【分段方法在数学探析实例中的应用技巧探究9600字（论文）】

分段方法在数学分析实例中的应用技巧研究内容摘要数学中的分段方法本质上是数学方法论中划归方法之中的一种;数学分析则是一门研究极限过程的理论和变量计算方法的科学.本文总结了数学分析实例中分段方法的应用技巧,首先把分段方法划分为区间分段和数值分段方法这两大类,再依据不同类型的问题所给条件及结论将区间分段和数值分段方法划分成嵌套式分段,定义式分段和均等分段,同时将数值分段方法划分作函数值分段和待定式中项的分段并对其进行了应用分析.本文得出了区间分段方法多用于定义及定理的表述过程,它有助于理论知识内涵的准确表达;而数值分段方法多用于极限及积分具体问题的解答与证明,它将题目中需要求解的问题拆解成熟悉的知识点,以便于问题的解决.【关键词】区间分段数值分段极限积分分段方法目录TOC\o"1-3"\h\u88451.引言 1214392.分段方法和数学分析的分层释义 123732.1分段方法 1227352.1.1区间及区间分段的含义 1306082.1.2数值及数值分段的含义 166942.2数学分析的释义 12642.2.1极限 2160992.2.2变量计算方法 2211173.实例中的技巧浅析 25423.1区间分段 2322923.1.1嵌套式分段 2191403.1.2定义式分段 4159943.1.3均等分段 7172843.2数值分段 933453.2.1函数值分段 9314533.2.2待判定式子中项的分段 1153333.3分段方法在实例中的综合应用 1553174.结束语 17924参考文献 181.引言分段,分割与分解词义相近,在本文中将统一使用分段一词来表达这几个词汇.在解决某一问题时,先通过分段处理将整个问题部分化,逐个探究每个部分,理解其间联系,解析问题的本质,以便于最终统筹处理,从而解决问题.这同样显示出了分段的重要性以及必要性,化繁为简,各个击破.当谈及分段的概念,最先被想到的应该是分段函数,通过对不同区间段进行细致的区分,从而更加准确地表达出函数的本质,这是在中学期间所学到的最典型的一种分段方法的应用.在大学期间,数学分析的学习过程中,分段方法的出现率和使用率也非常高,这一方法贯穿于多种数学定理、公式、定义、习题等的证明过程中,并且可用它解决的问题数量多且分布零散.在参考的多篇论文中,学者们已经将分段的方法及技巧作了初步分析,提出过"分段估值"、"小区间法"、"化无穷为有限的分段方法"、"重叠区间分段法"、"利用对称性分段"等的一系列概念,但都是零零散散讨论了几个小部分的技巧.在本文中,"区间分段"与"数值分段"将涵盖前者已经提到的那些分段技巧,并在此基础上进行了相应的实例分析,以增强技巧的实用性.2.分段方法和数学分析的分层释义2.1分段方法分段,在汉语词典中的释义是：将一篇文章分成各个不同的部分；在纺织准备工作（如取经、卷纱、浆纱）中把经纱分成的各部分.此处用到了第一个释义的引申义：按时间或区域分成几个部分.需要说明的是,分段方法就其本质而言是数学方法论中的划归方法之中的一种.在解决数学问题的过程中,常常是将待解决的问题通过转化,归结为较熟悉的问题来解决,因为这样就可以充分调动和运用已有的知识、经验和方法于问题的解决.这种问题之间的转化归结起来就是划归方法REF_Ref27883\w\h[5].本文所提出的区间分段及数值分段都属于分段方法.2.1.1区间及区间分段的含义区间,是数轴上一种最常用的点集.它有三大类:闭区间,开区间,半开区间(半闭区间).区间即是数轴上的线段或射线或整个数值REF_Ref305\w\h[4].区间分段,即是按照某种方式将整体区间分成若干个小区间.2.1.2数值及数值分段的含义数值是一个汉语词汇,指的是用数目表示的一个量的多少.