人教A版（2019）选择性必修第一册必杀技第一章空间向量与立体几何14用空间向量研究夹角问题（含答案解析）

人教A版（2019）选择性必修第一册必杀技第一章空间向量

与立体几何1.4空间向量的应用142用空间向量研究距离、

夹角问题课时2用空间向量研究夹角问题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.设四边形ABCD,ABEF都是边长为1的正方形，FAJ_平面ABCD,则异面直线AC

与BF的夹角等于（）

A.45°B.30°

C.90°D.60°

2.如图，在长方体ABC。-AB。,中,M,N分别是棱BBi，81cl的中点，若NCM290。,

则异面直线AD\和DM所成角为（）

A.30°B.45°

C.60°D.90°

3.在直三棱柱ABC—A5G中，明=24片=2片&,且AB_L8C,点M是AG的中点,

则异面直线MB与4A所成角的余弦值为（）

A.-B,C.—D.-

3342

4.如图，在棱长为1的正方体ABCD-AQGA中，E为CG的中点，则直线AB与平

面8OE的夹角为（)

5.如图，平面ABCDJ_平面ABEF,四边形ABCD是正方形，四边形ABEF是矩形,

且AF=gAD=a,G是EF的中点，则GB与平面AGC所成角的正弦值为（）

6.如图，正方体ABC。-A,8cA中，E,尸分别是8片和。。的中点，则平面比户与

平面A8CD所成的角的余弦值为（）

7.在正方体ABCO-ABGA中，平面A3。与C/。所成二面角的余弦值为（）

A.yB.在C.-D.@

2233

8.如图，在正三棱柱ABC-ABg中，若4A=75^4，则4片与BQ所成角的大小为

).

试卷第2页，总8页

A,Ci

B

A.60°B.90°C.105°D.75°

9.在正方体ABC。-A81GA中，E,尸分别为AB,G"的中点，则A片与平面A/尸

所成的角的正弦值为（）

A*BTC-TDY

10.在一个二面角的两个面内都和二面角的棱垂直的两个向量分别为（0,-1,3）,（2,2,4）,

则这个二面角的余弦值为（）

人乎B•岑C.半D.±f

11.在长方体ABCO—44GR中，AB=BC=lfM=2,E是侧棱的中点，则直

线AE与平面AER所成角的大小是（）

A.60B.90C.45。D.以上都不对

12.如图所示，在四面体?一ABC中，PCJ•平面ABC,AB=BC=CA=PC,那么二

面角8—AP—C的余弦值为（）

A.@B.3C.且D.-

2377

13.如图，在空间直角坐标系。-孙z中,四棱柱为长方体，

A4,=AB=2A。，点七，尸分别为GA，48的中点，则二面角片-人田-七的余弦值

为（)

14.如图所示，ABCD-AIBICDI是棱长为6的正方体，E,F分别是棱AB,BC上的

动点，且AE=BF.当A”E,F.Ci共面时，平面AiDE与平面CiDF所成二面角的余

AGR1「1n2展

A.B.-C.-D.--------

2255

15.如图所示，M,N是直角梯形ABC。两腰的中点，。£_145于点七，现将△ADE沿

DE折起，使二面角A-OE-B为45°，此时点A在平面3cDE内的射影恰为点8,则M,

N的连线与AE所成的角的大小为（）

A.45°B.90°C.135°D.180°

一一27r

16.设直线/与平面〃相交，且/的方向向量为3,a的法向量为〃，若

则/与。所成的角为（）

27r八兀「兀-57r

A.—B.-C.-D.—

3366

17.三棱锥中，平面ABD与平面8。的法向量分别为I，兀,若后＞=?，

则二面角4一班）一。的大小为（）

试卷第4页，总8页

C.冢与D.就《

二、填空题

18.正方形A8CO所在平面与正方形所在平面成60°的二面角，则异面直线A。与

BF所成的角的余弦值是.

19.在长方体中，AB=2,BC=A4,=1,则"G与平面A^G所成角

的正弦值为.

