三角恒等变换（八大题型＋精准练习）（解析版）

A.B.-C.5D.-5sin(α+β(=sinαcosβ+cosαsinβ=，sin(α-β(=sinαcosβ-cosαsinβ=，又由=-5.A.-B.C.-D.【详解】因为sin(α+β(=-，因为+=+===2，所以sinαsinβ=-.+β(=，cosαcosβ=，则cos(2α-2β(=(A.B.C.-D.-【详解】∵cos(α+β(=cosαcosβ∴sinαsinβ=-=，∴cos(α-β(=cosαcosβ+sinαsinβ=+=，1=-.A.-B.-C.D.【详解】由题干得=sin-sinα=sinα+cosα-sinα=cosα-sinα=cos所以cos(2α+=2cos2=2×2-1=-，-β(=，tanα⋅tanβ=，则α+β=()A.B.C.D.所以cos(α+β(=cosαcosβ-sinαsinβ=，=.6.(24-25高三上·江苏徐州·开学考试)已知sin(α-β(=2cos(α+β(,tan(α-β(=，则tanα-tanβ=()A.B.C.D.则sinαcosβ-cosαsinβ=2(cosαcosβ-两边同除cosαcosβ,得到tanα-tanβ=2-2tanα⋅tanβ,即tanα⋅tanβ=1-，又因为tan(α-β(=所以tanα-tanβ=.7.(2025·黑龙江大庆·一模)已知0<α<β<π,且sin(α+β(+cos(α+β(=0,sinαsinβ=6cosαcosβ,则tan(α-β(=()A.-1B.-C.-D.-【详解】由题意得sin(α+β(=-cos(α+β(，则tan(α+β(=-1，又因为sinαsinβ=6cosαcosβ,所以tanαtanβ=6，tanα,tanβ同号，又因为tan(α+β(=-=-=-1，则tanα+tanβ=5，tanα,tanβ同正，所以0<α<β<，则tanα<tanβ,所以tanα-tanβ=-(tanα+tanβ(2-4tanαtanβ=-52-4×6=-1，所以tan(α-β(====-，故D正确.，解得sinαcosβ=,cosαsinβ=，所以sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=.aa、a2+b22、a2+b2tanϕ=(=1，3、、、、、、=.=1+tanα+tanβ+tanαtanβ=1+tan(α+β((1-tanαtanβ(+tanαtanβ=2，⋯22A.-33B.-33C.3D.3tanθ=tan(2kπ+(=tan=33.所以3sinθ-cosθ=0，即tanθ=3.2=0，、α-2=-.、tan20-3tan20-3(=-[1-2sin2(α-20°([=-1-2×(-2=-.【详解】sinα+、3cosα=2sinα+=2sin=，所以<sin=<，所以<α+<，所以cos=-2=-.④β=[(α++α=.+α=等.+β(cosβ=,tan(α+β(=，则cos2α=()A.32-1B.16-1C.4-1D.2-1m2m2m2m2【详解】由tan(α+β(=，得tan(α+β(tanβ=3，即=3，所以sin(α+β(sinβ=，所以cosα=cos[(α+β(-β[=cos(α+β(cosβ+sin(α+β(sinβ=，A.B.C.D.2【详解】因为sinβ=sin(α+β-α(=sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα,2sinβ=cos(α+β)sinα,所以2sin(α+β)cosα-2cos(α+β)sinα=cos(α+β)sinα,即2sin(α+β)cosα=3cos(α+β)sinα,则2tan(α+β)=3tanα,因为tanα=2，所以tan(α+β)=tanα=3，故2+tanβ=3-6tanβ,解得tanβ=.A.B.C.D.