数值分段,即是按照量的多少对未知问题进行划分.2.2数学分析的释义数学分析是分析学中最古老最基本的分支,一般指以微积分学和无穷级数一般理论为主要内容，并包括它们的理论基础(实数,函数和极限的基本理论)的一个较为完整的数学学科.数学分析的研究对象是函数,基本方法是极限的方法REF_Ref305\w\h[4].此处引用徐利治老先生在《数学分析的方法及例题选讲》一书中写到的对数学分析的阐述：数学分析,就其内容性质来说,是一门研究极限过程的理论与变量计算方法的科学；其中极限过程的内部规律性是变量计算方法的理论根据,变量计算的形式法则又是极限过程内部规律性的外在表现REF_Ref20203\w\h[1].2.2.1极限首先"极限"概念是数学分支微积分学的基础概念.广义的"极限"是可以指"无限靠近而且永远不能到达"的意思.而在数学中的"极限"定义是伴随分析基础严密化的过程不断完善的.最终"极限"的严格概念由柯西和魏尔斯特拉斯等人严格阐述REF_Ref31298\w\h[3].公元前5世纪,古希腊芝诺悖论就涉及到极限问题,例如二分说,追龟说,飞箭静止说等.欧多克索斯穷竭法也使用了极限概念.中国春秋战国时代的庄子提出"一尺之棰"说,认识到"日取其半"而能"万世不竭".刘徽的割圆术又指出,到"不可割"时能"与圆合体",这些都是极限方法的萌芽REF_Ref31298\w\h[3].最先对分析算数化做出贡献的是捷克数学家波尔查诺(B.Bolzano,1781~1848).他对极限变量有深入理解,并给出函数连续的算数定义:如果在区间内任一点x处,只要w的绝对值充分小,就能使差的绝对值任意小,则称在该区间上连续.分析严密化的代表人物之一是法国数学家柯西(A.-L.Cauchy,1789~1857).1821年他的《分析教程》(Coursd’analyse)出版,其中对变量,极限,无穷小量,函数连续等都作出了较为严格的定义.在书中,极限定义为当一个变量逐次所取的值无限趋近于一个定值，最终使变量的值和该定值之差要多小就多小,这个定值叫做所有其他值的极限.分析基础严密化的完成者是德国数学家魏尔斯特拉斯(K.T.W.Weierstrass,1815~1897).他将严格的论证引进分析学,建立了实数理论,用递增有界序列定义无理数,给出了数集的上下极限,极限点,和连续函数等与现代定义一致的严格定义.其中,函数连续定义为:如果给定任何一个正数ε,都存在一个δ(>0),使得对于区间内的所有x,都有则称处连续REF_Ref31298\w\h[3].这个定义,借助不等式,通过ε和δ之间的关系,定量且具体地刻划了两个"无限过程"间的联系.因此,这样的定义是目前比较严格的定义,它可以作为科学论证的基础,至今仍在数学分析书籍中使用.在该定义中,涉及到的仅仅是‘数及其大小关系’,此外只是用给定、存在、任何等词语,已经摆脱了"趋近"一词,不再求助于运动的直观.(但是理解极限概念不能够抛弃'运动趋势'去理解,否则容易导致'把常量概念不科学地进入到微积分'领域里).2.2.2变量计算方法变量,指的是在某一个运动过程中数值变化的量.同样,借助徐利治老先生的书籍,变量的计算方法可以广义地了解为变量解析的方法,它并不专指微积分学中的一些简易运算方法.例如,较复杂的解析式的估算法则（近似算法与渐进分析等）,变量间相对的比较法则（不等式与阶的结算法则等）,不同形态的极限之间的联系法则（无穷级数与无穷乘积的相互转化；线积分与重积分的连结法则—如格林公式等）,各种类型的极限计算法则以及二重极限的换序法则等都无不属于广义的变量计算法则REF_Ref31298\w\h[3].3.实例中的技巧浅析3.1区间分段区间分段主要是指对函数值定义域进行分段,再推广之后可以表示对整数集,一维区间，二维区域及高维区域的分段.