2022-2023学年上海初二年级下册同步讲义第3讲 一次函数的复习解析版

第3讲一次函数的复习

本讲整理了一次函数的概念、图像及性质的相关练习，以帮助同学们巩固一次函

数章节所学的内容.

一、选择题

1.下列函数关系式：①y=-2x；②y=_2；③y=-2d；④y=2；⑤y=2尸1；其中是一

x

次函数的是（）

A.①⑤B.①④⑤C.②⑤D.②④⑤

【难度】★

【答案】A

【解析】根据一次函数的定义条件进行逐一分析即可，

①一次函数；②反比例函数；③二次函数；④常值函数；⑤一次函数.

【总结】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数片〃户8的定义条件是：k、。为常数，2。

自变量次数为1.

2.函数y=-3x-6中，当自变量x增加1时，函数值了就（)

A.增加38.减少3C.增加1D.减少1

【难度】★

【答案】B

【解析】当自变量增力口1时，有一3(x+l)-6-(-3x-6)=-3x-3-6+3x+6=-3,所以当自变量

增加1时，函数值y就减少3

【总结】本题主要考查的是函数的自变量与函数值的对应关系的问题，解决本题的关键是正确理

解自变量增加1的意义.

3.在同一直角坐标系中，对于函数：①了二-六1；②尸x+1；③尸-x+1；④尸-2（x+l）的图象，

下列说法正确的是（）

A.通过点（-1,0）的是①和③B.交点在y轴上的是②和④

C.互相平行的是①和③D.互相平行的是②和③

【难度】★

【答案】C

【解析】/、分别把点（-1,0）代入函数解析式可知，通过点（-1,0）的是①、②、④，

故错误；

B、交点坐标在y轴上，即尸0时y的值相等，故交点在y轴上的是②和③，故错误；

a当"值相等时，直线平行，所以相互平行的是①和③，正确；

D、当在值相等时;直线平行，故错误.

【总结】主要考查了函数的对称性和比例系数的意义，要熟悉函数中有关对称性的知识.

4.一次函数尸-3x+6的图象不经过（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【难度】★

【答案】C

【解析】当〃V0时，图像经过二、四象限，b=6,直线经过一、二、四象限，所以直线不经

过第三象限.

【总结】一次函数片心共6中，A>0,6>0时，直线过一、二、三象限；k>0,b<0时，直

线经过一、三、四象限；k<0,。>0时，直线过一、二、四象限；k<0,6<0时，直线过

二、三、四象限.

5.下列语句不正确的是（）

A.所有的正比例函数都是一次函数B.一次函数的一般形式是丫=履+力

C.正比例函数和一次函数的图象都是直线D.正比例函数的图象是一条过原点的直线

【难度】★

【答案】B

【解析】/、所有的正比例函数肯定是一次函数，命题正确；

B、一次函数的•般形式是尸4户6(M0),命题错误，符合题意；

a正比例函数和一次函数图像都是直线，命题正确；

〃、正比例函数图像是直线，过原点，命题正确.

【总结】此题主要考查一次函数和正比例函数的定义、图像，解题关键是牢记这些基本知识，

所有正比例函数都是一次函数，而一次函数不一定是正比例函数.

6.若直线>="+人中，k>0,b>0,则直线不经过()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【难度】★

【答案】D

【解析】k>0,图像经过一、三象限，b>0,直线经过一、二、三象限，所以直线不经过第

四象限.

【总结】一次函数片4户6中，k>0,6>0时，直线过一、二、三象限：〃>0,6<0时，直

线经过一、三、四象限；k<0,6>0时，直线过一、二、四象限；kVO,6<0时，直线过

二、三、四象限.

7.如图，直线丁=丘+人与x轴交于点(-4,0)则当y>0时，x的取值范围是()

A.x>-4B.x>0C.x<-4D.xVO

【难度】★

【答案】A

【解析】根据题意，结合图像，通过观察可知y>0,

即为图像在x轴上方的部分，可知x>-4.

【总结】本题主要考查的是一次函数的图像及其变量取值范围间的关系，解答此类题型的关

键在于利用数形结合思想，理清题意结合图像进行解答.

8.关于直线y=-2x+l,下列结论正确的是（）

A.图象必过点（-2,1）B.图象经过第一、二、三象限

C.当x>g时，y<QD.y随x的增大而增大

【难度】★

【答案】C

【解析】人将（-2,1）带入产-2k1中得左边=1,右边=5,左W右，错误；

以根据直线图像性质，直线经过一、二、四象限，错误；

C、直线尸-2户1与x轴的交点为（；，0）,当时，y<0.正确：

D、根据一次函数性质，k<0,y随x增大而减小.

