2021年新初三数学北师大复习《图形的平移与旋转》

2021年新初三数学北师大新版专题复习《图形的平移与旋转》

一.选择题（共10小题）

1.（2021•河西区二模）在平面直角坐标系中，将点A（5,1）向下平移3个单位，再向右

平移2个单位，则平移后A的对应点A'的坐标为（）

A.（2,3）B.（2,8）C.（7,-2）D.（5,-1）

2.（2021春•鼓楼区校级期中）在平面直角坐标系中，将点A（1,序）沿着y轴的正方向

向上平移（加2+4）个单位后得到点B.有四个点E（l,-m2）,尸（加2+4,用2）,/（i,

m2+3）,N（1,4m2）,一定在线段AB上的是（）

A.点EB.点/C.点MD.点N

3.（2021春•济南期中）已知等边△ABC的边长为4,点尸是边8。上的动点，将也人引45绕

点A逆时针旋转60°得到八人。。,点。是4c边的中点.连接力。.则。。的最小值是

（）

C.2D.V3

4.（2021春•成都月考）如图，在AABC中，BC=9,NA=80°,NB=70°,把△ABC

沿RS的方向平移到AOEF的位置，若CF=5,则下列结论中错误的是（）

C.AB//DED.N尸=30°

5.（2021春•碑林区校级期中）招某图形的各顶点的横坐标都减去3,纵坐标保持不变，则

该图形（）

A.沿x轴向右平移3个单位B.沿x轴向左平移3个单位

C.沿），轴向上平移3个单位D.沿），轴向下平移3个单位

6.（2021春•鹿城区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A5C关于。（-1,

0）成中心对称.已知点A的坐标为（-3,-2）,则点W的坐标是（）

C.(3,2)D.(2,3)

7.（2021春•光明区期中）在平面直角坐标系中，将点（-I,-3）向左平移2个单位长度

得到的点的坐标是（）

A.(-1»-5)B.(-3,-3)C.(1,-3)D.(-1,1)

8.（2021春•龙岗区期中）如图，点P为定角NAOB平分线上的一个定点，且NMPN与N

408互补.若NMPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与。408相交于M、N两

点，则以下结论：①PM=PN；②OM+ON的值不变；③MN的长不变；④四边形PMON

）

A.①②®B.①@④C.@@@D.②③④

9.（2020春♦思明区校级期末）如图，在平面直角坐标系上有点A（1,0）,点A第一次跳

动至点4（-1,1）,第二次向右跳动3个单位至点42（2,I）,第三次跳动至点A3（-

2,2）,第四次向右跳动5个单位至点4（3,2）,以此规律跳动下去，点A第2020

次跳动至点A2O2O的坐标是（

C.（1010,1009）D.（1011,1010）

10.（2020秋•金水区校级月考）如图，边长为8的等边三角形48c中，E是对称轴AO上

的一个动点，连接EC将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC,连接OF,则在点E

运动过程中，。尸的最小值是（）

A.4B.3C.2D.1

二.填空题（共10小题）

11.（2021春•台江区校级月考•）如图，已知线段A8=6,。为A8的中点，尸是平面内的一

个动点，在运动过程中保持不变，连结BP,将绕点尸逆时针旋转90°到PC,

连结3C、AC,则线段AC的取值范围是.

12.（2021春•历城区期中）如图，在RtZLABC中，ZACB=90°,AC=1,ZABC=30°,

点。为RtZ\A8C内一点，连接A。、BO、CO.且N4OC=NCO8=N80A=120°,则

OA+OB+OC的值为（提示：以点B为旋转中心，将△AOB绕点B顺时

针方向旋转60°,得到△401）.

13.（2021春♦和平区校级月考）如图，在直角坐标系中，已知点4（4,0）,点B为y轴正

半轴上一动点，连接48,以A8为一边向下作等边△ABC,连接OC,则OC的最小值

14.（2021•于洪区一模）如图，已知△ABC中，ZC=90°,AC=4,BC=3,将△ABC绕

点5逆时针旋转一定的角度a,若0°<a<90°,直线4a分别交AB,AC于点G,H,

当△4GH为等腰三角形时，则CH的长为.

15.（2019秋•沙坪坝区校级期末）如图，RtZXABC中，ZC=90°,AC=10,BC=16.动

点P以每秒3个单位的速度从点4开始向点C移动，直线I从与AC重合的位置开始，

以相同的速度沿C8方向平行移动，且分别与C3,AB边交于£尸两点，点P与直线/

同时出发，设运动的时间为，秒，当点P移动到与点。重合时，点尸和直线/同时停止

运动.在移动过程中，将△PM绕点E逆时针旋转，使得点尸的对应点M落在直线/上，

点尸的对应点记为点N,连接BN,当BN〃PE时，，的值为.

c.

