2024-2025学年黑龙江省绥化市高二上学期开学考数学检测试卷（含解析）

2024-2025学年黑龙江省绥化市高二上学期开学考数学检测试卷一､单选题1设向量，，若，则（）A. B.0 C.6 D.2.已知，则（

）A. B. C. D.3.已知向量，，若，则m的值为（）A.2 B.1 C. D.4.如图，已知正三棱柱为的中点，则与所成角的余弦值为（）A.1 B. C. D.5.已知一组数据为2，5，7，8，9，12，则这组数据的分位数为（）A.9 B. C.8 D.76.已知复数满足，则复数（）A. B.C. D.7.在中，角的对边分别为.已知，则（）A. B. C. D.8.若正三棱柱的所有棱长均为，且其侧面积为12，则此三棱柱外接球的表面积是（）A. B. C. D.二､多选题9.若复数，则下列说法正确的是（）A.在复平面内对应的点在第四象限 B.的虚部为C. D.的共轭复数10.在空间中，已知a，b是两条不同直线，，是两个不同的平面，则下列选项中正确的是（）A.若，且，，，则B.若，且，，则C.若a与b相交，且，，则与相交D.若，且，，则11.已知圆锥的底面半径为1，其母线长是2，则下列说法正确的是（）A.圆锥的高是 B.圆锥侧面展开图的圆心角为C.圆锥的表面积是 D.圆锥的体积是三､填空题12.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，，，则______．13.已知球半径为3，则该球的表面积等于__________，则该球的体积等于__________14.某校高一年级有1200名学生，高二年级有1000名学生，高三年级有800名学生，现要从该校全体学生中抽取100人进行视力检查，应从高一年级抽取__________人四､解答题15.已知向量，满足，且．（1）求向量，的夹角；（2）求．16.已知内角的对边分别为，设.（1）求；（2）若面积为，求的值.17.某公司为了解员工对食堂的满意程度，随机抽取了200名员工做了一次问卷调查，要求员工对食堂的满意程度进行打分，所得分数均在内，现将所得数据分成6组：，，，，，，并得到如图所示的频率分布直方图．（1）求的值，并估计这200名员工所得分数的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）求这200名员工所得分数的中位数（精确到0.1）；（3）现从，，这三组中用比例分配的分层随机抽样的方法抽取24人，求这组中抽取的人数．18.如图，在正方体中，（1）求证：平面；（2）求证：19.在正三棱柱中，为棱的中点，如图所示．（1）求证：平面；（2）若二面角的大小为，求直线和平面所成角的正弦值2024-2025学年黑龙江省绥化市高二上学期开学考数学检测试卷一､单选题1.设向量，，若，则（）A. B.0 C.6 D.【正确答案】D【分析】直接利用平面向量共线的坐标运算列式求解值．【详解】向量，，若，则，解得．故选：D．2.已知，则（