【总结】本题考查的是一次函数的性质及一次函数图像上点的坐标特点.

9.一次函数y=依+〃与％=%+〃的图象如图-，则下列结论①4<0;②〃>0;③当水3

时，y〈为中，正确的个数是（)

A.0B.1C.2D.3

【难度】★★

【答案】B

【解析】①/=4户6函数值随了的增大而减小，所以左<0,正确；

②％=x+a与y轴交于负半轴，所以a<0,错误；

③当x小于3时，％的图像在度上方，yi>y2.

【总结】本题主要考查了一次函数图像的性质，当4>0时，一次函数的图像y随x的增大

而增大，人表示函数图像与y轴的交点纵坐标，解决本题的关键是准确识图并熟练掌握一次

函数的性质.

二、填空题

1.在函数尸（/6）x+（归2）中，当一时是一次函数；当时是正比例

函数.

【难度】★

【答案】加二-6；m=2.

【解析】一次函数定义y=kx+b（CO）,正比例函数定义y=kx（20）,所以y=（加6）x+

（/zr2）

是一次函数时，加^片。，0#-6；当片（研6）A+（52）是正比例函数时，b=0,

即疗2=0,m=2.

【总结】根据一次函数和正比例函数的定义求解.

2.一次函数y=~2x+A的图象与x轴交点坐标是，与y轴交点坐标是,与

坐标轴围成的三角形面积是.

【难度】★

【答案】（2,0）；（0,4）；4.

【解析】当尸0时，下2,一次函数与x轴交点坐标是（2,0）,当下0时，，一次函数与y轴

交点是（0,4）,图像与坐标轴围成的三角形面积是1x2*4=4.

2

【总结】本题利用了直线与x轴的交点的纵坐标为0,直线与y轴交点的横坐标为0求解.

3.当时，一次函数片（始1）户6的函数值随x的增大而减小.

【难度】★

【答案】m<-\.

【解析】一次函数片（研Dx+6的函数值随x的增大而减小，所以m1<0,即）<-1

【总结】本题主要考查了一次函数的性质，正确记忆一次函数增减性是解题关键.

4.将直线尸-2x+l沿y轴方向向上平移3个单位长，得到的直线解析式为.

【难度】★

【答案】y--2x+4.

【解析】由“上加下减”的原则可知，直线片-2广1沿y轴向上平移3个单位，所得直线的

函数关系是：y——2x+1+3=—2x+4.

【总结】本题考查一次函数的图像与几何变换，需要熟知函数图像的平移法则.

5.当nF时，y=rnxm'''"~'+m2-｝是一次函数.

【难度】★

【答案】m=2或m=—1.

【解析】根据一次函数尸Ax+b定义知〃-加-1=1,解得：帆=2或加=-1,经检验均成立.

【总结】本题考查一次函数的定义，注意基础概念的掌握.

6.直线产衣x+8上有两点4必）和点6（如%）,JiXi>X2,yi<y2,则常数4的

取值范围是.

【难度】★★

【答案】k<0.

【解析】由为>上，乂<%可知函数值随x的增大而减小，所以A<0.

【总结】本题主要考查一次函数的性质，A>0时，y随x的增大而增大，4<0时，y随x的

增大而减小.

7.已知一次函数片（研2）户（3-2加的图象不经过第四象限，则卬的范围是___.

【难度】★★

3

【答案】—2<m<—.

2

【解析】一次函数不经过第四象限，所以要经过一、二、三象限，或者经过原点

则4>0,-0,即1”+2〉（）,解得：_2<m<l

（3-2/n>02,

【总结】本题考查了一次函数的图像与系数的关系，熟知一次函数产k2b（4片0）中，k、

6与函数图像的关系，注意对不经过某个象限的正确理解.

8.直线片（资1）X+序+1与y轴的交点坐标是（0,3）,且直线经过第一、二、四象限，

则UF.

【难度】★★

【答案】m——>/2.

【解析】带入尸0,得4+1=3,解得：加=±及，又直线经过一、二、四象限，mivo,

即tn<—\,所以机=—\[2-

【总结】本题考查一次函数与坐标轴的交点特征.

