2.1.1直线倾斜角与斜率

2.1.1直线倾斜角与斜率明确学习目标课标要求1.了解直线的倾斜角和斜率的概念。2.理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性.3.了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率．重点难点1.了解直线的倾斜角和斜率的概念；2.了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率知晓结构体系

1夯实必备知识知识点1直线的倾斜角1．倾斜角的定义：(1)当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．(2)当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.2．倾斜角的范围：直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.倾斜角直线图示3.理解(1)从运动变化的观点来看，当直线l与x轴相交时，直线l的倾斜角是由x轴绕直线l与x轴的交点按逆时针方向旋转到与直线l重合时所得到的最小正角．(2)倾斜角从“形”的方面直观地体现了直线对x轴正向的倾斜程度．(3)直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论．知识点2直线的斜率1．斜率的定义把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tanα.2.斜率公式经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)，当x1＝x2时，直线P1P2的斜率不存在．3．直线的方向向量与斜率的关系：(1)直线P1P2的方向向量eq\o(P1P2,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，当x1≠x2时，直线P1P2与x轴不垂直，其一个方向向量为eq\f(1,x2－x1)eq\o(P1P2,\s\up6(→))＝(1，k)，其中k为直线P1P2的斜率．(2)当x1＝x2时，直线P1P2与x轴垂直，直线没有斜率，其一个方向向量为(0,1)．4.理解(1)当x1＝x2时，直线的斜率不存在，倾斜角为90°.(2)斜率公式中k的值与P1，P2两点在该直线上的位置无关．(3)斜率公式中两纵坐标和两横坐标在公式中的顺序可以同时调换．(4)若直线与x轴平行或重合，则k＝0.(5)直线的方向向量与斜率的关系：若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x，y)，则k＝eq\f(y,x).5.求直线的斜率的两种方法(1)利用定义：已知直线的倾斜角为α，且α≠90°，则k＝tanα.(2)利用斜率公式：k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)(x1≠x2)．知识点3倾斜角和斜率的应用倾斜角与斜率的变化关系设直线的倾斜角为α，斜率为k.α的大小0°0°<α<90°90°90°<α<180°k的范围k＝0k>0不存在k<0k的增减性随α的增大而增大随α的增大而增大倾斜角和斜率的应用(1)倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，二者相互联系．(2)涉及直线与线段有交点问题常通过数形结合利用公式求解．2提升学科能力题型一直线的倾斜角例1．设直线l与x轴交于点A，其倾斜角为，直线l绕点A顺时针旋转后得直线，有下列四个值：①；②；③；④．则直线的倾斜角为（

）A．①② B．②③ C．③④ D．①④跟踪训练11．如图所示，直线与轴的夹角为，则的倾斜角为（

）

A． B． C． D．无法计算2．设直线l的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围为（

）A． B．C． D．3．已知直线l的倾斜角为，直线∥l，直线，则直线与的倾斜角分别是.题型二直线的斜率例2．若直线经过，两点，则直线AB的倾斜角为（

）A．30° B．45° C．60° D．120°跟踪训练21．若直线经过两点，则直线的斜率为2．直线的倾斜角是（

）A． B． C． D．3．经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角.(1)，；(2)，；(3)，).题型三倾斜角与斜率的概念辨析例3．对于下列命题：①若是直线l的倾斜角，则；②若直线倾斜角为，则它斜率；③任一直线都有倾斜角，但不一定有斜率；④任一直线都有斜率，但不一定有倾斜角．其中正确命题的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4跟踪训练31．在下列四个命题中，正确的是（

）．A．若直线的倾斜角为锐角，则其斜率一定大于0B．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为C．任意直线都有倾斜角，且当时，斜率为D．直线的倾斜角越大，则其斜率越大2．有下列命题：其中错误的是（

）A．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应；B．若直线的倾斜角存在，则必有斜率与之对应；C．坐标平面上所有的直线都有倾斜角；D．坐标平面上所有的直线都有斜率．3．下列四个命题中，错误的有（）A．若直线的倾斜角为，则B．直线的倾斜角的取值范围为C．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为D．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为题型四斜率与倾斜角的变化关系例4．图中的直线的斜率分别为，则（

）

A． B．C． D．跟踪训练41．如图，直线的斜率分别为，则（

）A． B．C． D．2．已知两条直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为.若，则下列关系正确的是（

）A． B． C． D．3．如图，已知直线的斜率分别为，则（）A．B．C． D．题型五已知斜率求倾斜角范围例5．若直线斜率的绝对值等于，则直线的倾斜角为（

）A． B．C． D．或跟踪训练51．若，则直线的倾斜角的取值范围为（

）A． B．C． D．2．已知直线的方程为，，则直线的倾斜角范围是．3．若直线的斜率的变化范围是，则它的倾斜角的变化范围是()A．B．C．D．或题型六已知斜率求参数例6．直线经过点，且倾斜角为，则实数为．跟踪训练61．过两点、的直线的倾斜角为，则的值为（

）A．或 B． C． D．2．若过点，的直线的斜率等于1，则m的值为．3．若点在过点，的直线上，则．题型七斜率公式的应用例7．(多选)如果，，三点在同一条直线上，则（

）A． B． C． D．跟踪训练71．若三点，，共线，则.2．已知三点共线，则实数的值为.3．若三点，，(其中)共线，则.题型八直线与线段的相交例8．经过点作直线l，且直线l与连接点，的线段总有公共点，则直线l的倾斜角α的取值范围是（

）A． B．C． D．跟踪训练81．一束光射向轴，与轴相交于点，经轴反射，与以连接、两点的线段总有公共点，这束光所在直线的斜率取值范围为.2．如图，已知点、、，点是线段上任意一点，求直线的斜率的取值范围．

3．已知点、、，过点C的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是（）A． B．C． D．以上都不对题型九直线方向向量与斜率的关系例9．若向量是直线的一个方向向量，则直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．跟踪训练91．直线的一个方向向量是．2．已知直线l过点且一个方向向量为，则l在y轴上的截距为（

）A． B．1 C． D．53．已知点，直线：，(1)若是直线l的一个方向向量，求a的值；(2)若直线l与线段有交点，求a的范围．题型十斜率的几何意义例10．已知函数.则的大小关系为（

）A． B． C． D．跟踪训练101．点在函数的图象上，当，则可能等于（

）A．1 B． C． D．02．已知曲线，则的取值范围是．3．已知实数x、y满足方程，当时，则的取值范围是．

3质量检测评价一、单选题1．直线的倾斜角是（

）A．0 B． C． D．2．直线的一个方向向量为（

）A． B． C． D．3．若，，三点共线，则实数m的值为（

）A． B．2 C． D．34．如图，在平面直角坐标系中有三条直线，其对应的斜率分别为，则下面选项中正确的是（

）A． B．C． D．5．已知直线的倾斜角比直线的倾斜角大，则的斜率为（

）A． B． C． D．6．已知点，，若直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（

）A．或 B．或C．或 D．二、多选题7．下列说法中正确的是（

）A．若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大B．若直线的倾斜角为，则直线的斜率为C．若，，则直线的倾斜角为D．若直线过点，且它的倾斜角为，则这条直线必过点8．已知直线l：，则下列结