20.在空间直角坐标系。-型中，已知A(l,-2,0),8(2,1,#),则向量而与平面X。的

法向量的夹角的正弦值为.

21.在正四棱锥S-A5C。中，。为顶点S在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且

SO=OD,则直线6C与平面FAC所成的角是.

22.在正三棱柱48C-A4G中，各棱长都相等，E为84的中点，则平面AEC与平面

ABC的夹角为.

23.已知正四楂柱ABC。—A4G。中，M=2AB,E为4A中点，则异面直线8E与

所形成角的余弦值为.

24.已知正三棱柱ABC-A4G的所有棱长都相等，则AG与平面34CC所成角的余弦

值为.

25.正三棱锥的一个侧面与底面的面积之比为2:3,则这个三棱锥的侧面和底面所成二

面角的大小为.

26.设平面48c的一个法向量为正=(1,1,0),平面说的一个法向量为3=(1,

则二面角C-AB-O的大小为.

三、解答题

27.如图，在棱长为。的正方体中，求异面直线§4和AC所成的角.

28.如图，在三棱锥S—ABC中，ZSAB=ZSAC=Z.ACB=90°，AC=2fBC=屈,

SB二回.

（1）求证：SCLBCx

（2）求SC与AB所成的角的余弦值.

29.如图，在直三棱柱A8O—中，0。=。4=4,OB=3,乙4。8=90=。是线

段40的中点，P是侧棱上的一点.若OPJ_BO,试求：

（1）OP与底面A05的夹角的正切值；

（2）也）与侧面400W的夹角的正弦值.

30.如图所示，在三棱锥S-ABC中，。为8c的中点，SO_L平面46C,侧面SA6与1sAe

均为等边三角形，N84c=90,求二面角A-SC-8的余弦值.

试卷第6页，总8页

31.已知AABC中，zc=90SSA_L平面46C,且4c=2,BC=A,S8=后，

求异面直线CS与AB所成角的余弦值.

32.在平面四边形A8CD中，AB=BD=CD=ltAB工BD,CDkBD,将AABD沿3。

折起，使得平面A3Q_L平面SCO,如图.

(1)求证：AB1CD,

(2)若M为AO中点，求直线AO与平面M8C所成角的正弦值.

33.如图所示，在三棱锥△尸4。中，平面48。，BA=BQ=BP,£>C£尸分别

是4Q/Q,AP/P的中点，AQ=2BD,P。与EQ交于G,PC与尸Q交于点“，连接G”.

(I)求证：AB//GH；

(II)求二面角。―GH—E的余弦值.

34.如图，在直三棱柱中A4G-ABC中，AB1AC,AB=AC=2,M=4,点D是BC

的中点.

(1)求异面直线与G。所成角的余弦值;

(2)求平面AQG与A8A所成二面角的正弦值.

试卷第8页，总8页

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参考答案

I.D

【分析】

以B为原点，BA所在直线为x轴，BC所在直线为y轴，BE所在直线为z轴建立空间宜角

坐标系，利用向量法求异面直线AC与BF的夹角.

【详解】

以B为原点，BA所在直线为x轴，BC所在直线为y轴，BE所在直线为z轴建立空间直角

坐标系，如图

则A(IQO),C(O,1,O),F(1,O,1),所以而=(-1,1,0),=(1,0,1).

ACBF]

所以cos(AC，昉〉=同研5•所以〈AC,赤）=120。.所以AC与BF的夹角为

60°.

故答案为：D

【点睛】

（1）本题主要考查利用向量法求异面直线所成的角的计算，意在考查学生对该知识的掌握水

平和分析推理计算能力.（2）异面直线所成的角的求法方法一：（几何法）找一作（平移法、

补形法）一证（定义）一指一求（解三角形），方法二：（向量法）cosa二%，其中。是

m

异面直线所成的角，加G分别是直线小〃的方向向量.