9.如图一次函数>="+人的图像如图所示，如果去+8>0,那么x的取值范围

是.

y

4V

【难度】★★

【答案】x<2

【解析】直线尸在x+6与x轴交点坐标是（2,0）,由函数图像可知，

y>0时，直线在x轴上方，所以x<2.

【总结】主要考查运用函数图像解一元一次不等式，考查分析能力和读图能力.

10.一次函数y=3（g-x）的图像上有一点M,若点〃的横坐标小于3,则它的纵坐标

取值范围是一

【难度】★★

【答案】y>-5.

【解析】由y=3（3-x）可知x=若点材的横坐标小于3,即x<3,解得y>-5.

【总结】本题考查•次函数的解析式的运用，-次不等式的解答，注意函数解析式与不等式

间的转换.

11.某人用充值50元的"卡从/地向6地打长途电话，按通话时间收费，3分钟内收费2.4

元，以后每超过1分钟加收1元，若此人第一次通话t分钟（3WCW45）,则"卡上所余的

费用y（元）与力（分）之间的关系式是.

【难度】★★

【答案】y=5O.6-t.

【解析】由题意得y=50-2.4-lx（f-3）=50.6-r

【总结】本题考查了根据实际问题列一次函数关系式，解题的关键是根据题意，找出等量关

系，注意题中y表示卡上剩余费用，以免造成错误.

12.如图，已知/地在6地正南方3千米处，甲乙两人同时分别从4、8两地向正北方向匀

速直行，他们与4地的距离S（千米）与所行的时间£（小时）之间的函数关系图象如图所

示的力，和物给出，当他们行走3小时后，他们之间的距离为千米.

【难度】★★

【答案】1.5.

【解析】由图可知，甲行走的是力C路线，乙走的是加路线，

设直线”1解析式跖=公，带入（2,4）可得：g=2f

设直线初解析式S2=公+6带入（0，3）和（2,4）,

,1I3

得：s=—t+3,当t=3时，5.—s=2x3—x3—3=—,

2212222

所以行走3小时后，他们相距1.5千米.

【总结】本题考查了一元函数在实际生活中的应用，数形结合，求解析式，可根据题意解出

符合题意的解，这种题是常见的题型，关键是看懂题意，列出函数关系式.

13.函数y=4x+b的图像与坐标轴围成的三角形的面积为6,则6的值为

【难度】★★

【答案】h=±4y/3.

【解析】分别令尸0,尸0,解得函数与X轴、y轴交点分别是(-2,0),(0,勿，因为函数

4

y=4x+b

的图像与坐标轴围成三角形面积为6,所以L瓦心=6,解得：b=±4g

2114

【总结】本题考查一次函数与坐标轴的交点，结合三角形面积列方程，注意坐标转换成线段

时，要加绝对值，并且注意两解的情况.

14.已知一次函数片七叶。的图像经过点(1,2),且不经过第三象限，那么关于x的不式

辰+6>2的解集是.

【难度】★★

【答案】x<l.

【解析】一次函数不经过第三象限，那么一定经过二、四象限，又要过(1,2),所以一次

函数大致图像如图，由图可知，y>2时，x<l

【总结】本题考查一次函数的图像解决一元一次不等式问题，判断出相应的函数图像是解决

本题的关键.

15.(1)己知直线丫=丘+力与直线y=—3x+7关于y轴对称，则左=,b=；

(2)已知直线y=+~与直线y=-3x+7关于x轴对称，则k=,b=

(3)己知直线丫=丘+6与直线y=-3x+7关于原点对称，则A=,b=.

【难度】★★

【答案】(1)A=3,左7；(2)k=3,6=—7；(3)%=—3,。=一7.

【解析】关于y轴对称的两直线，。的值相同，4的值相反：关于x轴对称的两直线，k与b

都相反；关于原点对称的两直线，A不变，A相反.

16.若Hc<0,且y=的图像不经过第四象限，则点(a+A,c)所在象限为.

aa

【难度】★★

【答案】四.

【解析】y=?x-£不经过第四象限，所以2>0,-£>0,所以a、6同号，a、c异号,

aaaa

当a>0,b>0,c<0,(犷b,c)在第四象限；当a<0,b<0,c>0,则a6c>0,

与已知矛盾，所以答案为笫四象限.

【总结】本题考查一次函数的图像与系数的关系，熟知一次函数图像与系数的关系是解答本

题的关键.

17.若函数y=-x-4与x轴交于点4,直线上有一点也若的面积为8,则点

M的坐标.

