培优课09 平面向量的综合应用

8.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧面PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，E为PD中点，AD=2．(Ⅰ)求证：平面AEC⊥平面PCD．【答案】(Ⅰ)证明：取AD中点为O，BC中点为F，由侧面PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，得PO⊥平面ABCD，故FO⊥PO，又FO⊥AD，则FO⊥平面PAD，∴FO⊥AE，又CD⎳FO，则CD⊥AE，又E是PD中点，则AE⊥PD，由线面垂直的判定定理知AE⊥平面PCD，又AE⊂平面AEC，故平面AEC⊥平面PCD；培优课09平面向量的综合应用培优点一平面向量中与模有关的最值（范围）问题典例1[2024·山东模拟]若平面向量a，b，c满足a=1，b⋅c=解题观摩[解析]在平面直角坐标系内，令a=1,0，设b=x1,y1,c=x2,y由于b+c=则b+c=y1+设a=x,将三个向量改成两个向量1.已知向量a,b满足a=2,b=1，若a⋅[解析]设向量a,b的夹角为θ，则θ∈[因为a=2,b=所以−1≤cosθ≤−12将坐标法变成几何意义法2.已知向量a，b，c满足a=1，b=2，a⋅b=−1，向量c−[解析]依题意可知cos⟨a,b⟩=a⋅ba⋅b=−11×由c−a与c−b的夹角为π4可知∠ACB=π4，所以O,A因为AB=−2,1，所以AB=5，由正弦定理得△培优点二平面向量中与数量积有关的最值（范围）问题典例2已知e为单位向量，a−2e=b解题观摩[解析]设a=OA,b=OB,则点B点A如图所示，OA在当OB//E2A时，a⋅易知当OA与OB同向时，a⋅b取得最大值,最大值为6.故a⋅平面向量是在二维平面内既有大小又有方向的量，在解决平面向量的范围与最值问题时，常用代数法与几何法两种解法.1.代数法的基本思路是利用函数的思想，将目标表达式转化为单变量函数，也有一些问题需要通过不等式的技巧来解决.2.几何法的基本思路是将条件转化为几何元素，构图后通过平面几何的知识解决，当然很多时候利用数形结合来解题也是高效的解题手段.常用方法：（1）定义法;（2）坐标法；（3）基底法；（4）几何意义法.单个动点的范围问题1.已知菱形ABCD的边长为1，∠ABC=60∘，E是AB边上的动点，则[解析]设AE=x，则DE⋅∴DE⋅DC定义法变为坐标法2.在△ABC中，A=π3，AC=2，AB=5，[解析]过点C作CD⊥AB，垂足为D，以D为坐标原点，以DB，DC所在的直线分别为x轴，在Rt△ACD中，CD=AC∴A−1,0由题意，设Px,0，x∈[−1,4∴当x=2时，PB⋅培优点三平面向量中与夹角有关的最值（范围）问题典例3[2024·成都模拟]若平面向量a，b满足a=b，且a−解题观摩[解析]由a−3b=1两边同时平方得a所以cos⟨b所以cos⟨b,3设a=x1,y1,b=x2求变量的取值范围、最值,往往要将目标函数用某个变量表示,转化为求函数的最值问题或采用基本不等式求解,期间要注意变量之间的关系.引入数量积的范围条件考查角度的范围已知非零向量a，b满足a+b⊥a−b，a+b=2，若a⋅[解析]因为a+b⊥a−又因为a+b=所以a⋅又a⋅b的取值范围为[−2,23]，所以−2≤2−a2≤23，解得43≤a2≤4，又−2≤a⋅b培优点四平面向量中的恒成立问题典例4已知b=c=kk>2,b⋅c=0，若存在实数λ及单位向量a解题观摩A.55 B.255 C.4[解析]以O为坐标原点，c=OC,b=OB所在的直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图所示.设a=OA，可知点A在单位圆上，P是直线BC上任意一点，则OP=1−λb+λc，取OC的中点a−b12所以a−b+λb−c+12c+1则PA+PFmin=A1F=OF−平面向量恒成立问题大多考查向量的几何属性（如模的最值问题）和向量的数量属性（如向量数量积的最值问题）.从形的角度，可以转化为运用点点距离、点线距离、点面距离等有关最值来求解；从数的角度，可以利用函数与方程或不等式求解.改变不等式的条件和设问形式1.已知向量a,b的夹角为π3，且对任意实数λ,a−λ[解析]a−a−由a−λb≥a设ab=t，则λ2−tλ+增加三角恒等变换知识2.已