经济数学基础（第六版）（上册）课件 第14讲3.5利用导数研究函数

经济数学基础辅导第14讲顾静相3.5利用导数研究函数教学要求

掌握判断函数图形的凹凸性及拐点方法．函数的凹凸与拐点

在研究函数图像的变化状况时，了解它上升和下降的规律是有用的，但上升和下降不能完全反映图像的变化．如图所示的函数图像在区间内始终是上升的，但却有不同的弯曲状况.

它从左端点开始，曲线先向上弯曲，通过点P后变为向下弯曲了．因此，研究函数图像时，考察它的弯曲方向以及改变弯曲方向的点是完全必要的．yxOabPy=f(x)曲线凹凸的定义

定义3.2如果在某区间内，曲线弧位于其上任意一点的切线的上方，则称曲线在这个区间内是凹的，如图14-1；

如果在某区间内，曲线弧位于其上任意一点的切线的下方，则称曲线在这个区间内是凸的，如图14-2．图14-1图14-2曲线凹凸的几何意义

由图14-1发现，对于凹曲线，当

x逐渐增加时，其上每一点切线的斜率是逐渐增加的，即导函数

f

(x)是单调增加函数；而图12-2中的凸曲线，其上每一点切线的斜率是逐渐减少的，从而

f

(x)是单调减少函数．图14-1图14-2曲线凹凸的判别定理

定理3.8设函数

f(x)在区间(a,b)内二阶导数存在，(1)若a<x<b

时，恒有

f

(x)>0，则曲线

y=f(x)在(a,b)内是凹的；(2)若a<x<b

时，恒有

f

(x)<0，则曲线

y=f(x)在(a,b)内是凸的．曲线拐点的概念

定义3.3曲线凹与凸的分界点称为曲线的拐点.

拐点既然是凹与凸的分界点，那么在拐点的左、右邻近

f

(x)