-β(=，cosβ=cos[α-(α-β([=cosαcos(α-β(+sinαsin(α-β(C.B.D.A.C.B.D.444tan(α+β)=tan[2α-(α-β)]==，若使得tan(α+β)取得最大值，不妨设tan(α-β)>0，、tan(α-β)+2tan(α-β)22、tan(α-β)+2tan(α-β)224、当且仅当=2tan(α-β)，即tan、2α-sin2α=，且3sinβ=sin(C.αα=α=,所以tanα=、3、、7,所以tanα=、3、、7所以sin(α+β)cosα=2cos(α+β)sinα,所以tan(α+β)=2tanα=、3,所以α+β=又0<,所以α+β= 2,所以cos(α-β)=、2,所以cos(α-β)=、1-sin2(α-β)=1-=、,又tanα=、3==、,又tanα=、3==、、+25=3=.1-325所以tan(2α-β(、、+25=3=.1-3253.3.【详解】由题意知：tan(α+β(=4，tan(α-β(=-3，7=-可得tan2β=tan[α+β-(α-β([7=-..2α=;tan==. \21+cosα\22-sin2=().A.B.C.2-sin2=sin2-sin2(+(=sin2-cos2=-cos=-23.A.3B.C.D.A.-B.-C.D.A.-B.-C.D.+α+α+α+α+α+α=3⇒tanα=.1+=3⇒tanα=.所以cos2α=cos2α-sin2α===.A.、、整理得，2sinθ=-3cosθ,即tanθ=-3.则cos2θ=cos2θ-sin2θ=1-tan2θ=1-=1sin2θ+cos2θtan2θ+1+17.A.B.C.D.A.B.C.D.A.B.C.D.A.B.C.D.A.31+tan2B.D.C.1B.D.32+sin26==22+sin26又因为-1≤cosα≤1,-1≤sin(β+≤1，所以tan(β-α(=tan+2(k1-k2(πL|Γ=tan=,k1,k2∈Z；可得β-α=+2k4π(-(2k3π+π(=+2(k4-k3(π,k3,k4∈Z，所以tan(β-α(=tan+2(k4-k3(πL|Γ=tan=,k3,k4∈Z；综上所述：tan(β-α(=.=-,cos(β-α(=-，则()A.tanα=-B.sin(β-α(=-C.α+β=D.cosαcosβ=-所以tanα=-=-2,故A错误；对于B：-π<-α<-,0<β<π,则-π<β-α<又cos(β-α(=-<0，所以-π<β-α<--、1-cos2(β-α(=-，故B正确；对于C：由<α<π,cos2α=-可得sin2α=-，sin(α+β(=sin[2α+(β-α)[=sin2αcos(β-α(+cos2αsin(β-α(=，又<α+β<2π,所以α+β=，故C错误；对于D：根据C选项知α+β=，所以cosαcosβ==--=-,故D正确.A.2C.-1D.-2 =-=-2=-；++....=== 1=4===== 322=3==.3 322=3==.32......++2++-cos20°2-cos20°-cos20°2=+=+、-、--cos20°=+、、=+、-、-1=+2.4===-4sin10-2sin20-20-2sin20 --sin20 -些关系来选择公式A.1a2B.a21C.aD.a2A.-B.-C.D.、、2=.()A.B.C. +2 +2A.-2mB.-2m1-m2C.-2m1+m2D.2m1-m2222.+cosθ=()A.-B.-C.-D.-4-cos4=,θ+β(cosβ=,tan(α+β(=i,则cos2α=()A.-1B.-1C.-A.-1B.-1C.-1D.-1m2m2m2m2【详解】由tan(α+β(=i,得tan(α所以cosα=cos[(α+β(-β[=cos(α+β(cosβ+sin(α+β(sinβ=，m2A.-B.C.