高考数学第一轮复习导学案(新高考)第38讲复数(原卷版+解析)

第38讲复数1、复数的有关概念(1)复数的意义：形如z＝a＋bi(a、b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1，a叫做实部，b叫做虚部，复数集记作C，数集N、Z、Q、R、C的关系(2)复数的模：z＝a＋bi，|z|＝．(3)复数相等：z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i，z1＝z2，则．(4)共轭复数：z＝a＋bi，互为共轭复数．2、复数的四则运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则．设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝；②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝；③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝；④除法：eq\f(z1,z2)＝eq\f(a＋bi,c＋di)＝（c＋di≠0)．3、复数的几何意义(1)复平面的概念：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．(2)实轴、虚轴：在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数；除原点以外，虚轴上的点都表示纯虚数．4、复数的几何表示复数z＝a＋bi与复平面内的点Z(a，b)及平面向量eq\o(OZ,\s\up6(→))＝(a，b∈R)是一一对应关系．1、【2022年全国甲卷】若z=1+i．则|A．45 B．42 C．25 D．22

2、【2022年全国甲卷】若A．−1+3i B．−1−3i C．−13+33i A．a=1,b=−1 B．a=1,b=1 C．a=−1,b=1 D．a=−1,b=−1

4、【2022年全国乙卷】已知z=1−2i，且z+az+b=0，其中aA．a=1,b=−2 B．a=−1,b=2 C．a=1,b=2 D．a=−1,b=−2

5、【2022年新高考1卷】若i(1−z)=1，则z+A．−2 B．−1 C．1 D．2

6、【2022年新高考2卷】(2+2iA．−2+4i B．−2−4i C．6+2i7、（2021·全国高三专题练习（理））已知为虚数单位，且，复数满足，则复数对应点的轨迹方程为（）A． B．C． D．8、（2023年普通高等学校招生全国统一考试（新课标全国Ⅰ卷））已知，则（）A. B. C.0 D.19、（2023年全国新高考Ⅱ卷）在复平面内，对应的点位于（）．A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限1、（2022·河北深州市中学高三期末）已知复数（其中i为虚数单位，）在复平面内对应的点为，则实数a的值为（）A．1 B．2 C． D．02、（2022·河北张家口·高三期末）已知，则（）A． B．C． D．3、（2022·山东枣庄·高三期末）已知为虚数单位，则（）．A．1 B． C．I D．4、（2022·山东德州·高三期末）已知复数z满足，其中为虛数单位，则复数z在复平面内所对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5、（2022·山东临沂·高三期末）已知复数，为虚数单位，则（）A． B． C． D．考向一复数的有关概念例1、已知复数z＝eq\f(m2－7m＋6,m2－1)＋(m2－5m－6)i(m∈R)，试求实数m分别取什么值时，z分别为：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．变式1、（1）（2022·广东潮州·高三期末）已知i为虚数单位，复数，则z的虚部为（）A．0 B．－1 C．－i D．1（2）（2022·山东淄博·高三期末）已知复数z是纯虚数，是实数，则（）A．－ B． C．－2 D．2（3）（2022·江苏常州·高三期末）是虚数单位，已知复数满足等式，则的模________．变式2、（2022·河北唐山·高三期末）（多选题）已知复数（且），是z的共扼复数，则下列命题中的真命题是（）A． B． C． D．方法总结：(1)解决复数问题，首先要看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．(2)对于复数的分类问题，可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组．特别要注意：纯虚数的充要条件是：a＝0且b≠0.考向二复数的运算例2、（1）已知复数满足，其中为虚数单位，若复数的实部为，则实数（）A． B．或 C． D．（2）（）A． B． C． D．（3）已知i是虚数单位，若，则（）A． B． C． D．变式1、（1）（2022·河北保定·高三期末）（）A． B． C． D．（2）（2022·山东省淄博实验中学高三期末）设复数满足，则（）A． B． C．1 D．（3）（2022·湖北·恩施土家族苗族高中高三期末）若．设，则（）A．2i B．2 C． D．方法总结：(1)要熟练掌握复数的乘法、除法的运算法则．(2)遇到复数的运算与复数概念的综合题，先设z＝a＋bi，再通过四则运算，计算出a，b的值．考向三复数的几何意义例3、(1)已知复数z＝x＋yi，且|z－2|＝eq\r(3)，则eq\f(y,x)的最大值为____变式1、设复数z＝log2(m2－3m－3)＋ilog2(m－2)，m∈R对应的向量为eq\o(OZ,\s\up6(→)).(1)若eq\o(OZ,\s\up6(→))的终点Z在虚轴上，求实数m及|eq\o(OZ,\s\up6(→))|的值；(2)若eq\o(OZ,\s\up6(→))的终点Z在第二象限内，求实数m的取值范围．变式2、（2021·陕西西安市·西安中学高三月考（文））已知复数为虚数单位在复平面内对应的点为，复数满足，则下列结论不正确的是（）A．点的坐标为 B．C．的最大值为 D．的最小值为方法总结：准确理解复数的几何意义(1)复数z、复平面上的点Z及向量eq\o(OZ,\s\up7(→))相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔eq\o(OZ,\s\up7(→)).(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．(3)进行简单的复数运算，将复数化为标准的代数形式；(4)把复数问题转化为复平面内的点之间的关系，依据是复数a＋bi(a，b∈R)与复平面上的点(a，b)一一对应．1、（2022·江苏海安·高三期末）已知复数z满足(1－i)z＝2＋3i（i为虚数单位），则z＝（）A．－＋i B．＋iC．－i D．－－i2、（2022·江苏如东·高三期末）已知复数z满足，则z＝（）A．4＋3i B．4－3i C．3＋4i D．3－4i3、（2022·江苏苏州·高三期末）设为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数的值为（）A． B． C． D．4、（2022·江苏无锡·高三期末）已知（为虚数单位，）为纯虚数，则（）A． B． C． D．5、（2022·广东东莞·高三期末）（多选题）已知复数，是的共轭复数，则下列结论正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则6、（2022·江苏苏州·高三期末）（多选题）下列命题正确的是（）A．若为复数，则B．若为向量，则C．若为复数，且，则D．若为向量，且，则7、（2021·福建·莆田二中高三期末）设，记为不大于的最大整数，为不小于的最小整数．设集合,，则在复平面内对应的点的图形面积是______