A

A

16.（2020•莲湖区模拟）如图，在△ABC中，AB=AC=2tNBAC=120°,P为BC边上

一动点,连接AP,将线段AP绕点A顺时针旋转120°至AP',则线段PP'的最小值

为

17.（2020秋•武汉期中）定义：有一组对角互余的四边形叫做对余四边形，如图，在对余

四边形ABCD中，AB=BC,AD=2娓,CD=5,NA8C=60°,则线段BD

18.（2020•江夏区模拟）△ABC为边长为6的等边三角形，点、E为边BC上一点,将BE绕

8点逆时针旋转120°至ljB。，点尸为边AC上一点，AE交。产于点K,且NOKE=60°,

19.（2019春•锦江区期末）如图，在△A8C中，AC=BC=9,ZC=120°,。为AC边上

一点，且AO=6,E是A6边上一动点，连接OE,将线段£>£绕点。逆时针旋转30°得

到。尸，若尸恰好在8C边上，则AE的长为.

c

20.（2019•柯桥区模拟）RtAASC中，NAC8=90。,BC=a,AC=b（b>a）,将△ABC

绕点B顺时针旋转90°得到△EBD,连接A£射线CD分别交AB.AE于点F、G,则感

三.解答题（共10小题）

21.（2021•福州模拟）已知等边△ABC,。为BC边上一点，点E在线段A。上，且NEBD

=NBA。.将△ABE绕着点4逆时针旋转至△4CR连接EF,交AC于点G.

（1）求证：B,E,尸三点共线；

lSi

（2）记4CG产的面积为Si，的面积为S2，若BD=或DE.求，■的值.

So

22.（2021•砺□区模拟）在如图的网格中建立平面直角坐标系，△ABC的顶点坐标分别为4

（1,7）B（8,6）C（6,2）,。是AB与网格线的交点，仅用无刻度尺的直尺在给定网

格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，并完成下列问题：

（1）直接写出△ABC的形状；

（2）画出点。关于AC的对称点E；

（3）在48上画点凡使/BCF=0.5NBAC；

（4）线段48绕某个点旋转一个角度得到线段C4（A与C对应，B与A对应），直接写

出这个旋转中心的坐标.

23.（2021•郴州模拟）如图1,招两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中

ZC=90°.若固定△A8C,将△OEC绕点C旋转.

（1）当△力内。绕点C旋转到点力恰好落在AR边上时，如图2.

①当/8=NE=30°时，此时旋转角的大小为:

②当NB=NE=a时，此时旋转角的大小为（用含。的式子表示）.

（2）当△OEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小杨同学猜想：△BOC的面积与4

AEC的面积相等，试判断小杨同学的猜想是否正确，若正确,请你证明小杨同学的猜想.若

24.（2020秋•前郭县期末）在△4BC中，AB=BC=2tNA8C=120°,将△ABC绕点B

顺时针旋转角a<00<a<90c）得△48。，48交AC于点E,41cl分别交AC、BC

于。、F两点.

（1）如图1,观察并猜想，在旋转过程中，线段8E与B尸有怎样的数量关系？并证明你

的结论：

（2）如图2,当a=30°时，试判断四边形8CD4的形状，并说明理由.

c

图2

25.（2020秋•肇源县期末）如图，P是正三角形A8C内的一点，且例=6,PB=8,PC=

10,将△4PB绕点8逆时针旋转一定角度后，可得到△CQB.

（1）求点尸与点。之间的距离；

（2）求NAPB的度数.

26.（2019秋•凤山县期中）如图，在等边△ABC中，点D为△A8C内的一点，ZADB=120°,

ZADC=90°,将△48。绕点A逆时针旋转60°得△4CE,连接DE.

（1）求证：AD=DE；

（2）求NOCE的度数；

（3）若80=1,求40,CO的长.

27.（2018秋•鸡西期末）如图，在30°的直角三角形ABC中，N3=30°,。是直角边

所在直线上的一个动点，连接AO,将AO绕点4逆时针旋转60°到AE,连接BE,DE.

