专题20 用一次函数解决问题压轴题四种模型全攻略（原卷版）

专题20用一次函数解决问题压轴题四种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一一次函数的应用——分配方案问题】 1【考点二一次函数的应用——最大利润问题】 5【考点三一次函数的应用——行程问题】 8【考点四一次函数的应用——几何问题】 12【过关检测】 15【典型例题】【考点一一次函数的应用——分配方案问题】例题：（2023春·云南临沧·八年级统考期末）为全面推进乡村振兴，某省实行城市援助乡镇的政策该省的A市有吨物资，市有吨物资经过调研发现该省的甲乡需要吨物资，乙乡需要吨物资于是决定由A、两市负责援助甲、乙两乡、已知从A市往甲、乙两乡运送物资的运费分别为元吨、元吨，从市往甲、乙两乡运送物资的运费分别为元吨、元吨．(1)设从A市往甲乡运送吨物资，从A、两市向甲、乙两乡运送物资的总运费为元，求与的函数解析式．(2)请设计运费最低的运送方案，并求出最低运费．【变式训练】1.（2023春·河南郑州·八年级河南省实验中学校考期中）4月23日是“世界读书日”，某书店在这一天举行了购书优惠活动，有两种优惠方案可以选择：方案一：享受当天购书按标价总额8折的普通优惠；方案二：50元购买一张“书香城市纪念卡”，当天凭卡购书，享受标价总额在普通优惠的基础上再打折的优惠．设小明当天购书标价总额为x元，方案一应付元，方案二应付元．(1)当时，请通过计算说明选择哪种购书方案更划算；(2)直接写出与x的函数关系式；(3)小明如何选择购书方案才更划算？2.（2023春·河南南阳·八年级统考阶段练习）暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下．方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠；方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠．设某学生暑期健身x（次），按照方案一所需费用为（元），且；按照方案二所需费用为（元），且．其函数图象如图所示．

(1)求k1和b的值，并说明它们的实际意义；(2)求打折前的每次健身费用和的值；(3)八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身7次，应选择哪种方案所需费用更少？请说明理由．【考点二一次函数的应用——最大利润问题】例题：（2023春·贵州黔南·八年级统考期末）某地允许市场经营主体在规范有序的条件下，采取“店铺外摆”“露天市场”方式进行销售．个体业主小王响应号召，采取“店铺外摆”方式销售甲、乙两种特价商品，两种商品的进价与售价如表所示：甲商品乙商品进价（元/件）4010售价（元/件）5015小王计划购进甲、乙两种商品共100件进行销售，设小王购进甲商品x件，甲、乙两种商品全部销售完后获得的利润为y元．(1)求出y与x之间的函数关系式；(2)若购进乙商品的件数不少于甲商品件数的4倍，当购进甲、乙两种商品各多少件时，可使得甲、乙两种商品全部销售完后获得的利润最大？最大利润是多少？【变式训练】1.（2023春·广西南宁·八年级校考期末）小冬在某网店选中，两款玩偶，决定从该网店进货并销售．两款玩偶的进货价和销售价如表：款玩偶款玩偶进货价（元/个）2015销售价（元/个）2820(1)第一次小冬用550元购进了，两款玩偶共30个，求两款玩偶各购进多少个；(2)第二次小冬进货时，网店规定款玩偶进货数量不得超过款玩偶进货数量的一半．小冬计划购进两款玩偶共45个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？2.（2023·河南洛阳·统考二模）俄乌战争仍在继续，人们对各种军用装备倍感兴趣，某商家购进坦克模型（记作A）和导弹（记作B）两种模型，若购进A种模型10件，B种模型5件，需要1000元；若购进A种模型4件，B种模型3件，需要550元．(1)求购进A，B两种模型每件分别需多少元？(2)若销售每件A种模型可获利润20元．每件B种模型可获利润30元．商店用1万元购进模型，且购进A种模型的数量不超过B种模型数量的8倍，设总盈利为W元，购买B种模型b件，请求出W关于b的函数关系式，并求出当b为何值时，销售利润最大，并求出最大值．【考点三一次函数的应用——行程问题】例题：（2023春·山东淄博·七年级统考期中）甲、乙两地相距千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发开往乙地．如图，线段表示货车离甲地距离千米与时间小时之间的函数关系；折线表示轿车离甲地距离千米与小时之间的函数关系．请根据图象解答下列问题：