-D.cos2β-3cos2β-sin2β-3cos2β-3sin2β-2cos2β-4sin2β2tan2β+cos2β-3cos2β-sin2β-3cos2β-3sin2β-2cos2β-4sin2β2tan2β+12、=-.2+14而tan、=-.2+141-sin2α+α=tan1-sin2α+α=tan=()解得tanα=-3-22或tanα=-3+22(舍)，4(tan2α-2tanα+1(则1-sin2α=sin2α+cos2α-2sinαcos4(tan2α-2tanα+1(则44(tanα-1(2==(-3-2244(tanα-1(2==+2α=()+2α=()A.B.A.-B.α-=，()A.B.C.D.A.B.C.D.又因为f(α)=f(β)，且α≠β,所以α+φ+β+φ=π,所以α+β=π-2φ,所以sin(α+β)=sin(π-2φ)=sin2φ=2sinφcosφ=.-β(=235cosα+sinβ,则sin(α-β(=()A.A.C.D.B.C.D.5【详解】由题意sin(2α-β(=sin[α+(α-β([=sinαcos(α-β(+cosαsin(α-β(，cosα+sinβ=25cosα-sin[(α-β(-α[=2cosα+sinβ=25cosα-sin[(α-β(-α[=25-sin(α-β(cosα+cos(α-β(sinα-sin(α-β(cosα+cos(α-β(sinα,故sinα-sin(α-β(cosα+cos(α-β(sinα,-sin(α-β(cosα即cosα-sin(α-β(cosα-sin(α-β(⇒sin(α-β(=5-sin(α-β(⇒sin(α-β(=5cos2α=cos2α=()C.3C.3D.所以4sinα=4-3cos2α=4-3(1-sin2α(，7=9.7=9.,sin(β-α(=6,sin(β-α(=6+β(=() /6C.D.-/2A.B.+/6C.D.-/2A.B.6>0，6=-6=- -α-α(=6>0，=-=--α(=-、1-sin2(β-α(所以cos(α+β(=cos[2α+(β-α([=cos2αcos(β-α(-sin2αsin(β-α(--×=.A.B.C.D.<0，tanβ>0，故α+β=.A.B.C.D.到2α+=-，即α=.则coscos2α-sinsin2α=sin，即cos(2α+=sin.因为0<α<，所以<2α+<，所以2α+=-，51.(多选)(2023·山西·模拟预测)已知0<β<α<=,tA.sinαcosβ=B.sinβcosα= C.sin2αsin2β=D.α+β=【详解】因为sin(α-β(=,tanα=5tanβ,故sinαcosβ-cosαsinβ=,==5.所以sin2αsin2β=4sinαcosβcosαsinβ=，sin(α+β(=sinαcosβ+cosαsinβ=+=，又因为0<β<α<，所以α+β=，故D错误，C正确.α-sin2α=sincosα-cossinα=(cosα-sinα(，即(cosα+sinα((cosα-sinα(=(cosα-sinα(，所以α+=，所以α=-.sin=sinαcos+cosαsin=-sinα+cosα,又sinα+sin+sin=、3，因为0<α<，所以<α+<，所以α+=，所以α=.=.-=，sin-β(=-，则α+βα-=，所以α-=或α-=-，sin-β(=-，则-β=-，α--β(=+=，则α+β=π,当α-=-时，(α--β(=+=0，则α+β=0，ωx(+sinA.ω=1f(x(的最大值为、3+1所以f(x(=-sin2ωx-cos2ωx+3=-sin(2ωx++3，所以f(x(=-sin(2x++、3，将函数图象向右移φ(φ>0(个单位后可得函数y=-sin(2x-2φ++、3的图象，因为y=-sin(2x-2φ++、3的图象关于y轴对称，若0≤x≤,则≤2x+≤,所以-≤sin(2x+≤1，故-1+、3≤f(x(≤,A.2α=βB.α=βC.α+β=D.α+β=π=sin2α+cos2α+2sinαcosα=1+sin2αA.f(x(=cos2x+sinxcosxB.f(x(=C.f(x(=cos(x++cos(x-D.f(x(=sin(x+cos(x+【详解】对于A：f(x(=cos2x+sinxcosx=+sin2x=+sin