2024-2025学年重庆一中高二（上）入学数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年重庆一中高二（上）入学数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.欧拉公式eix=cosx+isinx(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知，e2i表示的复数在复平面中对应的点位于A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.两条平行直线3x+4y−12=0与ax+8y+11=0之间的距离为(

)A.235 B.2310 C.7 3.已知点A(−3,5)，B(2,15)，在直线l：3x−4y+4=0上存在一点P，使|PA|+|PB|最小，则P点坐标为(

)A.(0.1) B.(43,2) C.(4.若满足∠ABC=π4，AC=6，BC=k的△ABC恰有一个，则实数k的取值范围是(

)A.(0,6] B.(0,6]∪{62} C.[6,65.如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不垂直的是(

)A. B.

C. D.6.将正方形ABCD沿对角线BD折起，使得平面ABD⊥平面CBD，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为(

)A.12 B.22 C.−7.已知“m≤t”是”x2+y2+A.(−1,+∞) B.[1,+∞) C.(−∞,1] D.(−∞,−1)8.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，FA.椭圆C的离心率的取值范围是(0,32) B.椭圆C的离心率的取值范围是(32,1)

C.椭圆C二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.设i为虚数单位，若复数z满足(2+i)z=1+i2k+1(k∈Z)，则z在复平面内对应的点可能位于A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限10.已知椭圆C：x26+y2b2=1(b>0)的两个焦点分别为F1A.b=2 B.△F1AF2的面积为2

C.椭圆C11.已知点A，B为圆O：x2+y2=26上两动点，且|AB|=46，点P为直线A.以A，B为直径的圆与直线l相离 B.∠APB的最大值为π3

C.PA⋅PB的最小值为8 D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知两点A(−3,4)，B(3,2)，过点P(2,−1)的直线l与线段AB有公共点，则l的斜率的取值范围为______．13.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b=2，S△ABC=23，且ccosB+bcosC−2acosA=0，则A=14.如图，正八面体ABCDEF的12条棱长相等，则二面角E−AB−F的余弦值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知a、b、c分别为△ABC内角A、B、C的对边，bsinC+asinA=bsinB+csinC．

(1)求A；

(2)若a=7,△ABC的面积为3316.(本小题15分)

已知三角形ABC，A(1,4)，B(−1,0)，C(2,1)，以BA，BC为邻边作平行四边形ABCD．

(1)求点D的坐标；

(2)过点A的直线l交直线BC与点E，若S△ABE=2S△ACE，求直线17.(本小题15分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BCD=60°，AB=1，BC=4，PA=11，M，N分别为BC、PC的中点，PD⊥DC，PM⊥MD．

(1)证明：PM⊥平面ABCD；

(2)求直线AN与平面PCD所成角的正弦值．18.(本小题17分)

在矩形ABCD中，AB=4，AD=2.点E，F分别在AB，CD上，且AE=2，CF=1.沿EF将四边形AEFD翻折至四边形A′EFD′，点A′∉平面BCFE．

(1)求证：CD′//平面A′BE；

(2)A′，B，C，D′四点是否共面？给出结论，并给予证明；

(3)在翻折的过程中，设二面角A′−BC−E的平面角为θ，求tanθ的最大值．19.(本小题17分)

已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴长为42，离心率为12,M(2,0),N(−2,0)．

(1)求椭圆E的方程；

(2)过P(4,0)作一条斜率存在且不为0的直线l交E于A，B两点．

(i)证明：直线AM和直线BM的斜率均存在且互为相反数；参考答案1.B

2.D

3.C

4.B

5.D

6.A

7.B

8.D

9.AD

10.ABD

11.ACD

12.(−∞,−1]∪[3,+∞)

13.π314.−115.解：(1)由正弦定理及bsinC+asinA=bsinB+csinC，知bc+a2=b2+c2，

由余弦定理，知cosA=b2+c2−a22bc=bc2bc=12，

因为A∈(0,π)，所以A=π3．

(2)因为△ABC的面积16.解：(1)由题可知，以BA，BC为邻边的平行四边ABCD满足AD//BC，CD//AB，

所以kAD=kBC，kCD=kAB，

设D(x,y)，则可得y−4x−1=13且y−1x−2=2；

解得x=4，y=5，所以D(4,5)．

(2)要使S△ABE=2S△ACE，则需B，C到直线l

的距离d1，d2之比为2，如图所示：

当斜率存在时，设l的方程为y−4=k(x−1)，即kx−y−k+4=0，

由d1=2d2得|−2k+4|17.解：(1)证明：由四边形ABCD为平行四边形，且∠BCD=60°，AB=1，BC=4，M为BC的中点，所以CD=2，

在△BCD中，由余弦定理可得DM=CD2+CM2−2CD⋅CM⋅cos∠BCD=1+4−2×1×2×12=3，

可得CM2=CD2+DM2，可得CD⊥MD，

因为PD⊥DC，PM⊥MD，

所以在△PCD中，PC2=CD2+PD2，

在△PMD中，PD2=PM2+MD2，

所以PC2=CD2+PM2+MD2=(CD2+DM2)+PM2=CM2+PM2，

可得PM⊥MC，而PM⊥MD，MC∩MD=M，MC⊂面ABCD，MD⊂面ABCD，

可证得PM⊥平面ABCD；

(2)由(1)建立空间直角坐标系如图所示：且D(0,0,0)，M(3,0,0)，C(0,1,0)，P(3,0,z0)，设z0>0，

A(23,−2,0)18.解：(1)证明：因为D′F//A′E，D′F⊄平面A′EB，A′E⊂平面A′EB，

所以D′F//平面A′EB，

因为FC//EB，FC⊂平面A′EB，EB⊂平面A′EB．

所以D′F//平面A′EB，

又因为FC∩D′F=F，所以平面D′FC//平面A′EB，

因为CD′⊂面D′FC，所以CD′//平面A′EB．

(2)A′，B，C，D′四点不共面．

证明：假设A′，D′，B，C四点共面，则A′D′//BC或A′D′∩BC=Q．

若A′D′//BC，又因为A′D′⊄平再BCFE，所以A′D′//平面BCFE，

所以A′D′//EF(与已知矛盾，舍去)，

若A′D′∩BC=Q，所以Q∈平面A′EFD′，Q∈平面BCFE，

根据基本事实3，所以Q∈EF，

所以A′D′，BC，EF交于一点(与已知矛盾，舍去)；

综上所述，A′，B，C，D′四点不共面．

(3)如图，在面AC内作AO⊥EF于点O，作A′M⊥AO于M，作MN⊥BC于N，

由题意可得点M为点A′在平面BCFE的射影，所以A′M⊥平面BCFE，

所以A′M⊥BC，又因为MN⊥BC，MN∩A′M=M，

所以BC⊥平面A′MN，所以BC⊥A′N，

所以∠A′NM为二面角A′−BC−E的平面角θ，

因为AO⊥EF，A′O⊥EF，所以∠A′OM为二面角A′−EF−B的平面角，

设∠A′OM=α，α∈(0,π)

当α=π2时，点O与点M重合，由AO=45,ON=125，

可得tanθ=53．

α∈(0,π2)时，因为AO=45，

所以A′M=45sinα,OM=45cosα，

所以AM=45+45cosα，

故MN=4−(45+45cosα)×25=125−8519.解：(1)因为椭圆E的的长轴长为42，

所以2a=42，①

因为椭圆E的离心率为12，

所以e=ca=12，②

又a2=b2+c2，③

联立①②③，

解得a=22，b=6，c=2，

则椭圆E的方程为x28+y26=1；

(2)(i)证明：设直线l的方程为y=k(x−4