．【典例1-2】（2020下·湖南长沙·高二湖南师大附中校考期末）已知奇函数的定义域为，其导函数为，当时，有成立，则关于的不等式的解集为（

）A． B． C． D．【变式1-1】（2020下·广西桂林·高二校考阶段练习）函数定义在上，是它的导函数，且在定义域内恒成立，则（

）A． B．C． D．【变式1-2】（2020下·内蒙古巴彦淖尔·高二校考阶段练习）已知函数是定义在R上的奇函数，且对于任意的，都有(其中是函数的导函数)，则下列不等式成立的是A． B．C． D．【变式1-3】（2021下·江苏·高二期中）已知函数的定义域为，其导函数是.有，则关于x的不等式的解集为（

）A． B． C． D．题型14复合型构造【典例1-1】已知定义在上的函数关于轴对称，其导函数为，当时，不等式.若对，不等式恒成立，则正整数的最大值为A． B． C． D．【典例1-2】定义在上的偶函数的导函数为，若对任意的实数，都有恒成立，则使成立的实数的取值范围为（）A． B．C． D．【变式1-1】设函数时定义在上的奇函数，记其导函数为当时，恒成立，则关于的不等式的解集为A． B． C． D．【变式1-2】（2022·全国·高三专题练习）函数定义域为R，导函数为，满足下列条件：①任意，恒成立，②时，恒成立，则关于t的不等式：的解集为（

）A． B． C． D．【变式1-3】已知函数，其中为自然对数的底数.若是的导函数，函数在区间内有两个零点，则的取值范围是（）A． B． C． D．高考练场1.（湖南省永州市2022届高三下学期第三次适应性考试数学试题已知直线:，函数，若存在切线与关于直线对称，则__________．2.过点作曲线的两条切线，则这两条切线的斜率之和为______.3.（2022·全国·高三专题练习）