【难度】★★

【答案】(0，-4)或(-8,4).

【解析】令y=0,求出4(一4,0),则的=4,设材(a,-a-4),S=ixOAx|-a-4|=8,

解得：。=0或a=—8,所以11点坐标为(0，-4)或(-8,4).

【总结】本题考查一次函数图像上点的坐标特征，点在解析式上,点的横纵坐标满足解析式，

注意不要漏解

18.如图，直线/:y=-"v+百与x轴、y轴分别相交于点力、B,仍与"关于

直线/对称，则点。的坐标为

【难度】★★

【答案】（|,务

【解析】分别令产0,尸0,可/1（0,退），伏1,0）,OB=上,614=1,

勾股定理可得：AB=2,所以/为户/胡玲60°,

从C向x轴做垂直，垂足为〃，介60°,在△0。中力仁阱1,

可得：AD=^,CD=§,所以cg，停）.

【总结】本题主要考查了一次函数与直角三角形的综合运用和有关轴对称的性质，要熟练掌

握根据函数解析式求得有关线段长度的方法，灵活的运用数形结合的知识解题

19.y=kx+12与两坐标轴围成的三角形面积为24,求的/值.

【难度】★★★

【答案】左=±3.

【解析】当尸0时，尸12,当尸0时，x=--,所以直线与两坐标轴的交点分别是（0,

12)

17i19

和（一一,0）,所以s=-xl2x--=24,解得：k=±3

k2k

【总结】本题考查的是一次函数与坐标轴交点与相关三角形的面积问题，要熟悉函数与坐标

轴的交点的求法.

20.己知方程组卜”：（a、b、c、k为常数,出:*0）的解为厂=：2,则直线

[y-kx=b[y=3

丫=衣+。和直线y=6+人的交点坐标为.

【难度】★★★

【答案】（一2,3）.

【解析】y=or+c•与y=Ax+6两直线的交点坐标是方程组=以+：的解，即是方程组

[y=kx+b

的解，所以两直线交点坐标是（-2,3）.

[y=kx+b

【总结】本题考查了一次函数与二元一次方程（组），两个一次函数的交点坐标就是两函数

解析式所组成的方程组的解.

21.直线y=3x-史与x轴、y轴的交点分别为力、8则线段上（包括端点/、B）

'44

横坐标和纵坐标都是整数的点有个.

【难度】★★★

【答案】5.

95Q5

【解析】令产0,y=——，令尸0,尸19,所以力（19,0）,仅0,——）.

44

9545

当产0时，y=--,不符合题意；当时，y=-竺，不符合题意：

42

当尸2时，j=-—,不符合题意；当*=3时，y=-20,符合题意：

4

当下4时，y=-—，不符合题意；当产5时，y=--,不符合题意；

42

当产6时，y=-,不符合题意；当产7时，y=-i5,符合题意；

4

当产8时，y=-，不符合题意；当尸9时，y=-—,不符合题意；

42

当A=10时,y=——,不符合题意;当产11时，y=-10,符合题意；

4

当尸12时，y=,不符合题意;当尸13时，y=--9不符合题意;

42

-"，不符合题意;

当JF14时,y=当产15时，y=-5,符合题意；

4

当产16时,y=不符合题意；当下17时，y=--,不符合题意；

42

当产18时,y=不符合题意；当下19时，y=0,符合题意；

4

故横纵坐标都是整数的点有(3,-20),(7,-15),(11,-10),(15,-5),(19,0),共5个.

【总结】本题主要考查一次函数与坐标轴的交点，注意进行分类讨论.

22图1,在矩形4?5中，动点尸从点8出发，沿BC、5运动至点〃停止.设点产

运动的路程为x,鳍的面积为y.如果关于x的函数图像如图2所示，则劭的长是

【难度】★★★

【答案】V13.

【解析】根据题意，当〃在比上运动时,

△4册的面积增大，结合图可知，除2

当尸在切上时，三角形面积不变，结合图形可知，CD=3,所以B庆而

【总结】本题主要考查了动点问题的函数图像，在解题时要能根据函数的图像求出有关线段

的长度，从而利用勾股定理来解决问题.

23.在平面直角坐标系中，0为坐标原点，已知4(1,。)在直线y=-x+2上，在坐

标轴上确定点只使△力冰为等腰三角形，则符合条件的点尸的个数有个.