2.D

【分析】

建立空间直角坐标系，结合NCMV=90。，求出的坐标，利用向量夹角公式可求.

答案第1页，总29页

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【详解】

以R为坐标原点,qA，RG，DQ所在直线分别为用y，z轴，建立空间直角坐标系,如图,

设AA=a,AG=b,A。=C,则C(0,b,c),M(a,b,|),N(|,b,0),A30,c),0(0,0,c),

CM=(a,0,-]),丽=(-|,0,-|),DA7=(a^,-]),丽=(a,0,c)

因为NCMN=90。,所以两.旃=0,即有/=2a2.

因为西•瓦7=/-9=/一/=0,所以。知《14。,即异面直线4。和0加所成角为90。.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查异面直线所成角的求解，异面直线所成角主要利用几何法和向量法，几何法侧

重于把异面直线所成角平移到同一个三角形内，结合三角形知识求解；向量法侧重于构建坐

标系，利用向量夹角公式求解.

3.B

【分析】

以B为原点，区4为X轴，BC为J轴，B同为z轴，建立空间直角坐标系，求得

丽=13'-1'一£|'福=(°，？°%利用空间向量夹角余弦公式能求出异面直线须与人A

所成角的余弦值.

【详解】

•••在直三棱柱ABC-A与G中，"=24,用=2禺G，且AB_LBC,点M是AC，

「•以口为原点，区4为x轴，8C为)，轴，8片为z轴，建立空间直角坐标系,

设A4,=2人4=24。1=2,

答案第2页，总29页

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则3(0,0,0),A。,0,0),4,(1,0,2),

丽=卜"1,一力，丽=(0,0,2),

设异面直线MB与4A所成角为0,

福•羽42及

则cos。

画|丽「心2一3，

•.异面直线也与AA所成角的余弦值为乎‘故选B.

【点睛】

本题主要考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题.求异面直线所成的角主要方法有

两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向

向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线

等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解.

4.B

【分析】

以点。为原点，丽，DC，西分别为x轴、了轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，求

出4/以及平面瓦圮的一个法向量，即可根据向量关系求出.

【详解】

以点。为原点，DA，DC,西分别为不轴、＞轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,

则以0,0,0),41,0,0),A(l,0,l),

ADB=(1J,O),诙=(0,用，质=(0,1,一1)，

设平面6OE的一个法向量H=(x,y，z),

,ln.DB=ofx+y=o

则nLk八，n即n｛IC，

n-DE=0y+—z=0

令x=l,则y=-Lz=2,

所以平面80E的一个法向量”=(1,-1,2),

•・•瓯=(0,-1,1),

答案第3页，总29页

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:.cos<BAy.n>=^-y=-=—,<BAvn>e[0,^],

<BA,n>=—,

6

・・・直线AB与平面BOE的夹角为:.

故选：B.

【点睛】

本题考查直线与平面夹角的求法，建立空间坐标系，利用向量法解决是常用方法.

5.C

【解析】

如图，以A为原点建立空间直角坐标系，

“Z

D-----------

/GE

则A(0,0,0),B(0,2a,0),C(0,2a,2a),G(a,a,0),F(a,0,0),AG==(a,a,0),AC=(0,2a,2a),BG

=(a,—a,0),BC=(0,0,2a),

设平面AGC的法向量为m=(xi,yi.l),

由｛竺「。上.嗝=叱“

AC/=O麟带警幽=幽),】=一1

BG,%2a76

皿|响•同国义63

6.B

【分析】

以点A为坐标原点，AB，AD，可的方向分别为x轴、)叶由、z轴的正方向建立空间直角

答案第4页，总29页

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坐标系，求出平面ECF的一个法向量与平面A8CD的一个法向量，利用空间向量的数量积

即可求解.

【详解】

以点A为坐标原点，AB，而，丽的方向

分别为x轴、》轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系.

设正方体的棱长为2,则AQO,O),E(2,0,l),尸(0,2,1),C(2,2,0),

ACE=(0,-2J),CF=(-2,0,1).

