2024-2025学年福建省金太阳高三（上）开学数学试卷（9月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年福建省金太阳高三（上）开学数学试卷（9月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若集合M={−1,2,3}，N={−1,0,2,5}，则M∪N=(

)A.{−1,2} B.{−1,2,3} C.{−1,0,2,5} D.{−1,0,2,3,5}2.若向量a=(−1,2),b=(m+1,2)，且(a+A.−8 B.8 C.−2 D.23.已知f(x)=xα是幂函数，则“α是正偶数”是“f(x)的值域为[0,+∞)”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.若sin(α−π8)=1A.−79 B.−4295.已知f(x)是奇函数，且f(x)在(2,+∞)上单调递减，则(

)A.f(−4)−f(4)>0 B.f(−4)+f(4)>0

C.f(−3)+f(4)>0 D.f(−3)+f(4)<06.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示，则f(2)=(

)A.−1

B.−2

C.−7.“三山一水”城市雕塑位于福建省福州市五一广场，是福州市的标志性雕塑.这座雕塑以福州的自然景观和历史文化为灵感，通过艺术的形式展现了福州“三山两塔一条江”的独特城市风貌和地域文化特色.如图，为了测量“三山一水”城市雕塑的高度，选取了与该雕塑底部B在同一平面内的两个测量基点C与D.现测得∠CBD=30°，CD=23.8m，在C点测得雕塑顶端A的仰角为45°，在D点测得雕塑顶端A的仰角为30°，则雕塑的高度AB=(

)A.47.6m B.35.7m C.23.8m D.11.9m8.已知函数f(x)=lnx−(a+1)x+1，g(x)=a(x2+1).当x≥1时，2f(x)+g(x)≥0恒成立，则a的取值范围为A.(0,1) B.(1,+∞) C.(0,1] D.[1,+∞)二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知函数f(x)=(x2−6)(2x−3)，则A.f(x)在(0,1)上单调递减

B.f(x)在(1,2)上单调递增

C.f(x)有3个零点

D.直线y=−3与f(x)的图象仅有1个公共点10.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinB+csinA=5sinA，bc=b+c+1，△ABC的面积为22，则△ABC的周长可能为(

)A.8 B.5+17 C.9 11.已知函数f(x)=sinx+cosx+x，则下列结论正确的是(

)A.f(x)的图象关于y轴对称 B.f(x)的图象关于点(−π4,−π4)对称

C.f(x)的图象关于直线x=π三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知tan(α+β)=4，tan(α−β)=−3，则tan2β=______．13.已知a>0，b>0，且ab+2ba=ab，则214.对于任意的x，y∈R，函数f(x)满足f(x+y)+f(x−y)=2f(x)f(y)，函数g(x)满足g(x+y)=g(x)g(y).若f(2)=−1，g(3)=8，则g(f(2024))=______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知函数f(x)=x−xlnx−a．

(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=bx+2，求a和b的值；

(2)求f(x)的单调区间与最大值．16.(本小题15分)

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsinA−acosB=0．

(1)求角B的大小；

(2)若c=2，b=5，求a；

(3)若c=217.(本小题15分)

已知函数f(x+1)=12ax+12a,x<0,ax2+(2a−1)x+a+1,x≥0.

(1)求函数f(x)的解析式；18.(本小题17分)

已知函数f(x)=22cos2x+22sinxcosx．

(1)将f(x)化成f(x)=Acos(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,|φ|<π)的形式；

(2)求f(x)的单调区间；

(3)若f(x)在19.(本小题17分)

若函数f(x)在[a,b]上存在x1，x2(a<x1<x2<b)，使得f′(x1)=f(b)−f(a)b−a，f′(x2)=f(b)−f(a)b−a，则称f(x)是[a,b]上的“双中值函数”，其中x1，x2称为f(x)在[a,b]上的中值点．

(1)判断函数f(x)=x3−3x2+1是否是[−1,3]上的“双中值函数”，并说明理由．

(2)已知函数f(x)=12参考答案1.D

2.B

3.A

4.D

5.D

6.B

7.C

8.D

9.ACD

10.AB

11.BD

12.−713.1

8

14.2

15.解：(1)f′(x)=1−(lnx+1)=−lnx，

所以f′(1)=b=0，切线方程为y=2，

又f(1)=1−a，所以1−a=2，则a=−1．

(2)f(x)的定义域为(0,+∞)．

f′(x)=−lnx，当0<x<1时，f′(x)>0，当x>1时，f′(x)<0，

所以f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1,+∞)，

所以f(x)的最大值为f(1)=1−a．

16.解：(1)由bsinA−acosB=0及正弦定理得，sinBsinA−sinAcosB=0．

因为A∈(0,π)，所以sinA≠0，则sinB−cosB=0，即tanB=1．

因为B∈(0,π)，所以B=π4．

(2)根据余弦定理得5=a2+2−22a⋅22，即a2−2a−3=0，解得a=3或−1(舍去)，故a=3．

(3)方法一：由c=22a和正弦定理，得sinC=22sinA，即sin(3π4−A)=22sinA17.解：(1)令t=x+1，得x=t−1，

则f(t)=12a(t−1)+12a,t−1<0a(t−1)2+(2a−1)(t−1)+a+1,t−1≥0，

得f(t)=12at,t<1at2−t+2,t≥1，

即f(x)=12ax,x<1ax2−x+2,x≥1；

(2)当a=0时，f(x)=0,x<1−x+2,x≥1，在R上不单调，

当f(x)在R18.解：(1)f(x)=22×1+cos2x2+2sin2x=2cos2x+2sin2x+2

=2cos(2x−π4)+2；

(2)令−π+2kπ≤2x−π4≤2kπ,k∈Z，解得−3π8+kπ≤x≤π8+kπ,k∈Z，

所以f(x)的单调递增区间为[−3π8+kπ,π8+kπ],k∈Z．

令2kπ≤2x−π4≤π+2kπ,k∈Z，解得π8+kπ≤x≤5π8+kπ,k∈Z，

所以f(x)的单调递减区间为[π8+kπ,5π8+kπ],k∈Z．

(3)f(x)=2cos(2x−π4)+2．

z则f(x)的最小正周期T=2π2=π，

令2x−π4=kπ,k∈Z，解得x=π8+kπ2,k∈Z，

f(x)图象的对称轴为直线x=π8+kπ2,k∈Z．

若f(x)在[α,α+π4]上单调，则α≥π8+kπ19.解：(1)函数f(x)是[−1,3]上的“双中值函数”.理由如下：

因为f(x)=x3−3x2+1，所以f′(x)=3x2−6x．

因为f(3)=1，f(−1)=−3，所以f(3)−f(−1)3−(−1)=1，

令f′(x)=1，得3x2−6x=1，即3x2−6x−1=0，解得x=3±233，

因为−1<3−233<3+233<3，所以f(x)是[−1,3]上的“双中值函数”．

(2)①因为f(m)=f(n)，所以f(m)−f(n)m−n=0，

因为f(x)是[n,m]上的“双中值函数”，所以f′(x1)=f′(x2)=0．

由题意可得f′(x)=x−lnx−a−1．

设g(x)=f′(x)=x−lnx−a−1，则g′(x)=1−1x=x−1x，

当x∈(0,1)时，g′(x)<0，则g(x)为减函数，即f′(x)