此处泛指推广之后的区间分段.3.1.1嵌套式分段嵌套式分段,即借助区间套逐渐逼近某一个固定的值,从而得到一系列区间的分段技巧.以下为确界原理中的嵌套分段解析.（嵌套式分段示意图）例题1（确界原理）设S为非空数集,若S有上界,则S必有上确界；若S有下界,则S必有下确界.分析：本定理需要从上（下）界中找出上（下）确界,我们可以根据上确界（下确界）的定义来分段寻找,即找出最小上界（最大下界）,在此处可以借助十进制的思想,逐步缩小上确界的存在范围,直至找到准确结果.在华东师范大学编著的数学分析上册课本中,我们可以找到本原理的前半部分证明,那么此处我将类似地给出下确界的证明如下：证明：首先不妨设S含有负数,即存在,有.由题目中的S有下界,因此可以找到负整数,满足：对于任意的,有存在,使得.再对上面找出来的半开半闭区间进行十等分,得到分点：则可找到0到9中的一个整数,满足要求：对于任意的,有存在,使得.延续上面对新找到的区间再次十等分,则存在0到9中的一个整数,有下列条件成立：对于任意的,有存在,使得.接着对前一步得到的半开半闭区间作十等分,继续该步骤若干次,可知:对于任意的,有:存在,使得.若将上述操作无限进行,可以得出负实数.下证,即根据下确界定义要求只需证：显然,由前面的区间假设过程有第一个条件成立,否则与假设相矛盾,则只需要验证第二个条件即可.先假设,则存在负实数的k位过剩近似使得即得到这说明第二个条件也成立,故有小结:嵌套式分段技巧的概念来源于区间套定义,它主要应用于函数有界情况下寻找确界以及实数的完备性理论中六个基本定理的等价性证明过程.3.1.2定义式分段定义式分段,即依据定义及定理,借助某一固定值以及任意小来确定需要分段的区间.3.1.2.1N分段和δ分段（1）在数学分析涉及到分段方法的极限部分,首先应是数列极限、函数极限的定义.（定义1）数列极限定义：设为数列,A为定数.若对任给的正数ε,总存在正整数N,使得当n>N时有REF_Ref24207\w\h[2].在该定义中,利用N对待判定的数列进行分段处理,并对数列N项之后的部分加以限制,从而达到对数列性质的准确表述.这便是N分段的由来及第一个应用.（定义2）函数极限定义：设函数f在点x0的某个空心邻域内有定义,A为定数,若对于任给的,存在正数,使得当时有,称函数f当x趋于x0时以A为极限REF_Ref24207\w\h[2].在此定义中,利用δ对待估值的自变量区间分段,并借助相互控制的思想将函数值局限在某个范围内,从而精确表达极限思想.此处是δ分段的出处及首次应用.类似地,函数连续以及一致连续定义也是利用δ对自变量区间分段,不同点在于连续时,δ的取值除依赖于ε外,还与点x的选取有关；而一致连续仅要求δ与ε有关.（2）由数列极限和函数极限延伸出的数列极限问题及函数项级数问题中,N分段也经常被应用.（定义3）数项级数收敛定义:若数项级数的部分和数列收敛于S(即),(其中),则称此数项级数收敛,称S为此数项级数的和，记作或者REF_Ref24207\w\h[2].（定义4）函数项级数收敛定义:若函数项级数的部分和数列收敛于S(x)(即),(其中),则称此函数项级数收敛,称S(x)为此函数项级数的和函数，记作即REF_Ref24207\w\h[2].在数项级数和函数项级数收敛定义中也都借助了N分段对收敛性进行了准确表述.（3）一致连续问题中的δ分段应用例题2（有限开区间上一致连续函数在端点处的性质）设f(x)在(A,b)连续,则f(x)在(A,b)一致连续的充要条件为与均存在（有限）；设f(x)在连续,且（有限）,则f(x)在一致连续.分析：本题是一道典型的依据定义中的δ分段巧妙处理区间的习题.