【难度】★★★

【答案】8

【解析】｛点横纵坐标带入直线产-x+2,可得4(1,1),

当［户/2时，以4为圆心，4。长为半径做圆，与坐标轴交于2点，所以2点有2个，

当/=8时，以。为圆心，总长为半径做圆，与坐标轴交于4个不同的点，所以尸点

有4个，当为=心时;做勿的垂直平分线，与坐标轴有2个不同的交点，所以〃点有

2个，

综上，〃点共有8个.

【总结】本题考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的判定，对于底和腰不等的等腰三角形,

若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论.

24.如图所示，直线丫=一等％+1和x轴、y轴分别交于点4、B,点C在坐标平面内，

若以线段4?为边作等边△45G则点。的坐标是_____.

【难度】★★★

【答案】(G，2)或(0,-1)

【解析】4(6，0),6(0,1),阶G，OB=\,N力加=60°,N劭330°,有两种情况：

当「在直线A?上方时，△/1欧是等边三角形，所以〃户2,ZC45=60°,即。_Lx轴，

所以C(6,2)

当「在直线4?下方时，△/比1是等边三角形，所以户2,/。比60°,NCK4=60°,

所以。在y轴上，C(0,-1)

【总结】本题考查了勾股定理，一次函数，等边三角形性质，含30度角的直角三角形等知识

点应用，关键是根据题意正确画出符合条件的所以情况，注意不要漏解.

25.(1)如图所示，点｛的坐标为(—1,0),点8在直线y=x上运动，当线段46

最短时，点8的坐标为；

(2)如图所示，在平面直角坐标系中有两点4(-2,2),8(1,4),尸为x轴上一点：

①当初+的值最小时，。点的坐标为；

②当外―〃的值最大时，一点的坐标为

【难度】★★★

【答案】(二，一,)，(T，0),(-5,0).

【解析】(1)当48垂直直线尸x时，线段46长最短，从/向直线

产x作垂线，垂足为C点，则是等腰直角三角形，所以次-g,-g)

(2)4点关于x轴对称点为A'(-2,-2),根据对称原理，4Q4只点A'与点夕的距离就

是mA-的最小值，直线48为尸2x+2,与x轴交点是(-1,0),即点一(-1,0).

在△?!"中，根据两边之差小于第三边，所以以F〃的最大值应为46间的距离，直线44

7If)

的解析式是：y=-x+—,与x轴交点坐标是(-5,0),即点P(-5,0).

•33

【总结】本题考查轴对称与最短线段问题及用待定系数法求一次函数的解析式

三、解答题

1.已知一次函数>=(2m-5)/九5"-7+2〃?的函数值丫随)的增大而增大，求机的值及解析式.

【难度】★★

【答案】7/J=3,y=x+6.

【解析】•次函数定义片0(左#0),HP/M2-5/M+7=1,解得：犷2或/ZF3.

函数值y随x的增大而增大，所以2犷5>0,所以游3,故解析式为尸x+6.

【总结】本题考查一次函数的性质与定义.

2.如图，已知一次函数的图像交x轴于/(一6,0),交正比例函数的图像于点8,且点占在

第三象限，它的横坐标为-2,如的面积为6,求正比例函数和一次函数的解析式.

【难度】★★

【答案】尸X,y=_gx_3.

【解析】/=6,从8做切L_x轴，则SAM=LxOAxE>B=Lx6xB£)=6,

22

解得：8店2,所以8"2,-2),设一次函数解析式片26,

代入/(-6,0),B(-2,-2),解得：y^--x-3,

2

设正比例函数解析式片履，代入6"2,-2),解得：y=x.

【总结】本题考查了用待定系数法求正比例函数和一次函数的解析式，两函数的直线相交问

题，由解析式所组成的方程组的解为交点坐标，注意各个象限里点的坐标的符号.

3.如图所示，一次函数y=x+b与反比例函数)，=4在第一象限的图像交于点氏且点6的

X

横坐标为1,过点8作y轴的垂线，点C为垂足，若京耐。=|，求一次函数和反比例函数

的解析式.

【难度】★★

【答案】y=x+2,y=--

X

113

【解析】6点横坐标为1,所以仇>1,SB=—xOCxBC=-xTxOC=」，解得：妗3.

"0"c222

所以8(1,3)带入一次函数尸附8,解得：尸产2,

k3

设反比例函数解析式y=E，代入点6(1,3),解得：公3,所以反比例函数解析式是y=士.

xx

【总结】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解本题的关键是先根据三角形的面

积出6的值，进一步确定出点6的坐标.

