2024-2025学年安徽省六安市独山中学高二（上）开学数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年安徽省六安市独山中学高二（上）开学数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数2−i1−i=(

)A.32+12i B.122.已知向量a=1,1，b=1,−2，c=x,−1，若A.1 B.2 C.−2 D.−13.如图，在△ABC中，BD+4CD=0，则A.15AB+45AC

B.454.已知正三棱柱的体积为62，且底面边长与高相等，则该正三棱柱一个侧面的对角线长为(

)A.1 B.3 C.2 D.5.如图，水平放置的四边形ABCD的斜二测直观图为矩形A′B′C′D′，已知A′O′=O′B′=1，B′C′=1，则四边形ABCD的周长为(

)A.62

B.122

C.6.已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为6，体积为24，则该球的表面积是(

)A.264π B.44π C.411π7.在△ABC中，若BC=1，AC=3，cosC=23，则sinB=(

)A.306 B.155 C.8.如图，一同学利用所学习的解三角形知识想测量河对岸的塔高AB时，他选取了塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D.∠BCD=45°，∠BDC=75°，CD=20 m，在点C处塔顶A的仰角为60°，则塔高为(

)A.10(6+2)m B.5(二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.若复数z1、z2在复平面内的对应点分别在一、二象限，则z1+A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限10.一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，则下列结论正确的是(

)A.圆柱的侧面积为2πRB.圆锥的侧面积为2πR2

C.D.圆柱、圆锥、球的体积之比为3：1：211.对于△ABC，有如下判断，其中正确的是(

)A.若sinA=sinB，则△ABC为等腰三角形

B.若sin2A=sin2B，则△ABC为等腰或直角三角形

C.若cosA<cosB，则A>B

D.若tanA>tanB，则A>B三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.如图，一个水平放置的平面图形的直观图是个底角为45°的等腰梯形，已知直观图OA′B′C′中，B′C′=2，OC′=2，则该平面图形的面积为______．13.如果在一个边长为5的正△ABC中，一个向量所对应的有向线段为AD(其中D在边BC上运动)，则向量AD长度的最小值为______．14.在△ABC中，D在BC上，AD平分∠BAC，若AB=3，AC=1，∠BAC=60°，则AD=______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知复数z1=3+4i，z2=−2i，i为虚数单位．

(1)求z1z2；

(2)若z=z1z216.(本小题15分)

已知|a|=2，|b|=1，a与b的夹角为45°．

(1)求a在b方向上的投影向量；

(2)求|a+2b|的值；17.(本小题15分)

已知在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，BC=2，AA1=4，E为棱CC1的中点．

(Ⅰ18.(本小题17分)

记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=ccosA．

(1)试判断△ABC的形状；

(2)若c=1，求△ABC周长的最大值．19.(本小题17分)

某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由棱长为60cm的正四面体沿棱的三等分点，截去四个一样的正四面体得到．

(1)求石凳的体积与原正四面体的体积之比；

(2)为了美观工人准备将石凳的表面进行粉刷，已知每平方米造价50元，请问粉刷一个石凳需要多少钱？(3

答案解析1.A

【解析】解：2−i1−i=(2−i)(1+i)(1−i)(1+i)=3+i2=32.D

【解析】解：由题意可得a+2b=(3,−3)．

又因为c⊥(a+2b)，

所以有c⋅(a+2b)=3x+(−1)×(−3)=0，

解得x=−1，

故选：3.A

【解析】解：∵在△ABC中，BD=4DC，∴AD=AB+BD=AB4.C

【解析】解：如图，

设正三棱柱的底面边长与高相等，等于a，

由题意，12a2×32×a=62，解得a=2．

5.D

【解析】解：根据题意，矩形A′B′C′D′，A′O′=O′B′=1，B′C′=1，

则O′C′=12+12=2，

如图：平面图形是平行四边形ABCD，

AB=AO+OB=A′O′+O′B′=2，OC=2O′C′=22，

BC=OB2+OC2=3，

则四边形6.B

【解析】解：设正四棱柱的底面边长为a，因为正四棱柱的高为6，体积为24，

所以a2×6=24，即a2=4，得a=2，正四棱柱的各顶点都在一个球面上，

所以正四棱柱的体对角线长等于球的直径，即22+22+62=27.A

【解析】解：由题意可得BC=a=1，AC=b=3，AB=c，

由余弦定理可得c2=a2+b2−2abcosC=6，即c=6，

又cosC=23,C∈(0,π)，

可得sinC=53，

利用正弦定理可知bsinB8.A

【解析】解：由题可知，在△BCD中，∠BCD=45°，∠BDC=75°，故∠CBD=60°，

由正弦定理可得：CDsin∠CBD=CBsin∠BDC，

又sin75°=sin(45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30°=22×32+22×12=6+249.AB