有限开区间上的连续函数是否一致连续取决于函数在端点附近的状态,开区间上的一致连续函数可以延拓到闭区间上的（一致）连续函数,从而有限区间上的一致连续函数一定是有界的.那么本例题的关键就回归到对端点处及无穷远处函数值的处理,合理划分区间,借助康托定理进行证明一致连续.证：必要性.由于f(x)在(A,b)一致连续,故对任给的,存在,使得,有于是有,就有因此由柯西准则可知存在,同理可证得也存在.充分性.由于与都存在,于是可定义函数函数则有所给条件可知f(x)在[A,b]连续,由康托定理可得f(x)在[A,b]一致连续,从而在(A,b)上也一致连续,即f(x)在(A,b)一致连续.由于,同时再依据柯西准则可以得出来：于是,对任意的,当时,x',x"或者都属于,或者都属于,再结合前面的讨论可以得出一定有这说明f(x)在一致连续.小注:本题是一道典型的依据定义中的δ分段巧妙处理区间的习题,证明过程中出现的,同时需要注意在问题区间分段讨论过程中必须保证所有情况都有涉及到,因此重叠区间的使用必不可少.3.1.2.2无穷点分段和瑕点分段无穷点分段和瑕点分段都出自于反常积分概念.函数f在上的无穷限反常积分可定义为:无界函数f在上的反常积分可定义为:上述对反常积分收敛的定义借助极限对积分区域分段,得到无穷远点及瑕点的邻近区间与正常区间,从而达到对收敛性的精确表达.3.1.2.3T分段T分段是针对定积分问题提出的对积分区间进行分段的方法,具体应用时需要根据问题做出不同的分段处理.（1）(定义5)定积分的定义:设f是定义在的一个函数.J是一个确定的实数.若对于任给的,存在正数,使得对的任何分割T以及在其上任意选取的点集,只要就有则称函数f在区间上可积或黎曼可积,数J称为f在上的定积分或黎曼积分,记作REF_Ref24207\w\h[2].（2）积分定义中的无限均等T分段通过无穷分段,定积分概念以及曲线积分,曲面积分,二重积分,三重积分等的定义得以提出并严格表述.最初学习定积分时,是从求曲边梯形的面积和求变力作功这两个问题出发,然后将解题关键归结到一个特定形式的合式逼近,并引出在科学技术中解决同类问题所用的思想方法"分割,近似求和,取极限",最后再引申出定积分的定义.此处的"分割",是分段的同义替换,利用定积分的定义,且针对不同的问题作不同的分段处理,得到了实际应用中所需要几个必备公式：平面图形的面积公式,由平行截面求体积的公式,平面曲线的弧长公式以及旋转曲面的面积公式.前面所提及的这几个公式仅仅是最简单的平面上一元函数定积分的应用,之后再次对多元函数进行探索,引申出了多元函数的积分问题,通过多样化的T分段,得到了含参量积分,第一型曲线积分,第二型曲线积分,二重积分,三重积分,第一型曲面积分和第二型曲面积分这一多元化的积分体系.同时,在各种积分概念的提出过程中,多样的T分段定义法也相应地决定了多样的计算方法,反过来,多样化的计算角度也将其中蕴涵的分段方法的优势表现出来.最简单的一元函数定积分一般是对平面直线作分段得到的,它计算时依据函数表达形式的不同会有不同的表示,当写作时是对x或者y进行积分,寻找上下积分限,当写作参数方程时是对参数t进行积分,当写作极坐标方程时是对θ进行积分.多元函数积分需要分情况说明,二元函数曲线积分是对平面曲线进行分段得到的,三元曲线积分则是对空间曲线进行分段得到.并且第二型曲线积分较第一型曲线积分而言加入了方向因素,这两种曲线积分一般情况下都是需要在参数方程的基础上套公式来计算的.二重积分本质上解决的是求曲顶柱体的体积这一几何问题.首先要求二元函数定义在可求面积的有界闭区域上,然后通过直线网（简化模型最简单的方法）对平面闭区域进行分割,得到一个个的小立方柱体,再近似求和取极限.它在计算时一般需要依据平面图形的特点来分情况进行：,最后化为累次积分进行计算.