）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】根据复数的四则运算可得，进而可得.【详解】由，所以，故选：B.3.已知向量，，若，则m的值为（）A.2 B.1 C. D.【正确答案】D【分析】由向量垂直的坐标表示列方程等于零求解，可得结论.【详解】根据题意知，，，则，解之可得故选：D4.如图，已知正三棱柱为的中点，则与所成角的余弦值为（）A1 B. C. D.【正确答案】B【分析】取的中点，则（或其补角）为异面直线与所成角，解三角形即可求解.【详解】如图，取的中点，连接、，易知，所以异面直线与所成角就是直线与直线所成的角，即（或其补角），由题意可知正三棱柱的所有棱长都相等，可设三棱柱的棱长都为，则，，，因为，所以为直角三角形，所以即异面直线与所成角的余弦值为.故选.5.已知一组数据为2，5，7，8，9，12，则这组数据的分位数为（）A.9 B. C.8 D.7【正确答案】A【分析】利用百分位数的求解公式即可求解．【详解】因为，所以这组数据的分位数是第5个数，即为9．故选：A．6.已知复数满足，则复数（）A. B.C. D.【正确答案】D【分析】由已知等式化简求出，从而可求出复数.【详解】因为，所以．故选：D．7.在中，角的对边分别为.已知，则（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】利用余弦定理计算可得.【详解】由余弦定理可得.故选：B8.若正三棱柱的所有棱长均为，且其侧面积为12，则此三棱柱外接球的表面积是（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】根据三棱柱侧面积公式求出，确定球心的位置，如图构造直角三角形，由勾股定理求出外接球半径的平方，再根据球的表面积公式即可求解.【详解】由题意可得，正棱柱的底面是边长和高都等于的等边三角形，侧面积为，∴，∴，取三棱柱的两底面中心，连结，取的中点，则为三棱柱外接球的球心，连结，则为三棱柱外接球的半径．∵是边长为的正三角形，是的中心，∴．又∵∴．∴三棱柱外接球的表面积.故选：B.二､多选题9.若复数，则下列说法正确的是（）A.在复平面内对应的点在第四象限 B.的虚部为C. D.的共轭复数【正确答案】AD【分析】利用复数的几何意义判断A；求出复数的虚部判断B；求出复数的平方判断C；求出共轭复数判断D作答.【详解】对于A，复数在复平面内对应的点在第四象限，A正确；对于B，的虚部为，B错误；对于C，，C错误；对于D，的共轭复数，D正确.故选：AD10.在空间中，已知a，b是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列选项中正确的是（）A.若，且，，，则B.若，且，，则C.若a与b相交，且，，则与相交D.若，且，，则【正确答案】AC【分析】利用空间线线、线面、面面平行和垂直的判定定理和性质定理分析判断即可【详解】若，且，，即两平面的法向量平行，则成立，故A正确；若，且，，则a与b互相平行或相交或异面，故B错误；若a，b相交，且，，即两平面的法向量相交，则，相交成立，故C正确；若，且，，则与平行或相交，故D错误；故选：AC.此题考查空间线线、线面、面面平行和垂直的判定定理和性质定理的应用，属于基础题11.已知圆锥的底面半径为1，其母线长是2，则下列说法正确的是（）A.圆锥的高是 B.圆锥侧面展开图的圆心角为C.圆锥的表面积是 D.圆锥的体积是【正确答案】AC【分析】根据圆锥及侧面展开图的性质，表面积公式，体积公式求解判断即可.【详解】圆锥的底面半径为，其母线长是，则圆锥的高，故A正确；设圆锥侧面展开图圆心角为，则，解得，故B错误；圆锥的表面积是，故C正确；圆锥的体积是，故D错误.故选：AC.三､填空题12.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，，，则______．【正确答案】【分析】由已知利用三角形内角和定理可求A，根据正弦定理即可求的值．【详解】在中，因为，，，则，由正弦定理，可得：．故．13.已知球的半径为3，则该球的表面积等于__________，则该球的体积等于__________【正确答案】①.②.【分析】根据球的表面积公式和体积公式直接求解即可.【详解】因为球的半径为3，所以球的表面积为，体积为.故，14.某校高一年级有1200名学生，高二年级有1000名学生，高三年级有800名学生，现要从该校全体学生中抽取100人进行视力检查，应从高一年级抽取__________人【正确答案】40【分析】高一年级人数乘以抽样比即可．【详解】由题意，应从高一年级抽取的人数为.故40.四､解答题15.已知向量，满足，且．（1）求向量，夹角；（2）求．【正确答案】（1）（2）【分析】（1）根据数量积运算律得出，再根据夹角公式得夹角的余弦值，即可求出结果；（2）根据条件及（1）中结果，利用数量积的运算性质，即可求出结果.【小问1详解】由，得到，又，所以，得到，所以，又，所以【小问2详解】由（1）知，又，所以，所以.16.已知内角的对边分别为，设.（1）求；（2）若的面积为，求的值.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）根据题意，由正弦定理的边角互化进行化简，结合余弦定理即可得到结果；（2）根据题意，由三角形的面积公式可得，结合余弦定理即可得到结果.【小问1详解】原式化简可得：，整理得：，由正弦定理可得：，因此三角形的内角；【小问2详解】，，，.17.某公司为了解员工对食堂的满意程度，随机抽取了200名员工做了一次问卷调查，要求员工对食堂的满意程度进行打分，所得分数均在内，现将所得数据分成6组：，，，，，，并得到如图所示的频率分布直方图．（1）求的值，并估计这200名员工所得分数的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）求这200名员工所得分数的中位数（精确到0.1）；（3）现从，，这三组中用比例分配的分层随机抽样的方法抽取24人，求这组中抽取的人数．【正确答案】（1），（2）72.9（3）【分析】（1）根据小矩形面积和为1得到关于的方程，解出值，再利用频率分布直方图中平均数公式即可；（2）首先确定中位数所在区间，再设中位数为，列出方程，解出即可；（3）求出各区间人数，再根据分层抽样的特点即可得到答案.【小问1详解】由题意知，解得.估计这200名员工所得分数的平均数，.【小问2详解】频率为，的频率为，所以中位数落在区间，设中位数为，所以，解得，即估计这200名员工所得分数的中位数为72.9.【小问3详解】的人数：，的人数：，的人数：，所以这组中抽取的人数为.18.如图，在正方体中，（1）求证：平面；（2）求证.【正确答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【分析】（1）根据正方体的性质得到，即可得证；（2）根据正方体的性质得到、，即可证明平面，从而得证.【小问1详解】在正方体中，又平面，平面，所以平面；【小问2详解】连接、，在正方体中为正方形，所以，又平面，平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以.19.在正三棱柱中，为棱的中点，如图所示．（1）求证：平面；（2）若二面角的大小为，求直线和平面所成角的正弦值．【正确答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）连接，设，连接，结合三角形中位线证得线线平行，利用线面平行判定定理得证；（2）由正三棱柱，得平