・•・平面ECr的一个法向量为讨=(112).

设平面ECF与平面ABCD的夹角为0.

•・•丽=(0,0,1)是平面A8CD的一个法向量,

网八|2|屈

:.COS0=|cos(而,n)|=1.IJ.=广、厂=—

同.忖71x763

故选：B

【点睛】

本题考查了空间向量法求二面角，考查了基本运算求解能力，属于基础题.

7.C

【分析】

以点。为原点，DA,DC,。。所在直线分别为x轴、了轴、z轴建立空间直角坐标系,

求出平面ABO与CQD的法向量，根据向量的夹角余弦公式即可求出.

【详解】

以点。为原点，DA,DC,。。所在直线分别为x轴、5轴、z轴建立空间直角坐标系,

如图所示，设正方体的棱长为1,则汞离=(-1,单)，而=(1,1,0),函=(0,1,1),

答案第5页，总29页

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，而•丽=0,而.西=0,猬•函=0,猬.丽=0,

，UUU

・•・a。和AG分别是平面。田。和平面4以）的法向量，

又cos<R,而>=g,结合图形可知平面A3。与平面CBO所成二面角的余弦值为g.

故选：C.

【点睛】

本题考查二面角的余弦值的求法，建立空间坐标系，利用向量求解是常用方法.

8.B

【分析】

联结3c交8G于尸点，取4C的中点£联结石户，BE,A片与8G所成角即"与BG所

成角；设BB产a,分别求得BF,EF,BE的长，从而求得夹角.

【详解】

联结耳。交SC；于尸点，取4C的中点E,联结七凡BE,

则在正三棱柱ABC-ABC中，EF//AB,,

故A用与BC、所成角即EF与BG所成角，

答案第6页，总29页

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设=a,则A8=>/2a»BF=—BC.—a,

22

s1AR&Rh6E正

21222

则在三角形8EF中，满足BF?+EF2=BE2,

故N8氏E=90,即A片与8G所成角为90

故选：B

9.B

【分析】

首先设正方体的棱长为1,以。为坐标原点，04,DC,。乌分别为X,y,Z轴，建立空

间直角坐标系，再利用向量法求线面角即可.

【详解】

设正方体的棱长为1,以。为坐标原点，DA,DC,分别为x,y,Z轴,

则4(1,0,1),EH,1,oLFfol2.ll4(1,1,1),

2

所以病=（0,1,0）,m=（o］，T），

设平面A.EF的法向量为万=（x,y,z）,

___1

n-AiE=—y-z=0

2],令y=2,则;;=(1,2,1),

则

=-x+—y=0

2国

设A4与平面所成的角为。，则sin。丽旭飞

答案第7页，总29页

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即A用与平面\EF所成的角的正弦值为遗.

3

故选：B

【点睛】

本题主要考查向量法求线面角，同时考查学生的计算能力，属于简单题.

10.D

【分析】

直接求出这两个向量夹角的余弦值即为二面角的余弦值的绝对值.

【详解】

设这两个向量分别为2=(0,-1,3)^=(2,2,4),

由题可知，这两个向量夹角的余弦值的绝对值即为二面角余弦值的绝对值,

:.ab=0x2+(-l)x2+3x4=10,

同=Jo?+(.+32=回，|5|=^22+22+42=276,

\cos<)x厂=叵,

V10x2V66

，这个二面角的余弦值为姮或-姮.

66

故选：D.

【点睛】

本题考查利用向量法求二面角的余弦值，注意因为向量方向的原因，在取结果的时候要考虑

有两种情况.

II.B

【解析】

分析：由题意结合几何体的性质整理计算即可求得最终结果.

详解：由题意可知：AE=AiE=yj2r则从炉+人炉二斗天，故AE_LA|E,

ABCD-ABCR为长方体,则AR_L平面ABB4,

由线面垂直的定义可知：A,D,1AE,且ARCAE=A，

故平面ARE,即直线AE与平面AER所成角的大小是90.