4.如图所示，直线>=履+6经过力(一1,2)和6(-3,0)两点，则不等式组

-x+l〈京+。<3的解集是多少？

【难度】★★

【答案】—l<x<0.

【解析】直线尸取+3经过4(-1,2)和6(-3,0),

解得直线解析式为：片户3,则不等式组可以转化为-x+l<x+3<3,解得：-l<x<0.

【总结】本题考查一次函数与不等式(组)的关系及数形结合思想的应用，解决此类问题关

键是观察图形，做到数形结合.

5.如图所示，直线y=-gx+2石与x轴、y轴分别交于点1和点8〃是y轴上的一点，

若将△加8沿直线为折叠，点6恰好落在x轴正半轴上的点。处，求直线切的解析式.

【难度】★★

【答案】丫=容_2也.

【解析】根据题意/(2,0),6(0,273),

在危△力施中，好2,OB=2^,可得/代4,/倒=30°,

△加6由△的「翻折得到，所以NOC&N()BA=30°,CA=BA,

所以妗%为=6,在中，解得：OD--2^3,

所以〃(0,-2>/3),设切解析式尸k/b,

代入C(6,0),D(0,-273).解得：y=*x-20

【总结】解这类题目要能够把题中的条件转化为图形上表达出来，翻折、重合等关键词的理

解都是做题的关键所在，数形结合的思想对解题很有帮助.

6.已知一次函数y=(，v-2)x+2机-3.

(1)求证：无论，〃取何实数，函数的图像恒过一点；

(2)当x在1WXW2内变化时，y在4WyW5内变化，求也的值.

【难度】★★

【答案】(1)略；(2)m=3.

【解析】(1)因为y=(机-2)x+2〃7-3=(x+2)〃?-(2x+3),直线恒过点(-2,1),

即函数图像恒过定点(-2,1)；

(2)当；v=l时，尸3"尸5,当A=2时，y=4m-l,所以当1WW2时，

„f4<3m-5<5切但c

得z：<解得：z»=3.

[4<4m—7<5

【总结】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征，解一元一次不等式组的应用，主要考查

理解能力和计算能力.

7.已知一次函数y=，^x+l中y随尤的增大而增大，它的图像与两坐标轴构成的直角三

角形的面积不超过|,反比例函数y=三次的图像在第二、四象限.求满足以上条件的火

的整数值.

【难度】★★★

【答案】1或2.

【解析】因为一次函数y=4x+1，y随x的增大而增大，所以2左-1>0.因为一次函

2K-1

数

y=—!—x+1与x轴，y轴交点分别是(1-2A,0)和(0,1),所以直线与坐标轴构成的

2k-\

13

三角形面积为S=—xlx(2k—l)<5，又2—3人<0,

13

-X1X(2JI-1)<-

222

所以在满足不等式组不等式组2k-l>0,解得：-<k<2,

3

2-3k<0

因为衣为整数，所以4=1或者4=2.

【总结】本题主要考查一次函数的性质及与坐标轴的交点问题，注意此题中要求的是整数解.

8.4市、8市和，市分别有某种机器10台、10台、8台，现在决定把这些机器支援给〃市

18台，£市10台.已知：从A市调运1台机器到〃市、£市的运费分别为200元和800元；

从8市调运1台机器到。市、£市的运费分别为300元和700元；从C市调运1台机器到D

市、£市的运费分别为400元和500元.设从4市、6市各调x台机器到。市，当28台机器

调运完毕后，求总运费加(元)关于x(台)的函数关系式，并求/的最大值和最小值.

【难度】★★★

【答案】於-800X+17200,最大值13200元，最小值10000元.

【解析】由题意可列表

A('

DXX18-2x18

E10-x10-x2『1010

10108

即从4向。、6分别运送x台、10-x台，从6向〃、6分别运送x台、10-x台，从「向久E

分别运送18-2x台、2尸10台，其中每一次运送数量都要大于或者等于0,可知x的取值范

围是54xW9,胎200x+300x+400(18-2x)+800(10-x)+700(10-x)+50(K2x-10)=-800x+17200,

1随x的增大而减小，所以“最大值为13200元，/最小值为10000元

【总结】本题考查用一次函数解决实际问题，注意利用一次函数求值时.，关键是应用一次函

数的性质，即由函数y随x的变化，结合自变量的取值范围确定最值.