【解析】解：在复平面内，设复数z1、z2对应点的坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)，则有x1>0，y1>0且x2<0，y2>0，

于是得z1+z2对应点的坐标为(x1+x2,y1+y210.CD

【解析】解：A选项，圆柱的侧面积为2π×2R=4πR2，故A选项错误．

B选项，圆锥的母线长为R2+(2R)2=5R，

圆锥的侧面积为πR×5R=5πR2，故B选项错误．

C选项，球的表面积为4πR2，

所以圆柱的侧面积与球的表面积相等，故C选项正确．

D选项，圆柱的体积为πR2×2R=2πR3，

圆锥的体积为1311.ABC

【解析】解：A中，因为sinA=sinB，在△ABC中，由正弦定理可得a=b，

所以该三角形为等腰三角形，所以A正确；

B中，因为sin2A=sin2B，在△ABC中，可得2A=2B或2A=π−2B，

即A=B或A+B=π2，可得C=π2，

所以△ABC为等腰三角形或直角三角形，所以B正确；

C中，在三角形中，A，B∈(0,π)，因为y=cosx在(0,π)上单调递减，所以A>B，所以C正确；

D中，当B为钝角，A为锐角时，此时tanA>tanB时，B>A，所以D不正确．

故选：ABC．

A中，由正弦定理可得a=b，进而可得A=B，即判断出该三角形的形状，进而判断出A的真假；B中，由三角形中的角之间的关系，判断出该三角形的形状，判断出B的真假；C中，由余弦函数的单调性，可得角A，B的关系，判断出C的真假；D中，当B为钝角，A为锐角时，判断出12.6【解析】解：由直观图可得平面图形OABC如下图所示：

则OC=2OC′=22，BC=B′C′=2，

在题设等腰梯形OA′B′C′中，OA′=2×22×2+2=4，

因此OA=OA′=4，

所以SOABC13.5【解析】解：由题意可得，当D为BC的中点时，此时向量AD长度最小，

即|AD|=32×5=532，

故答案为：514.3【解析】解：在△ABC中，AB=3，AC=1，∠BAC=60°，

余弦定理：可得BC2=AB2+AC2−2AB⋅AC⋅cos60°

即BC=7．

在△ADC中，设BD=m，则DC=7−m．

余弦定理：可得DC2=AD2+AC2−2AD⋅AC⋅cos30°

即(7−m15.解：(1)z1=3+4i，z2=−2i，

则z1z2=(3+4i)(−2i)=8−6i；

(2)∵z1=3+4i，z2=−2i，

∴z=z1z2【解析】(1)结合复数的四则运算，即可求解．

(2)根据已知条件，结合复数的四则运算，以及共轭复数的定义，即可求解．

(3)根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数的几何意义，即可求解．

本题主要考查复数的四则运算，复数的几何意义，以及共轭复数的定义，属于基础题．16.解：(1)∵|a|=2，|b|=1，a与b的夹角为45°，

∴|a|cos45°⋅b|b|=2×22×b|b|=b，

∴a在b方向上的投影向量为b；

(2)∵|a|=2，|b|=1，a与b的夹角为45°，

∴|a+2b【解析】(1)根据投影向量求解公式求出答案；

(2)平方后求出|a+2b|2=10，得到模长；

17.解：(I)因为在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，BC=2，AA1=4，E为棱CC【解析】(I)分别求出各个面的面积即可求解；

(II)根据VE−AA118.解：(1)由b=ccosA，利用余弦定理得b=cb2+c2−a22bc，即a2+b2=c2，

所以C=π2，

所以△ABC是直角三角形；

(2)由(1)知△ABC是直角三角形，且c=1，

可得a=sinA【解析】(1)由题意利用余弦定理得a2+