本题选择B选项.

答案第8页，总29页

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点睛：本题主要考查线面垂直的判定定理，直线与平面所成的角的求解等知识，意在考查学

生的转化能力和计算求解能力.

12.C

【分析】

本题首先可作BDLAP于点、D以及作CE_LAP于点E,然后通过觉=丽+瓦+配求出

।------^C^BD

ECBD=--,最后根据8s（加）,比〉二同咽可以及二面角B-AP-C为锐二面角即可得

出结果.

【详解】

如图所示，作瓦＞_L"于点。，作CEJ.A尸于点E,

设AB=1,则易得CE=¥，EP=与，PA=PB=6.，

可以求得5。=巫，ED=显.

44

因为配=丽+屁+反，

=BD2+DE2+EC2+2fiDD£+2DEEC+2EC-5D»

ECBD_币

则反.而=——cos(BD,EC)==

4\EC[\BD\~~

因为二面角8—AP—C为锐二面凭，

所以二面角3-AP-C的余弦值为且，

7

故答案为：C.

【点睛】

本题考查二面角的余弦值的求法，考查向量的数量积公式的灵活应用，考查向量加法法则的

几何应用，考查数形结合思想，考查推理能力与计算能力，是中档题.

答案第9页，总29页

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13.C

【分析】

根据四棱柱ABC。—A4GA为长方体，令M=A8=24O=2,可确定四、B、E、尸的

坐标，再由二面角四-48-£中，找到平面A8E、平面A4B的法向量，由法向量夹角与

二面角的关系即可求余弦值

【详解】

设AZ)=1,则A(l,0,2),3(120)

•；E,"分别为G",AB的中点

/.E(0,l,2),尸(1,1,1),即率二(—1,1,0),=(0,2,-2)

[A£-/w=0f—x+y=0

设所=(x,y,z)是平面ABE的法向量，贝IJI一即:八

[AB•m=0[2y-2z=Q

取x=l,则y=z=l,即有平面ABE的一个法向量为比=(1,1,1)

又D4_L平面AB】B，即砺=(1,0,0)是平面AB】B的一个法向量

和DA

（所，DA）=

/.cos|同|函一耳-，又二面角四-A8-E为锐二面角

•・二面角片一.一七的余弦值为宇

故选：C

【点睛】

本题考查了利用空间向量求二面角的余弦值，首先由线段间的等量关系设值定点，进而找到

对应二面角中两个面的方向量坐标表示，最后由法向量夹角与二面角的关系求二面角余弦值

14.B

【详解】

以D为原点，DA、DC、DDi所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，

易知当E(6,3,0)、F(3,6,0)时，Ai、E、F、Ci共面，

设平面AiDE的法向量为/；=(a,b,c),依题意得

答案第10页，总29页

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同理可得平面CiDF的一个法向量为记=(2,-1,1),

inn2+2-11

故平面AiDE与平面CiDF所成二面角的余弦值为瓦R==2.

【分析】

首先根据题意，建立空间直角坐标系，设出边长，求得点的坐标，进而求得向量的坐标，利

用向量数量积等于零,得到两向量的夹角为90,进而得到异面直线所成角的大小.

【详解】

建立空间直角坐标系,如图所示:

由题意知为等腰直角三角形.

设CD=1,则BE=1,AB=\,AE=@

设BC=DE=2a,则E(0,0,0),A(l,0,l),N(l,a,0),。(0,2%0),

所以丽=AE=(-l,0,-l),

答案第11页，总29页

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所以丽•胡二次6•(-1,0,-1)=0.故通_1_丽,

从而MN与4E所成的角为90°.

故选：B.

【点睛】

该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有利用空间向量求异面直线所成角，属

于简单题目.

16.C

【分析】

根据<〃一,一〃>=胃2冗以及线面角的范围可知/与法向量所在直线所成角为T玄T，即可求出/与。所

成的角.