（1）如图①，当点E恰好在线段上时，请判断线段。E和8E的数量关系，并结合

图①证明你的结论；

（2）当点E不在直线8c上时，如图②、图③，其他条件不变，（1）中结论是否成立？

若成立，请结合图②、图③选择一个给予证明；若不成立，请直接写出新的结论.

E

28.（2019•站前区校级三模）如图，△A3C的三个顶点和点O都在正方形网格的格点上,

每个小正方形的边长都为1.

（I）将△ABC先向右平移4个单位，再向上平移2个单位得到△45iCi，请画出△

AiBiCi；

（II）请画出△A2B2Q，使282c2和△48C关于点O成中心对称.

29.（2019•德城区一模）阅读材料:

对于线段的垂直平分线我们有如下结论：到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平

分线上.即如图①，若雨=尸8,则点尸在线段A8的垂直平分线上.

请根据阅读材料，解决下列问题:

如图②，直线CO是等边△ABC的对称轴，点。在A8上，点E是线段CO上的一动点

（点E不与点C、。重合），连接AE、BE,ZVIBE经顺时针旋转后与△BC尸重合.

（/）旋转中心是点,旋转了（度）；

（II）当点E从点。向点。移动时，连接AF,设AF与CO交于点尸，在图②中将图形

补全，并探究NAPC的大小是否保持不变？若不变，请求出NAPC的度数；若改变，请

说出变化情况.

30.（2018秋•天心区校级期末）综合应用题：如图，有•副直角三角板如图①放置（其中

NO=45°,ZC=30°),PA.P8与直线MN重合，且三角板朋C,三角板尸8。均可

以绕点P逆时针旋转.

(1)ZDPC=:

(2)如图②，若三角板P8O保持不动，三角板NB4C绕点P逆时针旋转，转速为10°

/秒，转动一周三角板以C就停止转动，在旋转的过程中，当旋转时间为多少时，有PC

//DB成立；

(3)如图③，在图①基础上，若三角板附C的边外从尸N.处开始绕点尸逆时针旋转，

转速为3°/秒，同时三角板。8。的边P8从PM处开始绕点尸逆时针旋转，转速为2°/

秒，(当PC转到与PM重合时，两三角板都停止转动)，在旋转过程中，当NCPD=N

BPM,求旋转的时间是多少？

2021年新初三数学北师大新版专题复习《图形的平移与旋转》

参考答案与试题解析

一.选择题(共io小题)

1.(2021•河西区二模)在平面直角坐标系中，将点A(5,1)向下平移3个单位，再向右

平移2个单位，则平移后4的对应点A'的坐标为()

A.(2,3)B.(2,8)C.(7,-2)D.(5,-1)

【考点】坐标与图形变化-平移.

【专题】平面直角坐标系；平移、旋转与对称；推理能力.

【分析】根据坐标的平移规律解答即可.

t解答】解：将点A(5.1)向右平移2个单位长度.再向下平移3个单位长度.

那么平移后对应的点4'的坐标是(5+2,1-3),即(7,-2),

故选：C.

【点评】此题主要考查坐标与图形变化-平移.平移中点的变化规律是：横坐标右移加，

左移减；纵坐标上移加，下移减

2.(2021春•鼓楼区校级期中)在平面直角坐标系中，将点A(1,m2)沿着y轴的正方向

向上平移(川+4)个单位后得到点B.有四个点E(l,-/n2),F(/n2+4,m2),M(1,

m2+3),N(1,4m2),一定在线段4B上的是()

A.点EB.点产C.点MD.点N

【考点】坐标与图形变化-平移.

【专题】平面直角坐标系；运算能力；推理能力.

【分析】首先根据横坐标上移加，下移减可得B点坐标，横坐标不变，再根据纵坐标y

满足层WyW2m2+4可得答案.

【解答】解：点4(1，川)向上平移(加2+4)个单位长度得到的B的坐标为(1,wW+4),

即(1,2m2+4),

VW2+4^1,

：.F(渥+4,混)不在直线43上，

*/当/nWO时，-m2Vm2,

：.E(1,-m2)不在线段AB上,

当m<-加或加>立时，4/n2>2/n2+4,

N(1,4m2)不在线段AB上，

V/n2<w2+3<2w2+4,

：.M(1,m2+3)一定在线段A8上，

故选：C.

【点评】此题主要考查了坐标与图形变化-平移，以及关于)，轴对称点的坐标，解题的

关键是掌握点平移坐标的变化规律.

