5.1基本计数原理课件高二上学期数学北师大版选择性

北师大版（2019）选择性必修第一册5.1基本计数原理学习目标LearningObjectives探索新知Explorenewknowledge题型突破Breakthroughinquestiontypes当堂检测Classroomtest学习目录ParentConferenceDirectory壹叁贰肆学习目标PART01学习目标01理解基本计数原理，能正确区分“类”和“步”01理解分类加法计数原理和分布乘法计数原理的区别和联系02能够准确运用计数原理解决一些简单实际问题03探索新知PART02探索新知02实例分析

问题1：从甲地到乙地，可以乘飞机，可以乘火车，也可以乘轮船，还可以乘汽车.每天有2个班次的飞机，有4个班次的火车，有2个班次的轮船，有1个班次的汽车，那么，乘坐以上交通工具中的一种从甲地到乙地，在一天中共有多少种选择呢？分析：知识点1

分类加法计数原理要完成的一件事：“从甲地到乙地”.如何完成：每类办法中分别又有：2，4，2，1种方法.解：乘坐以上交通工具从甲地到乙地，共有2+4+2+1=9种方法.乘飞机、火车、轮船、汽车4类办法；探索新知02实例分析

问题1：从甲地到乙地，可以乘飞机，可以乘火车，也可以乘轮船，还可以乘汽车.每天有2个班次的飞机，有4个班次的火车，有2个班次的轮船，有1个班次的汽车，那么，乘坐以上交通工具中的一种从甲地到乙地，在一天中共有多少种选择呢？解决以上问题的步骤为：知识点1

分类加法计数原理（1）求完成一件事的所有方法数，这些方法数可以分成n类，且类与类之间两两不交；（2）求每一类中的方法数；（3）把各类的方法数相加，就可以得到完成这件事的所有方法数.探索新知02抽象概括

分类加法计数原理：完全一件事，可以有n类办法，在第1类办法中有m1种方法，在第2类办法中有m2种方法......在第n类办法中有mn种方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+...+mn种方法.（也称“加法原理”）知识点1

分类加法计数原理注意：完成这件事的若干种方法可以分成n类，且类与类之间两两不交.知识剖析：①要清楚“完成一件事”的含义，即知道“做一件事”或“完成一个事件”在题目中具体指的是什么.②分类时，首先要根据问题的特点确定一个分类标准，然后在这个标准下进行分类.探索新知02实例分析

问题2：春节到了，某同学要与父母一起参加家庭聚会.(1)她有3件不同的上衣，4条不同的裤子，如果把1件上衣和1条裤子看作一种搭配方法，那么共有多少种搭配方法？分析：知识点2

分步乘法计数原理要完成的一件事：“选1件上衣和1条裤子”.如何完成：先选裤子：再选上衣：有4条不同的裤子，则有4种选择方法；每一条裤子对应3件不同的上衣.解：如图，根据分类加法计数原理，共有N＝3+3+3+3＝12种搭配方法.探索新知02实例分析

问题2：(2)她还有5双不同的鞋子，如果把1件上衣、1条裤子和1双鞋子看作一种搭配方法，那么共有多少种搭配方法？分析：知识点2

分步乘法计数原理要完成的一件事：“选1件上衣、1条裤子和1双鞋子”.如何完成：先选鞋子：再选上衣、裤子：有5双不同的鞋子，则有5种选择方法；每一双鞋子对应的裤子和上衣的搭配方法有12种.探索新知02实例分析

知识点2

分步乘法计数原理解：由题意知还有5双不同的鞋子，且每一双鞋子对应的裤子和上衣的搭配方法有12种，如图.探索新知02实例分析

知识点2

分步乘法计数原理因此，根据分类加法计数原则，共有N＝12+12+12+12+12＝12×5＝3×4×5＝60种搭配方法.探索新知02思考交流

问题（1）、问题（2）计数的思路分别是什么呢？若再考虑围巾、帽子等因素，计数的思路应当如何呢？问题（2）是在问题（1）的基础上确定每一双鞋子对应12种裤子和上衣的搭配方法，即需要分三步完成.问题（1）是分两步完成，第1步确定裤子有4种选择方法，第2步确定每一条裤子对应3件上衣；知识点2

分步乘法计数原理探索新知02实例分析

问题2：(2)她还有5双不同的鞋子，如果把1件上衣、1条裤子和1双鞋子看作一种搭配方法，那么共有多少种搭配方法？因此，以上问题有如下特点：（1）完成一件事需要经过n个步骤；（2）完成每一步有若干种方法，且每一步对其他步没有影响；（3）把各个步骤的方法数相乘，就可以得到完成这件事的所有方法数.知识点2

分步乘法计数原理探索新知02抽象概括

分步乘法计数原理：完全一件事，需要经过n个步骤，缺一不可，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法······做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1·m2·...·mn种方法.（也称“乘法原理”）知识剖析：①分布乘法计数原理是完成一件事要分成若干步，各个步骤相互依存，完不成其中的任何一步都不能完成这件事，只有各个步骤都完成之后，才能完成该事件.知识点2