【详解】

•.•线面角的范围是［0,yb，<£,♦>=笄，

，/与法向量所在直线所成角为

•"与。所成的角为夕.

6

故选：C.

【点睛】

本题考查线面角的求法，考查了空间向量所成角与线面角的关系，属于基础题.

17.C

【分析】

利用法向量和平面垂直的关系可得两个法向量所成角与二面角相等或者互补，从而可求.

【详解】

因为法向量和平面垂直，所以法向量所成角与二面角相等或者互补，

由于从图形中无法判定二面角A-8。-C是锐角还是钝角，

所以二面角A-80-C的大小为g或子.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查法向量夹角与二面角之间的关系，明确两个法向量所成角与二面角相等或者互

补是求解关键.

答案第12页，总29页

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

18.立

4

【分析】

建立空间直角坐标系，求出而和航，利用向量关系求出所成角的余弦值.

【详解】

建立如图所示的空间直角坐标系，设AB=1,则4000),,建1,0,0),W1,0),

DAAAB,FAAAB,则N£)A尸是平面A8C£)和平面AB"所成二面角,

即ND4"=60,且。在x4z平面上，

AD=,BF=»

./______\4D-BF另+0+0>/2

KG吁研二标=7

••・异面直线40与8尸所成的角的余弦值是也.

4

故答案为：也.

4

【点睛】

本题考查异面直线所成角的求法，建立空间坐标系，利用向量法解决是常用方法.

叫

【详解】

如图，建立空间直角坐标系。-m，

则A(0,0,D,C,(0,2,1),A(l，0，l)，8(1,2,0),

所以扇=(0,2,0),设平面ABG的一个法向量为五=(X,y,Z),

答案第13页，总29页

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由题可得无码=("z)・(T2,0)=r+2尸0

[小AB=(x,y,z)(0,2,—l)=2y-z=0

令¥=1，可得G=(2J2),

设D£与平面A8G所成角为。，

则sin'=H际讣儒计

故直线D£与平面A.BC,所成角的正弦值为1.

20,五

4

【分析】

首先根据题意得到平面X。的法向量为后二(0J0)和丽=(1,3,76),再利用向量夹角公式计

算即可得到答案.

【详解】

平面xOz的一个法向量为«=(0,1,0),AB=(1,3,x/6),

所以8ss叫二福二

♦.,(爪福)e[0,/r],

"sin(万,而)=,-(()=?.

故答案为：也

4

答案第14页，总29页

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

【点睛】

木题主要考查空间向量的夹角公式，熟记公式为解题关键，属于简单题.

21.30°

【详解】

如图所示，以O为原点建立空间直角坐标系O-xyz.

设OO=SO=Q4=OB=OC=a(a>0),

则A(a,0,0),8(0,«0),C(-a,0,0),2(0,一垓£).

则存=(2a,0,0),而=(一〃,4令,而=3,a,0).

设平面心。的法向量为九则1_L而

2or=0

即，aac，得x=0，令¥=1,则z=l

-ax——y+—z=0

x2

.i=(0,1,1),

则cos<CB、n>=S?J=f-。f-=—.

\CB\\n\y/2-yf2a2

A<CByn>=60°.

工直线BC与平面B4C所成的角为90。-60。=30。.

故答案为：30°.

222

•6

【分析】

首先设正三棱柱的棱长为2,以AC中点。为坐标原点，。4,。8分别为大轴，)，轴，4C的

答案第15页，总29页

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垂直平分线为Z轴，建立空间直角坐标系，再利用向量法求二面角即可.

【详解】

设正三棱柱的棱长为2,以AC中点0为坐标原点，04,08分别为丫轴，y轴,

AC的垂直平分线为z轴，建立空间直角坐标系，

A=(l,0,0),C=(-l,0,0),8=仅,石,0),E=(0,73,1),

nil__

AC=(-20,0)，AE=(-1,V3,1).