3.(2021春•济南期中)已知等边△ABC的边长为4,点尸是边8C上的动点，将aABP绕

点A逆时针旋转60°得到△ACQ,点。是AC边的中点，连接。。，则。。的最小值是

()

A.V2B.V5C.2D.V3

【考点】等边三角形的性质；旋转的性质.

【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；推理能力.

【分析】根据旋转的性质，即可得到NBCQ=120°,当。Q_LCQ时，。。的长最小，再

根据勾股定理，即可得到。。的最小值.

【解答】解：由旋转可得/ACQ=NB=60°,

又•・,ZACB=60°

AZfiC2=120°,

•・•点。是AC边的中点，

:・CD=2,

当OQ_LCQ时，。。的长最小，

此时，NCDQ=30°,

：.CQ=^CD=[,

2

•**DQ={22_]2=避,

・・・。。的最小值是爽.

故选：D.

【点评】本题主要考查了旋转的性质，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中

心所连线段的夹角等于旋转角.

4.（2021春•成都月考）如图，在△ABC中，8C=9,ZA=80°,NB=70°,把△ABC

沿RS的方向平移到△口£户的位置，若CF=5,则下列结论中错误的是（）

A.BE=5B.DF=9C.AB//DED.N尸=30°

【考点】平行线的判定；平移的性质.

【专题】平移、旋转与对称：推理能力.

【分析】根据平移的性质，平移只改变图形的位置，不改变图形的大小与形状，平移后

对应点的连线互相平行，对各选项分析判断后利用排除法.

【解答】解：:把△A5C沿RS的方向平移到AOEr的位置，BC=9,NA=80°,NB

=70°,

：.CF=BE=5,ZF=ZACB=\S00-ZA-ZB=180°-80°-70°=30°,AB//DE,

・・・A、C、Q正确,8错误，

故选：B.

【点评】本题考查了平移的性质，熟练掌握平移性质是解题的关键.

5.（2021春•碑林区校级期中）将某图形的各顶点的横坐标都减去3,纵坐标保持不变，则

该图形（）

A.沿x轴向右平移3个单位B.沿x轴向左平移3个单位

C.沿y轴向上平移3个单位D.沿），轴向下平移3个单位

【考点】坐标与图形变化■平移.

【专题】平面直角坐标系；应用意识.

【分析】平移中点的变化规律是：左右移动改变点的横坐标，左减右加；上下移动改变

点的纵坐标，下减上加，据此求解即可.

【解答】解：将某图形的各顶点的横坐标都减去3,纵坐标保持不变，即为将该图形沿x

轴向左平移3个单位，

故选：B.

【点评】本题考查了坐标与图形变化一平移，平移变换是中考的常考点，平移中点的变

化规律是：左右移动改变点的横坐标，左减右加；上下移动改变点的纵坐标，下减上加.

6.（2021春♦鹿城区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，△4BC与△4BC关于。（-1,

0）成中心对称.已知点A的坐标为（・3,-2）,则点A的坐标是（）

A.（1,3）B.（1,2）C.（3,2）D.（2,3）

【考点】坐标与图形变化-对称；中心对称；关于原点对称的点的坐标；坐标与图形变

化-旋转.

【专题】平面直角坐标系；平移、旋转与对称；运算能力.

【分析】根据点。是线段44'的中点以及中点坐标公式解答.

【解答】解：设点H的坐标是（mb）,

根据题意知：且二3=-1，必立=0.

22

解得a=Lb=2.

即点4的坐标是（1,2）,

故选：B.

【点评】本题综合考查了中心对称，坐标与图形的变化，难度不大，掌握对称中心的性

质是解题的关键.

7.（2021春•光明区期中）在平面直角坐标系中，将点（-1,-3）向左平移2个单位长度

得到的点的坐标是（）

A.（-1,-5）B.（-3,-3）C.（1,-3）D.（-1,1）

【考点】坐标与图形变化-平移.

【专题】平面直角坐标系；应用意识.

【分析】横坐标，右移加，左承减；纵坐标，上移加，下移减可得对应点的坐标.

【解答】解：将点（・1,・3）句左平移2个单位长度得到的点的坐标是-3）,

即（-3,-3）,

故选:B.

【点评】此题主要考查了坐标与图形的变化，关键是掌握点的坐标的变化规律.

8.（2021春•龙岗区期中）如图，点尸为定角NAO8平分线上的一个定点，且NMPN与/

AOB互补.若NMPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、08相交于M、N两

点、,则以下结论：①PM=PN；②OM+ON的值不变；③MN的长不变；④四边形PMON

A.①®®B.®@®C.®®®D.②③④

【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；旋转的性质.