9.中学预计用1500元购买甲商品x个，乙商品y个，不料甲商品单价上涨1.5元，乙商品

单价上涨1元，尽管购买甲商品的个数比预定减少10个，总金额还是多了29元.又若甲、

乙商品单价上涨1元，并且购买甲商品的数量只比预定数少5个，那么买甲、乙两商品支付

的总金额是1563.5元.

(1)求x、y的关系式；

(2)若预计购买甲商品的个数的2倍与预计购买乙商品的个数的和大于205,但小于210,

求x、y的值.

【难度】★★★

【答案】(1)x+2y=186：(2)x=76,y=55.

【解析】(1)设预计购买甲、乙商品的单价分别是a元和6元，可得：

ax+by=1500

■(a+1.5)(x-10)+(/7+l)y=1529,化简可得：x+2y=186；

(a+l)(x-5)+(/>+!)>,=1563.5

⑵依题意,有[2。5<2:)，<210,解得：54<552,由于了是整数，

[x+2y=1863

所以y=55,从而*=76.

【总结】本题是方程组、函数和一元一次不等式的综合题，解决本题的关键是读懂题意，找到

合适的关系式，当必需的量没有时，应设出未知数，解题过程中消去无关的量.

10.如图所示，在矩形以究中，。为直角坐标系的原点，尔C两点的坐标为(3,0),

(0,5)

(1)请直接写出点6的坐标；

(2)若过点。的直线切交边于点。，且把矩形曲」笫的周长分为1:3的两部分，求直线

切的解析式.

【难度】★★★

【答案】(1)6(3,5)；(2)y=—L+5.

3

【解析】由题知6(3,5)过点。的直线必交4?边于点〃，

且把矩形以比'的周长分为1：3两部分，

OC=AABD,OA=BC,则一定有：-----03+双)--=1,

CO+OA+AB-BD3

即小生=1,解得：盼1,4M,即〃(3,4),设直线徵的解析式为尸26,

13-BD3

代入C(0,5)和〃(3,4),解得直线解析式为：y=-gx+5.

【总结】本题考查矩形的性质，比例的性质，以及待定系数法求函数解析式，根据比例的性

质求得切的长，即可求得。的坐标，利用待定系数法，可求函数解析式.

11.如图所示，直线人与x轴、y轴分别交于1(6,0)、B(0,3)两点，点C(4,0)

为x轴上一点，点尸在线段4?(包括端点从B)上运动.

(1)求直线/的解析式；

(2)当点P的纵坐标为1时，按角的大小进行分类，请你确定△阳，是哪一类三角形，并

说明理由；

(3)是否存在这样的点R使得△0%为直角三角形?若存在，求出点。的坐标；若不存在，

请说明理由.

【难度】★★★

【答案】(1)y=—gx+3：(2)直角三角形；(3)(0,3),(4,1),(2,2),?(£，［)•

【解析】(1)设/,解析式y=k^b,代入A,6坐标，可解得直线解析式为：y=--x+3；

2

(2)当尸1时，尸4,P、「两点横坐标都是4,/Tlx轴，所以△用「是直角三角形；

(3)设0(x,-；x+3),则OP=Jx2+(-gx+3)2,巾=J(x-4)2+(-；x+3)2,0O\,

当。为直角顶点时，PC2=OC-+OP2,解得：A=0,所以一(0,3)；

当。为直角顶点时，0尸=0<?2+汽:2,解得：产4,所以2(4,1)；

当〃为直角顶点时，产+PC?,解得：户2或》=葭，所以一(2,2)或P(£,g)

综上，尸点存在，坐标是(0,3),(4,1),(2,2),〃(£，1)

【总结】求函数的解析式的常用方法是待定系数法，并且本题是存在性问题，是考试中常见

题型，注意进行分类讨论.

12.如图，在平面直角坐标系xOy中，多边形A48。定的顶点坐标分别是0(0,0)>4(0,6),

8(4,6),C(4,4),0(6,4),£(6,0).若直线/经过点M(2,3),且将多边形以故应

分割成面积相等的两部分，求直线/的函数表达式.

y

【难度】★★★

【答案】y=——x+—.

33

【解析】延长应1交x轴于点E联结必，AF,联结的DF,且相交于点M

点"(2,3)是矩形4跖9的中心，所以直线/把矩形｛加9分成面积相等的两部分，

又点1(5,2)是矩形微乎的中心，所以过点1(5,2)的直线把矩形由'分成面积相等

的两部分于是直线"V即为所求的直线1,

设直线解析式为：y=kx+b,带入M、N两点坐标，解得直线解析式为：y=--x+-.