设平面AEC的法向量为〃1=(x,y,z),

则仁一，令2=6,得々=(O,TG.

n,AE=-x+j3ry+z=0'7

111

平面ABC的一个法向量为巧=(0,0,1),

则8s何小丽二三

所以(雇E)=2,故平面诋与平面ABC的夹角为2

故答案为：

【点睛】

本题主要考查向量法求二面角，同时考查学生的计算能力，数简单题.

23.3屈

10

【详解】

如图：

答案第16页，总29页

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连结器布，则舞*葩，所以以邯毅即为异面直线器舞与北&所成角，设或抖，-L则戌乐-，口，

式氐资舞J/13—修一蟾,揖船一%好+•建_圾,感潜一1由余弦定理得

=讣1L=海须

二丢舛遇匕鱼总°F-

24.叵

4

【分析】

取8C的中点E,连接CE,AE,证明他，面8瓦£C,可得NAgE就是AQ与平面8片。。

所成的角，解直角三角形AGE即可.

【详解】

如上图，取8C的中点E,连接CE，AE,则AE_LBC,

•・•正三棱柱ABC-A81G中，面ABCJL面BBCC，面ABC。面BB£C=BC,

.*.4£_1_面88℃,

・•.NAGE就是AG与平面BB£C所成的角,

不妨设正三棱柱48C-A8c的所有棱长都为2,则。卢二石，AC,=2>/2,

在R/AAGE中，cosZAC,E=-^=^=—.

4G2夜4

答案第17页，总29页

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故答案为：叵.

4

【点睛】

本题考查直线与平面所成的角，考查空间想象能力和计算能力，属于常考题.

25.60

【分析】

由题意作出正三棱锥S-ABC,设O为底面AABC的中心，过S作SE_LAB交48于点E,连

接EO,可得NSE。为侧面和底面所成二面角的平面角，由条件沁=；,得出博=2,从

SJBC3\OE\

而得出答案.

【详解】

如图在正三棱锥S—A3C中，设0为底面AABC的中心，连接S。,则SOJ•平面48c.

过S作SEJ_AB交A8于点及连接E0

则S0_L45,又SE_LAB,且SEcSO=S，所以AB_L平面SEO

则OE_LA&所以ZSEO为侧面和底面所成二面角的平面角.

在正三角形△血;中，。为中心，山蛇=5市+5e5℃=3508=小训。目

由条件有2二?阴阳q可得品=2

S皿华阳.|。目3\OE\

\EO\1

在直角三角形SOE中，COSZS£O=L1=-

所以NSEO=60。

故答案为：60。

【点睛】

本题考查三棱锥的线面关系，正三棱锥的侧面面积与底面积的关系，考查二面角，属于中档

题.

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26.60'或120°

【分析】

利用空间向量二面角公式计算即可得到答案.

【详解】

:.(6,〃?)=60°或120'.

即二面角C-AB-。的大小为60°或120'.

故答案为：60“或120°.

【点睛】

本题主要考查空间向量法求解二面角问题,属干简单题.

27.60°

【分析】

分别以DA,DC,。。所在的直线为％轴、5轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设

棱长为4，用向量表示出可和衣，利用向量关系求出所成角的余弦值.

【详解】

分别以DA,DC,。口所在的直线为x轴、)，轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(〃,0,0),a,0),C(0,a,0),A(a,0,a),所以对=(0,-a,〃)，AC=(-d,d,0),

答案第19页，总29页

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又＜瓯，*＞w[0°,180°],所以＜瓯，前＞=120°.

所以异面直线BA和AC所成的角为60°.

【点睛】

本题考查异面直线所成角的求法，建立空间坐标系，利用向量法解决是常用方法.

28.(1)证明见解析；(2)叵.

17

【分析】

(1)以点A为原点，垂直于A8的直线为x轴，AB,AS所在直线分别为y轴、z轴建立空

间直角坐标系，求出豆，西，只需证明豆.而=0即可；

SCAB

(2)分别求出豆，而，利用cosa=求出即可.