分步乘法计数原理②要清楚“完成一件事”的含义，即知道“做一件事”或“完成一个事件”在题目中具体指的是什么.探索新知02知识剖析

加法原理与乘法原理的联系与区别知识点2

分步乘法计数原理

完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第1步有m1种方法，做第2步有m2种方法，

……

做第n步有mn种方法，

那么完成这件事共有

N=m1·m2·...·mn种方法。完成一件事可以有n类办法，

在第1类办法中有m1种方法，在第2类办法中有m2种方法，

……在第n类办法中有mn种方法，那么完成这件事共有

N=m1+m2+...+mn种方法。探索新知02知识剖析

加法原理与乘法原理的联系与区别知识点2

分步乘法计数原理分类加法计数原理分步乘法计数原理区别完成一件事，共有n类方法，关键词是“分类”．完成一件事，共有n个步骤，关键词是“分步”．每类方法都能独立完成这件事，且每类方法得到的都是最后结果，只需一种方法就可以完成这件事．任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步也不能完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事．各类方法之间是互斥的、并列的、独立的．各步之间是关联的、独立的，“关联”确保不遗漏，“独立”确保不重复．联系都是求完成一件事情的方法种数．本质一样，乘法原理可以看成是加法原理的简化，类似于数的运算中乘法是加法的简化．解决实际问题时常常需要两个原理结合应用．探索新知02例1在1，2，3，…，200中，能够被5整除的数共有多少个？解：能够被5整除的数，末位数字是0或5，因此，我们把1，2，3.…，200中能够被5整除的数分成2类来计数：第1类，末位数字是0的数，共有20个；第2类，末位数字是5的数，共有20个.根据分类加法计数原理，在1，2，3.…，200中，能够被5整除的数共有N＝20+20＝40个．①能够被5整除的数的特征是什么？②该问题中需要完成的“一件事”是什么？③如何完成“这件事”？末位数字是0或5确定自然数1~200中末位是0或5的数的个数分末位是0和末位是5两类进行计数思考：本题能够顺利求解的关键是什么？准确指出问题中的“一件事”；按照明确的标准给问题分类．探索新知02例2如图，从A村到B村的道路有3条，从B村到C村的道路有2条，从C村到D村的道路有3条．李明要从A村先到B村，再经过C村，最后到D村，共有多少条线路可以选择？①本题目要完成的“一件事”是什么？②如何完成？第一步，从A村到达B村，第二步，从B村到达C村，第三步，从C村到达D村，分步完成有3条路可选择；有2条路可选择；有3条路可选择．N＝3×2×3＝18据分步乘法计数原理思考：①能否使用加法原理来解决这个问题？②对比两种解法，思考两个原理有何联系？从A村经过B村到达C村2+2+2=2×3=6从C村到达D村6+6+6=6×3=18两个计数原理本质一致乘法原理是加法原理的简化数的乘法与加法的关系探索新知02例3有一项活动，需在3名教师、8名男学生和5名女学生中选人参加.（1）若只需1名参加，共有多少种选法？（2）若需教师、男学生、女学生各1名参加，共有多少种选法？两个小题中各自的要完成的“一件事”是什么？分别如何完成？(1)“总共选出1人”(2)“各自选出1人”3名教师8名男学生5名女学生分三类分三步第一类，选教师，3种选法；第二类，选男生，8种选法；第三类，选女生，5种选法第一步，选教师，3种选法；第二步，选男生，8种选法；第三步，选女生，5种选法N＝3×8×5＝120据分步乘法计数原理N＝3+8+5＝16据分类加法计数原理针对“分类”问题；各种方法相互独立；用其中任何一种方法都可以完成“这件事”思考：两个原理在解决问题时的有何不同？针对“分步”问题；各步骤中的方法互相依存；只有每一个步骤都依次完成才算做完成“这件事”

题型突破PART03题型突破03题型1数字问题例1用0,1,2,3,4,5可以组成多少个无重复数字且比2000大的四位偶数？①本题目要完成的“一件事”是什么？②如何完成？用0-5组成比2000大的四位偶数理清关系，按区域分步第一类，个位数字为0的比2000大的四位偶数：第一步，选取千位上的数字，只有2，3，4，5可以选择，有4种选择；第二步，选取百位上的数字，除0和千位上已选定的数字以外，还有4个数字可以选择，有4中选择；第三步，选取十位上的数字，有3种选择；

则根据分步乘法计数原理，

一共有为4×4×3＝48种；第二类，个位数字为2的比2000大的四位偶数：第一步，选取千位上的数字，除去2，1，0只有3个数字可以选择，有3种选择；第二步，选取百位上的数字，在去掉已经确定的首尾2个数字之后，还有4个数字可以选择，有4种选择；第三步，选取十位上的数字，有3种选择；