33

【总结】本题考查矩形性质，关键是掌握过矩形对角线交点的直线平分矩形的面积，同事也

考查了待定系数法求宜线的解析式.

13.(2019•上海松江区•八年级期中)已知一次函数y=-2x+4的图像与x轴、y轴分别

交于点B、A.以AB为边在第一象限内作等腰直角三角形ABC,且/ABC=90°,BA=BC,作

OB的垂直平分线1,交直线AB与点E,交x轴于点G.

(1)求点。的坐标;

(2)在OB的垂直平分线1上有一点M,且点M与点C位于直线AB的同侧，使得

2sM0M=^6ABC,求点M的坐标；

(3)在(2)的条件下，联结CE、CM,判断ACEM的形状，并给予证明；

【答案】(1)C(6,2);(2)M(l,7);⑶见解析.

【分析】(1)过点C作x轴的垂线，交x轴于点H,通过“角边角”易证AAO8也

MiCB，得到BH=A0=4,CH=OB=2,即可得到C点坐标:

(2)根据题意可设点M(1,a),根据$凶814=54^^+54&“8可得关于小的方程，然后求

解方程即可；

(3)由(2)可得CE=5,EM=5,CM=5也，根据勾股定理的逆定理即可得到是等腰直

角三角形.

【详解】解：(1)过点C作x轴的垂线，交x轴于点H,

Vy=-2x+4,AA(0,4),B(2,0),VBA=BC,AHCB(ASA),

/.BH=A0=4,CH=OB=2,AC(6,2)

(2)如图，由题意可知点G(1,0),点E(1,2),

AB=BC=2>/5>SABC=—ABBC=10,2sA48M=SMBM—5,

而SAABM=SMBW+SAEMB,设M(1,a),则5=](。-2)+3(。-2),

解的a=7,则M(l,7)；

(3)联结CM,CE,

由于点E(1,2),C(6,2),M(1,7),贝IJCE=5,EM=5,CM=5五,可得：CE2+EM2=CM2,

CE=EM,.♦.△EMC是等腰直角三角形.

【点睛】本题主要考查一次函数与几何综合，综合性较强，属于中考常考题型，解此题的

关键在于熟练掌握全等三角形的判定与性质，勾股定理及其逆定理等知识点.

14.(2019•上海外国语大学秀洲外国语学校八年级期中)某校八年级举行“生活中的数

学”数学小论文比赛活动，购买A、B两种笔记本作为奖品，这两种笔记本的单价分别是

12元和8元，根据比赛设奖情况，需要购买两种笔记本共30本，若学校决定购买本次笔

记本所需资金不能超过280元，设买A种笔记本x本.

(1)根据题意完成以下表格(用含x的代数式表示)

笔记本型号AB

数量(本)X

价格(元冰)128

售价(元)12x

(2)那么最多能购买A笔记本多少本？

(3)若购买B笔记本的数量要小于A笔记本的数量的3倍，则购买这两种笔记本各多少本

时，费用最少，最少的费用是多少元？

【答案】(1)30-x,8(30-x)；

(2)12x+8(30-x)W280,xW10；

(3)7.5<xW10,x=8时，最少费用272元.

【详解】解：(1)由题意，得

笔记本型号AB

数量(本)X30-x

价格(元/本)128

售价(元)12x8(30-x)

(2)由题意，得

12x+8(30-x)<280,

解得：xW10.

,最多能购买A笔记本10本;

(3)设购买两种笔记本的总费用为W元，由题意，得

W=12x+8(30-x)=4x+240.

30~x<3x,

Ax>7.5.

Vk=4>0,

・・・W随x的增大而增大，

，x=8时,W最小=272元.

15.(2018・上海全国•八年级期中)某地4、8两村盛产柑橘，1村有柑橘200吨，8村有

柑橘300吨，现将这些柑橘运到C、〃两个冷藏仓库.已知。仓库可储存240吨，〃仓库可

储存260吨，从A村运往C.。两处的费用分别为每吨20元、25元，从6村运往C、〃两

处的费用分别为每吨15元、18元.设从/村运往。仓库的柑橘重量为x吨，从6两村运

往两仓库的柑橘运输费用分别为必元、独元.

(1)请填写下表，并求出为、为与x之间的函数表达式；

收地+

总计2

运地

A*>X吨Q200吨Q

BQd300吨。

总计。240