3.4圆心角(2)教学讲义

3.4圆心角(2)教学讲义新浙教版数学九年级（上）3.4圆心角（2）圆的对称性圆的轴对称性（圆是轴对称图形）垂径定理及其推论圆的中心对称性（旋转不变性）圆心角定理温故知新1圆心角所对的弧相等圆心角所对的弦相等圆心角所对的弦的弦心距相等在同圆或等圆中如果圆心角相等2弧所对的圆心角相等弧所对的弦相等弧所对的弦的弦心距相等在同圆或等圆中如果弧相等2弦所对的圆心角相等弦所对的弧（同为劣弧或优弧）相等弦的弦心距相等在同圆或等圆中如果弦相等2弦心距所对的弧相等弦心距所对的弦相等弦心距所对的圆心角相等在同圆或等圆中如果弦心距相等在同圆或等圆中如果弦相等那么弦所对的圆心角相等弦所对的弧（指劣弧）相等弦的弦心距相等在同圆或等圆中如果弦心距相等那么弦心距所对应的圆心角相等弦心距所对应的弧相等弦心距所对应的弦相等在同圆或等圆中如果弧相等那么弧所对的圆心角相等弧所对的弦相等弧所对的弦的弦心距相等3结论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等.几何语言：如图，∠AOB=∠COD，→AB=CD，OE=OF，.推论：(圆心角定理的逆定理)

在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余的各组量都分别相等。抢答题已知：如图，AB，CD是⊙O的两条弦，OE，OF为AB、CD的弦心距，根据这节课所学的定理及推论填空：ABCFDEO（2）如果OE=OF，那么

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；⌒⌒（3）如果AB=CD，那么

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；（4）如果AB=CD，那么

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。(1)如果∠AOB=∠COD，那么

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;OE=OFAB=CDAB=CD⌒⌒∠AOB=∠CODAB=CDAB=CD⌒⌒∠AOB=∠CODAB=CDOE=OF∠AOB=∠CODOE=OFAB=CD⌒⌒OAB下面的说法正确吗?为什么?如图,因为，根据圆心角、弧、弦、弦心距的关系定理可知：

⌒⌒一般地，圆有下面的性质在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余的各组量都相等。BEDAFCO∠AOB=∠CODAB=CDOE=OFAB=CD⌒⌒⑴∠AOB=∠COD⑵AB=CD⑶OE=OF⑷AB=CD解四边形BDCO是菱形.证明如下：∵AB=BC=CA，又∵OB=OD，∴△BOD是等边三角形.∴∠BOD=180°-∠AOB=180°-120°=60°.

例3如图，等边三角形ABC内接于⊙O，连结OA,OB,OC，延长AO，分别交BC于点P，交于点D.连结BD,CD.判断四边形BDCO是哪一种特殊的平行四边形，并给出证明.∴∠AOB=∠BOC=∠COA=120°.（圆心角定理）∴OB=OC=BD=CD，即四边形BDCO是菱形.同理，△COD是等边三角形.解如图所示，连结OA,OB,OC，并延长AO交BC于点D.∵AB=BC=AC，∴OD⊥BC，∴∠BAD=30°，BD=.∵OB=OC，∠DOB=∠COD=60°

拓展已知等边三角形ABC的边长为，求它的外接圆半径.∴∠AOB=∠COB=∠AOC=120°.∴r=2cm.设OB=r，则OD=r.分析连结OD,OE.这样我们只要证明∠AOD=∠DOE=∠BOE，就能得到.证明如图，连结OD,OE，在等边三角形ABC中，∠A=60°.∵OA=OD，∴△AOD是等边三角形.同理，∠BOE=60°.∴∠DOE=180°-∠AOD-∠BOE=180°-60°-60°=60°.∴∠AOD=∠DOE=∠BOE，

例4已知：如图，△ABC为等边三角形，以AB为直径的⊙O分别交AC,BC于点D,E.求证：.∴∠AOD=60°.∴（圆心角定理）当堂巩固1、如图，已知点O是∠EPF的平分线上一点，P点在圆外，以O为圆心的圆与∠EPF的两边分别相交于A、B和C、D。求证：AB=CD分析：联想到“角平分线的性质”，作弦心距OM、ON，证明:作,垂足分别为M、N

。OM=ONAB=CD.MN要证AB=CD，只需证OM=ONPABECDFO做一做.PBEDFOAC.如图，P点在圆上，PB=PD吗？

P点在圆内，AB=CD吗？变式练习：PBEMNDFOMN(2)四边形ACBD有可能为正方形吗？若有可能,当AB、CD有何位置关系时，四边形ACBD为正方形？为什么？2、如图,AB、CD是⊙O的两条直径。(1)顺次连结点A、C、B、D，所得的四边形是什么特殊四边形？为什么？ＯＣＢＡＤ（3）如果要把直径为30cm的圆柱形原木锯成一根横截面为正方形的木材，并使截面尽可能地大，应怎样锯？最大横截面面积是多少？（4）如果这根原木长15m，问锯出地木材地体积为多少立方米（树皮等损耗略去不计）？解：如图，所得的四边形是矩形，理由如下：AODCB∵AC，BD是⊙O的直径∴AO=OC=OB=OD∴四边形ABCD是平行四边形又∵AC=BD∴四边形ABCD是矩形当AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形∵AC=BD=30cm∴AO=BO=15cm∴S正方形ABCD=15×15÷2×4=450（cm2）=4.5×10-2（m2）∴V=4.5×10-2×15=0.675（m3）1、三个元素：圆心角、弦、弧归纳：2、三个相等关系：OαABA1B1α(1)圆心角相等(2)弧相等(3)弦相等知一得二自我挑战证明：∵AB=AC∴AB=AC，△ABC是等腰三角形又∠ACB=60°∴△ABC是等边三角形，AB=BC=CA∴∠AOB=∠BOC=∠AOC1、如图1，在⊙O中，AB=AC,∠ACB=60°,

求证∠AOB=∠BOC=∠AOC。⌒⌒⌒⌒OBCA在同圆中，相等的弧所对的弦相等()()在同圆中，相等的弦所对的圆心角相等2（漳州中考）下列命题是真命题的是（）（A）相等的圆心角所对的弧相等（B）长度相等的两条弧是等弧（C）等弦所对的圆心角相等（D）等弧所对的弦相等D3、如图4，AB是⊙O的直径，BC=CD=DE，∠COD=35°，求∠AOE的度数。OABEDC证明：∵BC=CD=DE∴∠COB=∠COD=∠DOE=35°∴∠AOE=1800-∠COB-∠COD-∠DOE=750⌒⌒⌒⌒⌒⌒4.如图,已知⊙O中,弦AB=CD

求证：AD=BC证明：∵AB=CD=︵AB

︵CD∴︵AD＝即：︵BC∴︵AB

︵BD－

＝︵CD

︵BD－

∴AD=BC(