第38讲复数1、复数的有关概念(1)复数的意义：形如z＝a＋bi(a、b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1，a叫做实部，b叫做虚部，复数集记作C，数集N、Z、Q、R、C的关系(2)复数的模：z＝a＋bi，|z|＝eq\r(a2＋b2)．(3)复数相等：z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i，z1＝z2，则a1＝a2，b1＝b2．(4)共轭复数：z＝a＋bi，z－＝a－bi；z与z－互为共轭复数．2、复数的四则运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则．设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；④除法：eq\f(z1,z2)＝eq\f(a＋bi,c＋di)＝eq\f(（a＋bi）（c－di）,（c＋di）（c－di）)＝eq\f(（ac＋bd）＋（bc－ad）i,c2＋d2)(c＋di≠0)．3、复数的几何意义(1)复平面的概念：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．(2)实轴、虚轴：在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数；除原点以外，虚轴上的点都表示纯虚数．4、复数的几何表示复数z＝a＋bi与复平面内的点Z(a，b)及平面向量eq\o(OZ,\s\up6(→))＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系．1、【2022年全国甲卷】若z=1+i．则|A．45 B．42 C．25【答案】D【解析】因为z=1+i，所以iz+3z故选：D.

2、【2022年全国甲卷】若z=−1+3i，则A．−1+3i B．−1−3i C．【答案】C【解析】zz故选：C

3、【2022年全国乙卷】设(1+2i)a+b=2iA．a=1,b=−1 B．a=1,b=1 C．a=−1,b=1 D．a=−1,b=−1【答案】A【解析】因为a,b∈R，a+b+2ai=2i，所以故选：A.

4、【2022年全国乙卷】已知z=1−2i，且z+az+b=0，其中aA．a=1,b=−2 B．a=−1,b=2 C．a=1,b=2 D．a=−1,b=−2【答案】A【解析】z由z+az+b=0,得1+a+b=0故选:A