【专题】图形的全等；平移、旋转与对称；推理能力.

【分析】如图作PELOA于E,P凡LOB于尸.只要证明△尸OEgaPOF,APEA/^APF/V,

即可一一判断

【解答】解：如图作PE_LOA于E,PFtOB于F.

■:/PEO=/PFO=90°,

.*.Z£PF+ZAOB=180°,

•；NMPN+NAOB=180°,

・•・/EPF=/MPN,

・•・NEPM=4FPN,

TO尸平分NAOB,PE_LOA于E,PFLOB于F,

：・/PEO=NPFO=90°,

在和△POF中,

rZPOE=ZPOF

•ZPEO=ZPFO>

PO=PO

:.△POEqXPOFiAAS\

：.OE=OF,PE=PF,

在和中，

rZMPE=ZNPF

<PE=PF，

ZPEM=ZPFN

•••△PEM必PFN(ASA),

：・EM=NF,PM=PN,故①正确，

••S&PEM=S.PNF，

:.S四边形PMON=s四边形PEOF=定值，故④正确，

•：OM+ON=OE+ME+(OF-NF)=20E,是定值，故②正确，

在旋转过程中，△PMN是等腰三角形，形状是相似的，因为PM的长度是变化的，所以

MN的长度是变化的，故③错误，

故选：B.

【点评】本题考查全等三角形的性质、角平分线的性质定理、四边形的面积等知识，解

题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型.

9.(2020春•思明区校级期末)如图，在平面直角坐标系上有点A(1,0),点A第一次跳

动至点4(-1,1),第二次向右跳动3个单位至点A2(2,1),第三次跳动至点心(-

2,2),第四次向右跳动5个单位至点4(3,2),…，以此规律跳动下去，点4第2020

次跳动至点A2020的坐标是()

A.(1012,1011)B.(1009,1008)

C.(1010,1009)D.(1011,1010)

【考点】规律型：点的坐标；坐标与图形变化■平移.

【专题】规律型；平移、旋转与对称；数感.

【分析】根据点的坐标、坐标的平移寻找规律即可求解.

【解答】解：因为4(-1,1),A2(2,1)

A3(-2,2)4(3,2)

A5(-3,3)A6(4,3)

Ai(-4,4)As(5,4)

A2n-l(-〃，n)Ain(n+l，〃)(〃为正整数)

所以以=2020,

w=1010

所以4(1011,1010)

故选：D.

【点评】本题考查了点的坐标、坐标的平移，解决本题的关键是寻找点的变化规律.

10.(2020秋•金水区校级月考)如图，边长为8的等边三角形48c中，E是对称轴4。上

的一个动点，连接EC将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC,连接。凡则在点E

运动过程中，。产的最小值是＜)

A.4B.3C.2D.1

【考点】等边三角形的性质；旋转的性质.

【专题】平移、旋转与对称；几何直观.

【分析】连接BF,判定即可得到NC8F=NCAE=30°,进而得出点

尸的运动轨迹为直线BF,依据当。尸_L8尸时，。尸最短，即可得到。尸的最小值是2.

【解答】解.：如图.连接"凡

由旋转可得，CE=FC,NECF=60°,

•••△ABC是等边三角形，

：.AC=BC,NACB=60°，

:.NACE=NBCF,

・•・△ACEdBCF(SAS),

：.ZCBF=ZCAE,

•・•边长为8的等边三角形ABC中，E是对称轴4。上的一个动点，

AZCA£=30°,BD=4,

ZCBF=30°,

即点产的运动轨迹为直线BF,

，当。尸_1_5尸时,。尸最短，

此时，DF=ABD=AX4=2,

22

:.DF的最小值是2,

故选：C.

【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线

段最短的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点.

二.填空题（共10小题）

11.（2021春•台江区校级月考）如图，已知线段A8=6,。为AB的中点，P是平面内的一

个动点，在运动过程中保持。尸=1不变，连结8P,将P8绕点P逆时针旋转90°到PC,

连结8C、AC,则线段4。的取值范围是_26WACW蚯.

【考点】旋转的性质.

【专题】平移、旋转与对称；推理能力.

【分析】以。为坐标原点建立坐标系，过点C作。_Ly轴，垂足为。，过点P作PEL

DC,垂足为E,延长E尸交x轴于点F,设点尸的坐标为（用y）,则:+/=［然后证

明△ECPg△口心，由全等三角形的性质得到EC=PF=y,FB=EP=3-x,从而得到点

C（x+y,y+3-x）,最后依据两点间的距离公式可求得AC的范围.