对于被积函数十分复杂的情况下,可以采用变量替换的方法,达到简化被积函数或简化积分区域的效果.三重积分是由空间立体求质量问题引申出的一类积分,它则是对三维空间上的可求体积的有界闭域进行分割,并对定义其上的作近似处理求和并取极限.它的计算类似于二重积分,化为累次积分逐个求解,关键在于对单个积分上下限的选取,同样的也可以用换元法简化计算.最后是曲面积分,它是在二重积分对平面区域分割的基础上再次深入得到.正如其名称所言,它是对空间中可求面积的曲面分割,并对其定义上的三元函数近似处理求和,最后求极限的积分.第二型曲面积分同样加入了方向因素,两类曲面积分计算时都需要借助二重积分实现.小结:N分段,δ分段和T分段作为区间分段方法多用于定义的表述中.3.1.3均等分段均等分段，即按照平均分割的原则将整个区间分成大小相等的多个小区间的方法.例题3变化的区间转化为相对固定的区间设函数f(x)在上一致连续,且对任意固定的,都有证明分析：通过分段法将变化的x转化为有限个的样子（这里是和x有关的整数）,然后利用绝对值放缩结合一致连续加以证明.证明：由条件中f(x)在上一致连续有,,存在,使得,有现在对[0,1]作分割,将其平均分割为份,并设分割点为,则每小段长度相等且小于δ.那么对于任意的x>0,取正整数,就有由上面对[0,1]所作的分割,可有对每一个,都存在对应的使得也就是,再利用一致连续的定义,就有同时,利用已知,对于任意的,都有于是对于以上的,使得当时,有现在取,那么当时,就有由上述条件可以有,当时,,此时就会有这说明例题4周期函数的一致连续性（化无穷为有限）若f(x)是R上以t为周期的连续函数,则f(x)在R上一致连续.分析：首先对某一个周期上的函数一致连续性进行判断,再依据周期函数的特点把其余范围内的函数与已判断的区域作联系,从而得到整个R上的结论.证明：由于f(x)为连续函数,则f(x)在[0,2t]连续,进而一致连续,所以,使得对任意的,有对任意的,不妨设,当时,又有存在整数n,因此可以使得另外设即,且有,于是这说明f(x)在R上一致连续.例题5积分不等式问题中的合理分段设f(x)在可导,且对任意的,证明对任意的正整数n,有分析：首先需要知道积分是函数求和的极限,同时也必须知道积分可以写成积分和的形式（对积分区间n等分,再利用区间可加性）,在小区间上可以利用积分第一中值定理得到关于不等式左端的形式.证明：,由拉格朗日中值定理可以有,,使得从而则命题得证.小结:平均分段这种区间分段方法多用于处理无限区间上函数性质的探索,尤其是处理周期函数，积分不等式及计算时经常会被使用.3.2数值分段数值本意为量的多少,此处包括两层含义:函数值和问题中的待定式.3.2.1函数值分段这种方法是说解决问题过程中将函数值性质不好（无穷大，任意小等与正常值差别太大）的点分离出来，得到函数值正常有界与函数值异常两部分，再将分别对应的点放到两个新的区间中，即得到转化后的新区间分段.例题5黎曼函数的本质问题记黎曼函数则有.解答：,由满足即的正整数q最多只有有限个,从而对应的既约真分数也只有有限个,将这有限个点分别设为,则,限制,则有.并且显然有,从而.(黎曼函数图像)现在,,我们分两种情况进行讨论：当时,取则,都有,从而有,即.若存在j使得,此时可以取则都有,从而有,即.综上所述,有.小结：该问题的解答过程中应用了函数值分段的思想,根据所需求的函数值范围,去掉不好的点,并对留下来的点再次进行取邻域,求极限,从而得出本题结论.例题6黎曼函数的可积性问题证明黎曼函数R(x)在[0,1]可积,且分析：由黎曼函数符合函数值大于ε的点只有有限多个,可以将这有限个点所在的区间长度限制为足够小,而其余区间的振幅都小于ε,则整体可以达到足够小.