(1)求线段对应的函数解析式．(2)货车从甲地出发后多长时间被轿车追上？此时离甲地的距离是多少千米？(3)轿车到达乙地后，货车距乙地多少千米．【变式训练】1.（2023·河北沧州·校考模拟预测）航模兴趣小组在操场上进行航模试验，甲型航模从距离地面20米处出发，以a米/分的速度匀速上升，乙型航模从距离地面50米处同时出发，以15米/分的速度匀速上升，经过6分钟，两架航模距离地面高度都是b米，两架航模距离地面的高度y米与时间x分钟的关系如图．两架航模都飞行了20分钟．

(1)直接写出a、b的值；(2)求出两架航模距离地面高度y甲、y乙（米）与飞行时间x（分钟）的函数关系式；(3)直接写出飞行多长时间，两架航模飞行高度相差25米？2.（2023春·江苏淮安·九年级校考期中）如图1，甲、乙两车分别从相距的、两地相向而行，乙车比甲车先出发小时，并以各自的速度匀速行驶，甲车到达地后因有事立刻按原路原速返回地．乙车从地直达地，两车同时到达地．甲、乙两车距各自出发地的路程（千米）与甲车出发所用的时间（小时）的关系如图，结合图像信息解答下列问题：

(1)乙车的速度是千米/时，乙车行驶小时到达地；(2)求甲车从地按原路原速返回地的过程中，甲车距它出发地的路程与它出发的时间的函数关系式；(3)求甲车出发多长时间两车相距千米？【考点四一次函数的应用——几何问题】例题：（2023春·河南南阳·八年级校考阶段练习）如图，正方形的边长为4，P为正方形边上一动点，运动路线是，设P点经过的路程为x，以点A、P、D为顶点的三角形的面积是y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（

）A．B． C． D．【变式训练】1.（2021春·福建漳州·七年级福建省漳州第一中学校考期中）如图，已知动点P从B点出发，以每秒的速度在图①的边（相邻两边互相垂直）上按的路线移动，相应的的面积与点P的运动时间的图象如图②所示，且．当时，．

2.（2023春·安徽宿州·七年级校考期中）如图，在长方形中，，，点E为边上一动点，连接，随着点E的运动，的面积也发生变化．

(1)写出的面积y与的长之间的关系式；(2)当时，求y的值．【过关检测】一、单选题1．（2023秋·安徽亳州·八年级校考阶段练习）甲，乙两车在笔直的公路上行驶，乙车从之间的地出发，到达终点地停止行驶，甲车从起点A地与乙车同时出发到达地休息半小时后立即以另一速度返回地并停止行驶，在行驶过程中，两车均保持匀速，甲、乙两车相距的路程千米与乙车行驶的时间小时之间的关系如图所示，下列说法中正确的有（

）

①甲车行驶的速度为每小时千米；②两地之间的距离为千米；③甲车返回地的速度为每小时千米；④甲车返回地比乙车到地时间晚小时．A．个 B．个C．个 D．个2．（2023·浙江·模拟预测）如图1所示，在直角梯形中，，．动点从点出发，沿梯形的边由运动．设点运动的路程为，的面积为．把看作的函数，函数的图象如图2所示，则面积为(

)

A．10 B．16 C．18 D．203．（2023春·八年级课时练习）如图表示的是某公司一种产品30天的销售情况，其中图①是该产品日销售量y（件）与日期t（日）的函数图象，图②是该产品单件的销售利润w（元）与日期：t（日）的函数图象．下列结论错误的是（）A．第25天的销售量为200件 B．第6天销售一件产品的利润是19元C．第20天和第30天的日销售利润相等 D．第18天的日销售利润高于第25天的日销售利润二、填空题4．（2023秋·山东青岛·八年级统考期末）马家沟芹菜是青岛的名优农产品，某公司零售一箱该产品的利润是10元，批发一箱该产品的利润是6元．经营性质规定，该公司零售的数量不能多于300箱．现该公司出售800箱这种产品，最大利润是元．5．（2023秋·安徽蚌埠·八年级统考阶段练习）某公司新产品上市天全部售完，图①表示产品的市场日销售量与上市时间之间的关系，图②表示单件产品的销售利润与上市时间之间的关系，则最大日销售利润是元；已知当时，单件产品的销售利润w与t之间的函数关系式为，则第天的日销售利润为元．

6．（2023·北京·九年级专题练习）甲地组织20辆汽车装运食品、药品、生活用品三种物资共100吨到乙地．每辆汽车可装运物资的运载量和每吨所需运费如下表．物资种类食品药品生活用品每辆汽车运载量/吨654每吨所需运费/元120160100如果20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种物资且必须装满，每种物资至少装运1辆车，那么总运费最少的车辆安排方案为：装运食品、药品、生活用品的汽车辆数依次是，此时总运费为元．三、应用题7．（2023秋·安徽淮北·八年级校联考阶段练习）如图，在长方形中，，，点P从点B出发，以的速度沿着B→C→D→A的方向移动到点A，设移动过程中三角形的面积为S（），移动时间为t（s）．