【解答】解：如图所示：过点。作CQ_L_y轴，垂足为。，过点产作尸EJ_DC,垂足为E,

延长E尸交x轴于点F.

(-3,0),B(3,0).

设点P的坐标为(x,y),则f+)2=l.

•：/EPC+/BPF=90°,NEPC+/ECP=90°,

：.ZECP=ZFPB.

由旋转的性质可知：PC=PR.

在△ECP和△FPB中，

<ZECP=ZFPB

<NPEC=NPFB，

PC=PB

:.4ECP叁△FPB(AAS).

：,EC=PF=y.FB=EP=3-x.

AC(x+y,y+3-x).

*：AB=6,。为A8的中点，

222

：.AC=y](x+y+3)+(y+3_x)2=^2x+2y+12y+18-

VA2+y2=l,

AAC=V20+12y.

*.*-IWyW1,

••・2加。。或47^

故答案为:2加WACW招回.

【点评】本题主要考查的是旋转的性质、全等三角形的性质和判定，两点间的距离公式

的应用，列出AC的长度与点P的坐标之间的关系式是解题的关键.

12.(2021春•历城区期中)如图，在RtZkABC中，ZACB=90°,AC=1,ZABC=30°,

点。为RtZ\A8C内一点，连接A。、80、CO.且N4OC=NCOB=N80A=120°,则

OA+OB+OC的值为_W_(提示：以点B为旋转中心，将△AOB绕点B顺时针方向旋

转60°,得到△AO'B).

【考点】含30度角的直角三角形；旋转的性质.

【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；推理能力.

【分析】根据旋转角与NA8C的度数，相加即可得到NA'BC,根据直角三角形30°角

所对的直角边等于斜边的一半求出AB=2AC,即A'B的长，再根据旋转的性质求出4

BOO,是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得BO=OO',等边三角形三

个角都是60°求出N500'=NB(T0=60°,然后求出C、。、4'、。'四点共线，

再利用勾股定理列式求出4'C,从而得至1」。4+。8+。。=1C.

【解答】解：以点B为旋转中心，将AAOB绕点B顺时针方向旋转60°,得到△AO,8,

如图：

:△AOB绕点8顺时针方向旋转60°,ZABC=30°,

・・・NA'BC=ZABC+60°=30°+60°=90°,

・・・A'BLCB,

VZACB=90°,AC=1,ZABC=30°,

：,AB=2AC=2,

•••△A08绕点B顺时针方向旋转60°,得到O'B,

，A'B=AB=2,BO=BO',A'O'=A。，

•••△BOO'是等边三角形，

：,BO=OO',/BOO'=NBO'0=60°，

VZAOC=ZCOB=ZBOA=120°,

AZCOB+ZBOO1=NBO'A1+NBO'0=120°+60°=180°,

・・・C、0、A'、O'四点共线，

在RtZXA'8c中，A'。=正2+人，B2="

：.OA+OB+OC=A,O'+OO'+OC=AfC=布.

故答案为：V7.

【点评】本题考查了利用旋转变换作图，旋转变换的性质，直角三角形30°角所对的直

角边等于斜边的一半的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，综合性较强，最后

一问求出C、0、A'、O'四点共线是解题的关键.

13.(2021春•和平区校级月考)如图,在直角坐标系中.已知点人(4.0).点A为y轴正

半轴上一动点，连接48,以AB为一边向下作等边△ABC,连接0C则0C的最小值为

【考点】坐标与图形性质；垂线段最短；全等三角形的判定与性质：等边三角形的性质；

旋转的性质.

【专题】图形的全等；平移、旋转与对称；推理能力.

【分析】以0A为对称轴作等边△4MM由“SAS”可证△ANC乡△AM8,可得

=NANC=60°,由直角三角形的性质可求NAEN=30°,EO=^ON=6,则点C在

EN上移动,当OC_LEN时，。。有最小值，即可求解.

【解答】解：如图，以04为对称轴作等边△AMM延长CN交4轴于£

•••△48C是等边三角形，△AMN是等边三角形，

：,AM=AN,AB=AC>ZMAN=ZBAC,NAMN=600=4ANM,

:・NBAM=ZCAN,

.♦.△ANCg/XAMB(SAS),

・・・NAMB=NANC=60°,

/.7ENO=60°.