则根据分步乘法计数原理，

一共有为3×4×3＝36种不同选择；解：按个位数是偶数进行分类求解．题型突破03题型1数字问题例1用0,1,2,3,4,5可以组成多少个无重复数字且比2000大的四位偶数？①本题目要完成的“一件事”是什么？②如何完成？用0-5组成比2000大的四位偶数理清关系，按区域分步第三类，个位数字为4的比2000大的四位偶数：第一步，选取千位上的数字，只有2，3，5可以选择，有3种选择；第二步，选取百位上的数字，除4和千位上已选定的数字以外，还有4个数字可以选择，有4种选择；第三步，选取十位上的数字，有3种选择；

则根据分步乘法计数原理，一共有为3×4×3＝36种；综上，根据分类加法计数原理，得所求无重复数字且比2000大的四位偶数有48＋36＋36＝120(个).解：按个位数是偶数进行分类求解．题型突破03解题通法常见的组数问题及解题原则(1)常见的组数问题：奇数、偶数、整除数、各数位上的和或数字间满足某种特殊关系等.(2)常用的解题原则：首先明确题目条件对数字的要求，针对这一要求通过分类、分步进行组数；其次注意特殊数字对各数位上数字的要求，如偶数的个位数字为偶数、两位及其以上的数首位数字不能是0、被3整除的数各位数上的数字之和能被3整除等；最后先分类再分步从特殊数字或特殊位置进行组数.题型1数字问题题型突破03题型2抽取与分配问题例2.要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，共有多少种不同的挂法？方法一，分类解决这个问题，第一类，“甲在左”时，不同的挂法有“甲乙、甲丙”2种；第二类，“乙在左”时，不同的挂法有“乙甲、乙丙”2种；第三类，“丙在左”时，不同的挂法有“丙甲、丙乙”2种．所以不同的挂法共有2+2+2=6种．方法三，先选出两幅画，再按指定位置挂好．第一步，从3幅画中选出2幅，有3种选法：甲乙、甲丙、乙丙；第二步，将选出的两幅画挂好，分别有2种挂法．所以共有3×2＝6种挂法．方法二，从3幅画中选出2幅分别挂在左、右两边墙上，可以分两个步骤完成：第1步，从3幅画中选1幅挂在左边墙上，有3种选法；第2步，从剩下的2幅画中选1幅挂在右边墙上，有2种选法．根据分步乘法计数原理，不同挂法的种数为N＝3×2＝6．选1幅挂左边选1幅挂右边甲乙丙甲乙丙甲乙丙方法二甲、乙甲、丙乙、丙甲丙甲乙乙甲乙丙丙乙丙甲方法三题型突破03解题通法选(抽)取与分配问题的常见类型及其解法(1)当涉及对象数目不大时，一般选用枚举法、树形图法、框图法或者图表法.(2)当涉及对象数目很大时，一般有两种方法：①直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理.一般地，若抽取是有顺序的就按分步进行；若按对象特征抽取的，则按分类进行.②间接法：去掉限制条件计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可.题型2抽取与分配问题题型突破03题型3涂色问题例3.要给如图所示的五个区域涂色，现有四种颜色可供选择，要求每个区域只涂一种颜色，且相邻区域所涂颜色不相同，则不同的涂色方案一共有多少种？DABCE①本题目要完成的“一件事”是什么？②如何完成？“用四种颜色给如图所示的五个区域涂色，且相邻区域不同色”理清关系，按区域分步第一类，A、C同色：第一步，给区域A涂色，有4种选择；第二步，给区域C涂色，有1中选择；第三步，给区域B涂色，有3种选择；第四步，给区域E涂色，有2种选择；第五步，给区域D涂色，有2种选择．则根据分步乘法计数原理，一共有为4×1×3×2×2=48种不同的选择；第二类，A、C异色：第一步，给区域A涂色，有4种选择；第二步，给区域C涂色，有3种选择；第三步，给区域B涂色，有2种选择；第四步，给区域E涂色，只有1种选择；第五步，给区域D涂色，只有1种选择．则根据分步乘法计数原理，一共有为4×3×2×1×1=24种不同选择；综上，根据分类加法计数原理，该图形的不同涂色方案共有48+24=72种．解：按A与C颜色的相同和相异分类求解．题型突破03题型3涂色问题例3.要给如图所示的五个区域涂色，现有四种颜色可供选择，要求每个区域只涂一种颜色，且相邻区域所涂颜色不相同，则不同的涂色方案一共有多少种？DABCE思考：你还有其他解决这个问题的方法吗？提示：看位置关系——A、C对角，B、D对角此时先确定A、C的颜色，有4种可能，再确定B、D的颜色，有3种可能，再确定E的颜色，有2种可能，所以共有4×3×2=24种不同的可能．第一类：A、C同色，B、D不同色，第二类：A、C不同色，B、D同色，第三类：A、C同色，B、D同色，此时先确定A、C的颜色，有4种可能，再依次确定B、E、D的颜色，分别有3