证明：对任意给定的,在[0,1]上满足的有理点只有有限个,而在无理点处恒有函数值为0,即有满足条件在上的点有且只有有限个,并设为现在对[0,1]作分割,使得,并把t中所有的小区间分为与两类.其中为包含中的点的所有小区间,其个数（因为每个点至多属于两个区间）；而为t中所有其余不含中的点的小区间.由于R(x)在上的振幅,于是而R(x)在上的振幅,于是将两部分合并,可知即R(x)在[0,1]可积.由已证得R(x)在[0,1]可积,有当取全为无理点时,便得到,再依据积分定义式有至此命题得证.小结:通过对函数值进行分段从而得到新的区间分段的方法一般用于对黎曼函数性质的探索.类似地,解决黎曼函数这种特殊的函数问题时多会用到这种方法.3.2.2待判定式子中项的分段待判定式子（即表示题目中要求计算的等式或者需要证明的不等式）作等价移项之后,对式子进行分项处理,得到与条件中已知的分式值相关的信息,就是对待判定式子作项的分段的含义.（1）数列极限例题7平均值定理（柯西命题）定理内容：已知.则有；分析：根据已知极限证明另一个极限,首先依据定义写出已知,再找出要证明极限与所给条件的数值关系,然后找出符合定义要求的N,得出极限成立即可.关键之处在于建立关系,找定义中存在的那个N（一般不固定）.这道题是一道比较典型的利用定义并合理对所求不等式进行分项处理,分段估值的数列极限证明题.证明：a.当A是有限数时,由,对任意的,存在正整数n,使得时,有,对于以上固定的n,可以有.于是,对于以上的ε,存在正整数,使得时,有.因此,时,就有由ε的任意性,说明结论成立.b.当时,对任意的,由可知存在,使得时,有,固定,由于,.所以存在,使得时,有,.于是又有时,这说明.c.当时,可知,从而由第二部分证明可以得出,于是.综上所述,结论成立.由平均值不等式有a.当时,由于题目中,可以有,因此再依据第一问中的结论有,,从而有,最后由迫敛性得b.当时,只需要将写作或0,同样利用第一问可以得出结论成立.（2）带有定积分的极限例题8分段积分求极限分析：用分段积分,首先需要明确在那些点有问题,从而明确如何做分段.解答：,有,所以有于是于是时,有这说明数项级数综合问题例题9借助阿贝尔变换实现的对所求值分段已知收敛,证明：对任意的严格单调递增趋近于的正数列有注：（Stolz公式）已知严格单调递增趋于正无穷,且（其中A是有限数或正无穷或负无穷）,则.证明：由于存在,则可以根据阿贝尔变换公式以及Stolz公式作如下变形：小结：本题利用了极端重要的阿贝尔变换方法对所求数列进行拆项分段,这种方法在数学分析的学习中特别重要,尤其多用于数项级数的相关练习.（4）含参量积分的极限例题10已知f(x)在有定义且在任意有限区间可积,,则分析：由所需要证的结论出发,我们可以发现利用逆向思维,则可以证明即仅需证明可以对进行分段得到两个分式和,前者当时,有分母趋近于正无穷,分子有限,故可以任意小；后者当时,也可达到任意小.证明：由条件所给的,有对于固定的M,显然有则存在,使得x>N时，有因此,又有至此,得证,即有命题得证.小结:在3.2.2小节中提到的对待判定等式及不等式进行拆项分段的方法是在数学分析每一类问题中都会用到的.借助逆向思维,从结论出发思考,这种分段方法难度最大,需要综合对定义,定理以及各种经典的等式和不等式的分析，在对待判定式子合理移项的基础上,选取恰当的拆分点才可以达到最终简化问题的效果.3.3分段方法在实例中的综合应用在前两个小结中的实例浅析过程中，很容易可以发现:实际处理问题时，需要多种分段方法技巧的综合使用，其中数值分段方法下的待判定式子中项的分段方法最为重要，重叠区间与定义式分段方法使用率很高。最后，通过对一个例题的深度解析，体会一次分段方法的具体使用过程。例题11