；A0=4,ZAMB=60°,AO_LBO,

・・・MO=NO=^1,

3

•・・NENO=60°,/EON=90：

・・・NAEN=30°,EO=^3ON=4,

・••点C在EN上移动，

・••当OC_LENIT寸，OC有最小值，

此时，O'C=^EO=2.

2

故答案为：2.

【点评】本题考查了全等二角形的判定和性质，等边二角形的性质，垂线段最短，确定

点C的运动轨迹是解题的关键.

14.(2021•于洪区一模)如图，已知△43C中，NC=90°,AC=4,8C=3,将△ABC绕

点8逆时针旋转一定的角度a,若0°<a<90°,直线4a分别交A8,AC于点G,H,

当△AGH为等腰三角形时，则CH的长为J宜7或1.

【考点】等腰三角形的性质；勾股定理；旋转的性质.

【专题】平移、旋转与对称；解直角三角形及其应用：推理能力.

【分析】分两种情形：如图1中，当4G=AH时，如图2中，当GA=GH时，过点G作

GM_LAH于M.分别求解即可.

图1

\*AG=AH,

，NAHG=NAGH,

VZA=ZAi，NAGH=NAiGB,

:.ZAHG=ZA\BG,

：,N4G5=NA|BG,

・・・A8=AG=5,

:・GCi=AiG-CiG=l,

•・・NBCiG=90°,

86="遇2+(；]62=132+]2=71^

：,AH=AG=AB-BG=5-V10»

：.CH=AC-AH=4-(5-V10)=41C~1•

如图2中，当G4=GH时，过点G作GM_L4H于M.

B

1

图2

同法可证，G8=G4,设GB=G4=x,则有f=32+(4-x)2,

解得工=至，

8

・・・5G=空，AG=5-空=耳

888

VGM//BC,

・AG=AM

**ABAC，

15

.V-AM

••I-———1,

54

2

,:GA=GH,GM1AH,

:.AM=HM,

：.AH=3,

：.CH=AC-AM=\,

综上所述，满足条件的C"的值为-1或1.

【点评】考查了旋转变换，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关

键是理解题意，学会用分类讨论使得思想思考问题，属于中考常考题型.

15.(2019秋•沙坪坝区校级期末)如图，RtZ\4BC中，ZC=90°,4C=10,BC=\6.动

点P以每秒3个单位的速度从点A开始向点C移动，直线/从与AC重合的位置开始，

以相同的速度沿C8方向平行移动，且分别与C&AB边交于E,尸两点，点P与直线/

同时出发，设运动的时间为/杪，当点P移动到与点。重合时，点尸和直线/同时停止

运动.在移动过程中，将绕点E逆时针旋转，使得点P的对应点M落在直线/上，

点尸的对应点记为点M连接8N,当BN〃PE时，，的值为—理一.

c.

A

AN

【考点】平行线的性质；平移的性质；旋转的性质.

【专题】平移、旋转与对称；解史角三角形及其应用；应用意识.

【分析】作NH_LBC于H.首先证明NPEC=NNEB=NN8E,推出根据cos

NPEC=ss/NEB,推出gS=图，由此构建方程解决问题即可.

PEEN

【解答】解：作N"_LBC于”.

\*EFLBC,/PEF=/NEF,

:・NFEC=NFEB=90°，

VZPEC+ZPEF=90°,NNEB+NFEN=90°,

:"PEC=/NEB,

,:PE〃BN,

：,ZPEC=/NBE,

・•・NNEB=NNBE,

:・NE=NB,

■:HNLBE,

:・EH=BH,

cosZPEC=cosZNEB,

・EC=EH

**PE丽'

'：EF//AC,

・EF=BE

**ACBC，

••--EF_-1--6----3--t,

1016

:・EF=EN=>(16-3/),

8

y(16-3t)

•oX>Q+___4

V9t2+(10-3t)2|(16-3t),

o

整理得：63p-960rH600=0,

解得尸丝或图.(舍弃)，

213

故答案为致.

21

【点评】本题考查旋转的性质.平行线的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学

会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型.

16.(2020•莲湖区模拟)如图，在△48C中，AB=AC=2tN84C=120°,P为8c边上

一动点，连接AP,将线段A尸绕点A顺时针旋转120°至AP',则线段PP'的最小值

为_然_.

【考点】等腰三角形的性质；旋转的性质.

【专题】等腰三角形与直角三帝形；推理能力.

【分析】过点A作AO_LP尸于0依据旋转的性质以及等腰二角形的性质，即可得到厂产

=2PD,当PD最短时，PP最短，且P£>=APXcos30°,再根据AP的长，即可得到线

段PP'的最小值.