5、【2022年新高考1卷】若i(1−z)=1，则z+A．−2 B．−1 C．1 D．2【答案】D【解析】由题设有1−z=1i=ii故选：D

6、【2022年新高考2卷】(2+2iA．−2+4i B．−2−4i C．6+2i【答案】D【解析】(2+2i故选：D.7、（2021·全国高三专题练习（理））已知为虚数单位，且，复数满足，则复数对应点的轨迹方程为（）A． B．C． D．【答案】C【解析】，由题意知，则复数对应点的轨迹方程为.故选：C．8、（2023年普通高等学校招生全国统一考试（新课标全国Ⅰ卷））已知，则（）A. B. C.0 D.1【答案】A【解析】因为，所以，即．故选：A．9、（2023年全国新高考Ⅱ卷）在复平面内，对应的点位于（）．A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】因为，则所求复数对应的点为，位于第一象限.故选：A.1、（2022·河北深州市中学高三期末）已知复数（其中i为虚数单位，）在复平面内对应的点为，则实数a的值为（）A．1 B．2 C． D．0【答案】A【解析】因为，又因为复数在复平面内对应的点为，所以，解得故选：A2、（2022·河北张家口·高三期末）已知，则（）A． B．C． D．【答案】A【解析】，故选：A.3、（2022·山东枣庄·高三期末）已知为虚数单位，则（）．A．1 B． C．I D．【答案】B【解析】.故选：B.4、（2022·山东德州·高三期末）已知复数z满足，其中为虛数单位，则复数z在复平面内所对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【解析】，则复数z在复平面内所对应的点坐标为，在第一象限.故选：A5、（2022·山东临沂·高三期末）已知复数，为虚数单位，则（）A． B． C． D．【答案】C【解析】，.故选：C考向一复数的有关概念例1、已知复数z＝eq\f(m2－7m＋6,m2－1)＋(m2－5m－6)i(m∈R)，试求实数m分别取什么值时，z分别为：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．【解析】：(1)当z为实数时，则有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m2－5m－6＝0，,m2－1≠0.))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝－1或m＝6，,m≠±1，))所以m＝6，即m＝6时，z为实数．(2)当z为虚数时，则有m2－5m－6≠0且eq\f(m2－7m＋6,m2－1)有意义，所以m≠－1且m≠6且m≠1．∴m≠±1且m≠6．所以当m∈(－∞，－1)∪(－1，1)∪(1，6)∪(6，＋∞)时，z为虚数．(3)当z为纯虚数时，则有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m2－5m－6≠0，,\f(m2－7m＋6,m2－1)＝0，))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m≠－1且m≠6，,m＝6且m≠±1.))故不存在实数m使z为纯虚数．变式1、（1）（2022·广东潮州·高三期末）已知i为虚数单位，复数，则z的虚部为（）A．0 B．－1 C．－i D．1【答案】B【解析】.则z的虚部为－1.故选：B.（2）（2022·山东淄博·高三期末）已知复数z是纯虚数，是实数，则（）A．－ B． C．－2 D．2【答案】B【解析】由题意设，则，因为是实数，所以，得，所以，所以，故选：B（3）（2022·江苏常州·高三期末）是虚数单位，已知复数满足等式，则的模________．【答案】【解析】由，可得则有，即，故有故答案为：变式2、（2022·河北唐山·高三期末）（多选题）已知复数（且），是z的共扼复数，则下列命题中的真命题是（）A． B． C． D．【答案】AC【解析】解：对于A选项，，，所以，故正确；对于B选项，，，，故错误；对于C选项，，，，故正确；对于D选项，，，，所以当时，，当时，，故错误.故选：AC方法总结：(1)解决复数问题，首先要看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．(2)对于复数的分类问题，可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组．特别要注意：纯虚数的充要条件是：a＝0且b≠0.考向二复数的运算例2、（1）已知复数满足，其中为虚数单位，若复数的实部为，则实数（）A． B．或 C． D．【答案】B【解析】由题可得，则，解得或，故选：B.（2）（）A． B． C． D．【答案】A【解析】.故选：A．（3）已知i是虚数单位，若，则（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题可知：所以故选：D变式1、（1）（2022·河北保定·高三期末）（）A． B． C． D．【答案】B【解析】.故选：B（2）（2022·山东省淄博实验中学高三期末）设复数满足，则（）A． B． C．1 D．【答案】C【解析】因复数满足，则，所以.故选：C（3）（2022·湖北·恩施土家族苗族高中高三期末）若．设，则（）A．2i B．2 C． D．【答案】B【解析】由，得，所以.故选：B方法总结：(1)要熟练掌握复数的乘法、除法的运算法则．(2)遇到复数的运算与复数概念的综合题，先设z＝a＋bi，再通过四则运算，计算出a，b的值．考向三复数的几何意义例3、(1)已知复数z＝x＋yi，且|z－2|＝eq\r(3)，则eq\f(y,x)的最大值为____【答案】eq\r(3)【解析】∵|z－2|＝eq\r(（x－2）2＋y2)＝eq\r(3)，∴(x－2)2＋y2＝3.由图可知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,x)))eq\s\do7(max)＝eq\f(\r(3),1)＝eq\r(3).变式1、设复数z＝log2(m2－3m－3)＋ilog2(m－2)，m∈R对应的向量为eq\o(OZ,\s\up6(→)).(1)若eq\o(OZ,\s\up6(→))的终点Z在虚轴上，求实数m及|eq\o(OZ,\s\up6(→))|的值；(2)若eq\o(OZ,\s\up6(→))的终点Z在第二象限内，求实数m的取值范围．【解析】(1)由题意，得log2(m2－3m－3)＝0，所以m2－3m－3＝1，解得m＝4或m＝－1.因为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－3m－3>0，,m－2>0，))所以m＝4，此时z＝i，eq\o(OZ,\s\up6(→))＝(0，1)，|eq\o(OZ,\s\up6(→))|＝1.(2)由题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2(m2－3m－3)<0，,log2(m－2)>0，,m2－3m－3>0，,m－2>0，))解得eq\f(3＋\r(21),2)<m<4，所以实数m的取值范围是（eq\f(3＋\r(21),2)，4）.变式2、（2021·陕西西安市·西安中学高三月考（文））已知复数为虚数单位在复平面内对应的点为，复数满足，则下列结论不正确的是（）A．点的坐标为 B．C．的最大值为 D．的最小值为【答案】D【解析】A：因为复数为虚数单位在复平面内对应的点为，所以点的坐标为，因此本选项结论正确；B：因为，所以，因此本选项结论正确；C，D：设，在复平面内对应的点为，设因为，所以点到点的距离为1，因此点是在以为圆心，1为半径的圆，表示圆上的点到点距离，因此，，所以选项C的结论正确，选项D的结论不正确，故选：D方法总结：准确理解复数的几何意义(1)复数z、复平面上的点Z及向量eq\o(OZ,\s\up7(→))相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔eq\o(OZ,\s\up7(→)).(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．(3)进行简单的复数运算，将复数化为标准的代数形式；(4)把复数问题转化为