\SC\-\AB\

【详解】

(1)证明:如图，以点A为原点，垂直于48的直线为x轴，AB,AS所在直线分别为)'轴、

z轴建立空间直角坐标系,

[134

则由AC=2,BC=9,54=廊，得8(0,折,0),5(0,0,25/3),C

•*SCCB=0,-SCICB，即5cll8C；

(2)设SC与AB所成的角为a,

麻4、

VAB=(0,717,0),5C=，-20

豆而=4，由II而|=4而,

答案第20页，总29页

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sc-AB二叵

cosa=

\SC\\AB\

，SC与A8所成的角的余弦值为近.

17

【点睛】

本题考查用向量法证明空间中直线与直线垂直，异面直线所成角的余弦值，属于中档题.

29.(1)：；(2)也L

889

【分析】

(1)根据题意，建立空间直角坐标系，根据题意，确定点尸的位置，根据线面角的平面角

的定义，确定出/POB是0P与底面A08的夹角，求得正切值，得到结果；

(2)求得平面AOGA的的法向量为丽=(3,0,0),求得cos〈丽，丽)=噜^,进而得到BO

与侧面AOOA的夹角的正弦值.

【详解】

如图，以。为原点建立空间直角坐标系.由题意，得3(3,0,0),。((2'4]

设P(3,0,z),贝ijB。=(一5,2,4),OP=(3,0,z).

-----------99

*：BD1OP,：.BDOP=一一+0+4z=0,解得z=一.

28

•••中。5

(1)•・•88_1_平面A03,JN汽出是。尸与底面A08的夹角.

9

**tan/P0B=&=3

38

:.OP与底面AOB的夹角的正切值是J

O

(2)=(3,0,0),且0B1平面AOO7V,

答案第21页，总29页

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:.平面AOOA的一个法向量为0B=(3,0,0).又•・•丽=-2,-4

_____39

：.OBDB=3x-+Ox(-2)+Ox(-4)=-,

22

又•.」而|=3,|Dfi|=jfj'l+(-2)2+(—4产=当，

9

\OB\\DB\°屈89

3x-----

2

・•・8。与侧面A0O4的夹角的正弦值为巫.

89

【点睛】

该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有利用空间向量求线面角，属于简单题

目.

30.3

3

【分析】

证明出OA_LBC,然后以点。为坐标原点，OB、OA、QS所在直线分别为x、＞\z轴建

立空间直角坐标系。-个z,取SC的中点M,证明出OMJ.SC,AM1SC,可得出

＜MO,MA＞为二面角A-SC-6的平面角，利用空间向量法求解即可.

【详解】

因为ASAB与ASAC均为等边三角形，所以A3=5A=AC.

连接。4,丁。为BC的中点，则O4_L8c.

以点。为坐标原点，OB、。4、所在宜线分别为X、N、z轴建立空间直角坐标系。一町2.

设06=1,则30,0,0),C(-l,0,0),A(0,l,0),S(0,0,l).

八z

S

设SC的中点为M,则

答案第22页，总29页

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，桶=（；/,_：

连接QM、AM，故被=SC=(-1,O,-1),

所以丽•豆=0，M4SC=0，所以MO_LSC,MA1SC,

故＜丽,正＞为二面角4-5。一3的平面角.

777^T77MO-MA£

因为8S＜MO,AM＞=瓯悯=?’

所以二面角A—SC-8的余弦值为由.

3

【点睛】

本题考查利用空间向量法计算二面角的余弦值，考查计算能力，属于中等题.

31.叵

17

【分析】

以AC,AS所在直线为x轴，z轴，在平面ABC内作过A且垂直于AC的直线为）'轴，建

CSAB

立空间直角坐标系，求出丽，而，即可根据cos＜丽，而＞=求出.

\CS\\AB\

【详解】

如图所示，分别以AC,/所在直线为工轴，z轴，在平面ABC内作过A且垂直于AC的

直线为y轴，建立空间直角坐标系，

则C(2,0