【解答】解：如图所示，过点A作AO_LPP于O,

由旋转可得，AP=AP\Zfl4F=120°,

:,PF=2PD,NAPQ=30°,

当尸。最短时，PP最短，且PD=APXcos30°,

•・•尸为BC边上一动点，

・••当AP_LBC时，AP最短，

*：AB=AC=2.ZBAC=120°,

AZC=30°,

二当"_LZ?C时，A〃=ACXsin300=2X-1=1,

2

此时，PF=2PD=2XAPXcos30°=2X1x2^1=73,

2

故答案为：V3.

【点评】本题主要考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、解直角三角形、垂线段最短

等知识，解题的关键是利用等腰三角形的性质得到PP'=2PD.

17.（2020秋•武汉期中）定义：有一组对角互余的四边形叫做对余四边形，如图，在对余

四边形ABCO中，AB=BC,AD=2泥，CD=5,/A5C=60",则线段BD=3诋.

【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质.

【专题】平移、旋转与对称；推理能力.

【分析】对余四边形的定义得出NAOC=30°,将△BC。绕点B逆时针旋转60°,得到

△BAF,连接五。，则△BCDg/XBAF,/尸8。=60°,得出8/=B。，AF=CD,/BDC

=48卜A,则AS六。是等边三角形，得出切=3D=DE易证N6例+NA〃6=3（T,由

N尸BD+NB以+NAOB+NA/7）+NAO/=180°,得出NA/7HNA。尸=90°,则/朋。=

90°,由勾股定理即可得出结果.

【解答】解：..•对余四边形48co中，ZABC=60°,

AZADC=30°,

\'AB=BC,

，将△8CO绕点8逆时针旋转60°,得到△B4F,连接尸Q,如图所示,

ZraD=60°

:・BF=BD,AF=CD,4BDC=4BFA,

•••△BPO是等边三角形，

：.BF=BD=DF,

VZADC=30°,

AZADB+ZBDC=30°,

ZBM+ZADB=30°,

°：N〃3Q+/8WN4Q8+N4F£>+/AQ”=180°,

A600+30°+NAFO+/AO尸=180°,

・・・NA尸£>+乙4。”=90°,

・•・/欣0=90°,

122

：.AD+AF=DFt

211

：.AD+CD=Bbf

：.BD1=(2V5)2+52=45,

•:BD>3

:.BD=3四

故答案为：3加.

【点评】本题考查了对余四边形的定义、旋转的性质、等边三角形的判定与性质、三角

形内角和定理、勾股定理等知识；熟练掌握对余四边形的定义和旋转的性质是解题的关

键.

18.（2020•江夏区模拟）△ABC为边长为6的等边三角形，点、E为边BC上一点,将BE绕

8点逆时针旋转120°至点尸为边AC上一点，AE交DF于点K,且NOKE=60°,

【考点】等边三角形的性质；旋转的性质.

【专题】图形的全等；平移、旋转与对称；推理能力.

【分析】如图，作〃力产交AC于H,交4E于J.想办法证明四边形8。尸”是平行四

边形，证明BE=C〃，构建方程求解即可.

【解答】解：如图，作尸交AC于”，交4E于J.

•・・△ABC是等边三角形，

：,AB=BC,N48C=NC=NBAC=60°,

■:DF//BH,

NDKE=/AJH=60°,

/.ZABJ+ZBAJ=60°,

•；NABJ+NCBH=60°,

:./BAE=/CBH,

:AABEqABCH(4SA),

:,BE=CH,

°：BE=BD,ZEBD=\2Q0,

:・BD=CH,ND84=N8AC=60°,

：,BD//FH,

■:BH//DF,

・・・四边形BDFH是平行四边形,

:.BD=FH=CH,

VAF：EC=3：4,

，可以假设A尸=3k,CE=4k,

：.BE=BD=CH=FH=6-4鼠

：.CF=2(6-4k)=6-32,

“=且

5

■皇=@.

55

故答案为：A.

5

【点评】本题考查旋转的性质，等边三角形的性质，平行四边形的判定和性质，全等三

角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问

题，属于中考填空题中的压轴题.

19.(2019春•锦江区期末)如图，在△ABC中，AC=BC=9,ZC=120°,。为AC边上

一点，且40=6,E是A8边上一动点，连接OE,将线段OE绕点。逆时针旋转30°得

至IJOF,若尸恰好在8C边上，则