必然异号，因而在拐点处有

f

(x)=0或

f

(x)不存在．

与驻点的情形类似，使

f

(x)=0的点只是可能的拐点．究竟它是否为拐点，还要根据

f

(x)在该点的左、右邻近是否异号来确定.曲线的凹凸与拐点

求拐点的一般步骤：

（1）求函数的二阶导数

f

(x)；

（2）令

f

(x)=0，解出全部根，并求出所有二阶导数不存在的点；

（3）对步骤（2）求出的每一个点，检查其左、右区间中

f

(x)的符号，如果异号则该点为曲线的拐点；如果同号则该点不是曲线的拐点．曲线的凹凸与拐点例1 求曲线

y=x4

-2x3+1的凹凸区间和拐点．曲线的凹凸与拐点例1 求曲线

y=x4

-2x3+1的凹凸区间和拐点．解

因为

y

=4x3

-6x2，y

=12x2

-12x=12x(x-1)，令

y

=0，解

x=0,x=1．函数没有二阶导数不存在的点．曲线的凹凸与拐点例1 求曲线

y=x4

-2x3+1的凹凸区间和拐点．解

因为

y

=4x3

-6x2，y

=12x2

-12x=12x(x-1)，令

y

=0，解

x=0,x=1．函数没有二阶导数不存在的点．当x

(-∞,0)时，f

(x)>0，区间(-

,0)为曲线的凹区间；当

x

(0,1)时，f

(x)<0，区间(0,1)为曲线的凸区间；曲线的凹凸与拐点解

因为

y

=4x3

-6x2，y

=12x2

-12x=12x(x-1)，令

y

=0，解

x=0,x=1．函数没有二阶导数不存在的点．当x

(-∞,0)时，f

(x)>0，区间(-

,0)为曲线的凹区间；当

x

(0,1)时，f

(x)<0，区间(0,1)为曲线的凸区间；当

x

(1,+∞)时，f

(x)>0，区间(1,+

)为曲线的凹区间；所以，曲线的拐点为(0,1)和(1,0)．曲线的凹凸与拐点例2 求曲线

y=(2x-1)4+1的凹凸区间和拐点．曲线的凹凸与拐点例2 求曲线

y=(2x-1)4+1的凹凸区间和拐点．解

因为

y

=8(2x

-1)3，y

=48(2x

-1)2，令

y

=0，解得

x=0.5．函数没有二阶导数不存在的点．曲线的凹凸与拐点例2 求曲线

y=(2x-1)4+1的凹凸区间和拐点．解

因为

y

=8(2x

-1)3，y

=48(2x

-1)2，令

y

=0，解得

x=0.5．函数没有二阶导数不存在的点．当

x

(-∞,0.5)时，f

(x)>0，区间

(-

,0.5)为曲线的凹区间；当x

(0.5,+∞)时，f

(x)>0，区间(0.5,+

)为曲线的凹区间；所以，曲线的凹区间为

(-

,+

)，没有凸区间，也没有拐点．曲线的凹凸与拐点例3 求曲线

的凹凸区间和拐点．曲线的凹凸与拐点例3 求曲线

的凹凸区间和拐点．解

因为

，

；当

x=4时，y

不存在，且

y

在(-

,+

)内没有使

y

=0的点．曲线的凹凸与拐点例3 求曲线

的凹凸区间和拐点．解

因为

，

；当

x=4时，y

不存在，且

y

在(-

,+

)内没有使

y

=0的点．当

x

(-∞,4)时，f

(x)>0，区间

(-∞,4)为曲线的凹区间；当x

(4,+∞)时，f

(x)<0，区间(4,+

)为曲线的凸区间；所以，曲线的拐点为(4,2)．曲线的渐近线

有些函数的定义域或值域是无穷区间，其图形向无穷远延伸，如双曲线、抛物线等．有这样特性的、且在向无穷远延伸时曲线将接近某一条直线，这样的直线叫做曲线的渐近线．曲线的渐近线定义

定义3.4如果曲线上的一点沿着曲线趋于无穷时，该点与某条直线的距离趋于零，则称此直线为曲线的渐近线．曲线的渐近线1．水平渐近线

设曲线y=f(x)，如果

，则称直线

y=c为曲线

y=f(x)的水平渐近线．

如果极限

不存在，那么曲线无水平渐近线．曲线的渐近线2．铅垂渐近线

如果曲线

y=f(x)在点

x0

处间断，且

，则称直线

x=x0

为曲线

y=f(x)的铅垂渐近线．

曲线的渐近线例4求曲线

的水平渐近线和铅垂渐近线．

曲线的渐近线例4求曲线

的水平渐近线和铅垂渐近线．

解

因为

，所以直线

y=1是曲线的水平渐进线．

又因为

2是

的间断点，且

，所以直线

x=2是曲线的铅垂渐近线．

曲线的渐近线3．斜渐近线

设曲线y=f(x)，如果有=0成立，则称直线

y=ax+b为曲线

y=f(x)的斜渐近线．其中

，

．曲线的渐近线例5求曲线

的渐近线．

曲线的渐近线例5求曲线

的渐近线．

解

因为

不存在，所以曲线无水平渐近线.

因为

x=-1是

的间断点，且

，所以直线

x=-1是曲线的铅垂渐近线．

曲线的渐近线又因为

，

所以直线

y=x

-1

是曲线的斜渐近线．，

函数作图

利用一、二阶导数可以获得函数的单调区间和极值点、凹凸区间和拐点等，利用极限可以获得函数的渐近线．这样就可以较准确地绘出函数的图形，看出因变量

y是如何依赖于自变量

x的变化而变化的状况．

函数作图

利用导数和极限描绘函数

y=f(x)的图形，一般包括下列几步：

（1）确定函数的定义域，讨论函数的周期性、有界性、对称性（奇或偶）等；函数作图

利用导数和极限描绘函数

y=f(x)的图形，一般包括下列几步：

（1）确定函数的定义域，讨论函数的周期性、有界性、对称性（奇或偶）等；

（2）通过一阶导数获得函数图形的单调区间和极值点，通过二阶导数获得函数图形的凹凸区间和拐点；

（3）通过求渐近线获得动点沿曲线趋于无穷远时的性态；

函数作图

（3）通过求渐近线获得动点沿曲线趋于无穷远时的性态；

（4）适当补充一些点，如曲线与坐标轴的交点；

（5）根据上述结果描出函数的图形.

函数作图例6作出函数

的图形．

函数作图例6作出函数

的图形．

解

（1）定义域为(-

,-1)∪(-1,+

)；

（2）

由

，

解得驻点

x=1；

由

，

解得

x=2．当x

(-

,-1)时，y

<0，y

(x)<0，故(-

,-1)是函数的单调减少、凸区间；当

x

(-1,1)时，y

>0，y

(x)<0，故(-1,1)是函数的单调增加、凸区间；

函数作图当

x

(1,2)时，y

<0，y

(x)<0，故

(1,2)是函数的单调减少、凸区间，且

x=1是函数

y(x)的极大值点，极大值是

；函数作图当

x

(1,2)时，y

<0，y

(x)<0，故

(1,2)是函数的单调减少、凸区间，且

x=1是函数

y(x)的极大值点，极大值是

；当x

(2,+

)时，f

(x)<0，y

(x)>0，故(2,+

)是函数的单调减少、凹区间，且

是函数

y(x)的拐点．函数作图当

x

(1,2)时，y

<0，y

(x)<0，故

(1,2)是函数的单调减少、凸区间，且

x=1是函数

y