(1)写出S与t之间的函数关系式；(2)①当时，求三角形的面积；②当三角形的面积为时，求t的值．8．（2023秋·山东枣庄·八年级滕州育才中学校考期中）合肥某校有3名教师准备带领部分学生（不少于3人）参观野生动物园．经洽谈，野生动物园的门票价格为教师票每张36元，学生票半价，且有两种购票优惠方案．方案一：购买一张教师票赠送一张学生票；方案二，按全部师生门票总价的80%付款，只能选用其中一种方案购买．假如学生人数为x（人），师生门票总金额为y（元）．(1)分别写出两种优惠方案中y与x的函数表达式；(2)请通过计算回答，选择哪种购票方案师生门票总费用较少；(3)若选择最优惠的方案后，共付款288元，则学生有多少人？9．（2023春·河南新乡·九年级校联考开学考试）河南某景区为了发展旅游，吸引游客，推出了两种优惠方案（设购买门票的张数为x张，费用为y元）方案一：充值元购买年卡，每张门票元．方案二：每张门票的单价按图中的折线所表示的函数关系确定．某单位准备组织员工到该景区旅游．

(1)当购买张门票时，按方案一和方案二分别应花费多少钱？(2)求方案二中y关于x的函数关系式，并写出折线所表示的实际意义．(3)该单位选择哪种购买方案更划算？10．（2023秋·山东济南·八年级山东省济南稼轩学校校考期中）在、两地之间有服务区，甲车由地驶往服务区，乙车由地驶往地，两车同时出发，匀速行驶，如图是甲、乙两车分别距离服务区的路程、（单位：千米）与乙车行驶时间（单位：小时）之间的函数图象，结合图象信息，解答下列问题：

(1)甲车的速度是________千米/时；(2)求图象中线段的函数解析式；(3)当两车距服务区的路程之和是千米时，直接写出此时乙车的行驶时间．11．（2023春·吉林白城·八年级校联考期末）如图，表示振华商场一天的某型电脑销售额与销售量的关系，表示该商场一天的销售成本与电脑销售量的关系．观察图象，解决以下问题：(1)当销售量时，销售额＝______万元，销售成本＝______万元；(2)一天销售______台时，销售额等于销售成本；(3)分别求出和对应的函数表达式；(4)直接写出利润w与销售量x之间的函数表达式，并求出当销售量x是多少时，每天的利润达到5万元？12．（2023春·黑龙江绥化·九年级统考期末）某学生用品商店，计划购进A、B两种背包共80件进行销售，购货资金不少于2090元，但不超过2096元，两种背包的成本和售价如下表：种类成本（元/件）售价（元/件）A2530B2835假设所购两种背包可全部售出，请回答下列问题：(1)该商店对这两种背包有哪几种进货方案？(2)该商店如何进货获得利润最大？(3)根据市场调查，每件B种背包的市价不会改变，每件A种背包的售价将会提高a元（a>0），该商店又将如何进货获得的利润最大？13．（2023秋·安徽安庆·八年级校联考阶段练习）共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向3km～10km的出行市场，现有A，B两种品牌的共享电动车，给出的图象反映了收费y（元）与骑行时间x（min）之间的对应关系，其中A品牌收费方式对应y1，B品牌的收费方式对应，请根据相关信息，解答下列问题：

(1)写出图中函数，的图象交点P表示的实际意义(2)求，，关于x的函数解析式(3)①如果小明每天早上需要骑行A品牌或B品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为，小明家到工厂的距离为9km，那么小明选择___________品牌共享电动车更省钱．（填“A”或“B”）②当x为何值时，两种品牌共享电动车收费相差3元？14．（2023秋·湖北·九年级校考周测）在襄阳市创建“经济品牌特色品牌”政策的影响下．每到傍晚，市内某网红烧烤店就食客如云，这家烧烤店的海鲜串和肉串非常畅销，店主从食品加工厂批发以上两种产品进行加工销售，其中海鲜串的成本为m元/支，肉串的成本为n元/支；两次购进并加工海鲜串和肉串的数量与成本如下表所示（成本包括进价和其他费用）：次数数量（支）总成本（元）海鲜串肉串第一次3000400017000第二次4000300018