2021-2022学年北师大版必修1-第三章-4.2-换底公式-教案3-

教学目标：知识与技能掌握换底公式，能够应用解决计算和证明问题。过程与方法由具体的对数运算，到换底公式，在这过程中进行猜测，得出规律，再进行证明，表达化归的思想。情感、态度与价值观对数换底公式的学习，培养学生的探究意识和严谨的思维品质。教学重点：换底公式的灵活运用教学难点：换底公式的证明和灵活运用教学过程：一、复习回忆、思考引入1.对数与指数的互化：ab＝N化成对数式为b＝logaN.(N>0，a>0，a≠1)2.对数运算有哪三条根本性质？如果＞0且≠1，M＞0，N＞0，那么：〔1〕〔2〕〔3〕3.对数运算有哪三个常用结论？log48吗？学生思考答复，可能会有两种不同的解决方案，也可能没有方法解决从而引入新课〔前三个课前以填空的形式给出〕二、讲授新知1、探究换底公式教师出示思考题，学生独立思考完成。教师提问了解学生完成情况计算对数log864，log264，log28，log464，log48.问题1：对数log864的值与对数log264和log28的值有什么关系？提示：log864＝2，log264＝6，log28＝3,log864＝eq\f(log264,log28).问题2：对数log864的值与对数log464和log48的值有什么关系？提示：log864＝2，log464＝3,log48＝eq\f(3,2)，log864＝eq\f(log464,log48).问题3：经过问题1,2你能猜测得出什么结论？提示：logab＝eq\f(logMb,logMa)(a，M>0，a，M≠1，b>0)．2、换底公式再认识对数的换底公式：logbN＝eq\f(logaN,logab)(a，b>0，a，b≠1，N>0)．思考：(学生分小组讨论完成)问题1.换底公式的作用是什么？更换对数的底数〔统一底数〕问题2.为什么要更换对数的底数呢?运算律要求底数相同〔2〕底数相同可以将问题转移到真数上，到达简化log48吗？学生思考答复，有两种不同的解决方案问题4.换底公式对吗？可以证明吗？如何证明？学生先看课本84页证明过程，教师再针对性的讲解证明：设,根据对数定义，有根据相等的两个正数的同底对数相等，两边取以a为底的对数，得因为所以由于那么，解出x,得因为，所以问题5.能将logab用换底公式换为以b为底的对数吗？能得到什么的数式？logab·logba＝1(a>0，b>0，a≠1，b≠1)；3、换底公式的应用〔1〕计算求值例1计算：log1627log8132；解析：log1627log8132＝eq\f(lg27,lg16)×eq\f(lg32,lg81)＝eq\f(lg33,lg24)×eq\f(lg25,lg34)＝eq\f(3lg3,4lg2)×eq\f(5lg2,4lg3)＝eq\f(15,16)；出题意图：此题主要是对于对数换底公式的根本应用，让学生了解换底公式的主要作用是统一底数，进而利用对数运算性质。总结：在两个式子中，底数、真数都不相同，因而要用换底公式进行换底统一底数便于计算求值．〔2〕化简证明例2证明〔〕证明:将利用换底公式化为以a为底的对数式，那么即思考1.〔＞0且≠1〕与〔〕两者之间的关系log48和例1的计算目的：进一步熟悉换底公式，并得到其重要的一个推论，感知应用解题的快捷性。稳固练习：课本86页练习2、3练习2.计算：〔1〕〔2〕练习3利用换底公式证明：〔1〕〔2〕抽学生板演，学生纠错，检测学生掌握情况〔3〕实际中的应用以课本例9为例例9一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的质量约为原来的百分之84，估计经过多少年，该物质的剩留量是原来的一半。教师讲解表达1.函数产生过程目的：1感知数学来源于生活。2.强化数学建模解决实际问题的步骤为后续学做好铺垫。拓展提升：〔1〕计算(log32＋log92)(log43＋log83)．解析：(log32＋log92)(log43＋log83)＝(log32＋eq\f(log32,log39))(eq\f(log23,log24)＋eq\f(log23,log28))＝(log32＋eq\f(1,2)log32)(eq\f(1,2)log23＋eq\f(1,3)log23)＝eq\f(3,2)log32×eq\f(5,6)log23＝eq\f(5,4)×eq\f(lg2,lg3)×eq\f(lg3,lg2)＝eq\f(5,4).设3x＝4y＝36，求eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)的值．解析：∵3x＝36,4y＝36，∴x＝log336，y＝log436，∴eq\f(1,x)＝eq\f(1,log336)＝eq\f(1,\f(log3636,log363))＝log363，eq\f(1,y)＝eq\f(1,log436)＝eq\f(1,\f(log3636,log364))＝log364，∴eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)＝2log363＋log364＝log36(9×4)＝1.总结：(1)巧用换底公式，灵活“换底〞是解决这种类型问题的关键；(2)注意一些派生公式的使用．实际应用以幻灯片形势给出，简单说明。拓展提升依据时间情况灵活安排，可课堂处理也可布置为课后选作作业小结：学生进行教师补充：1．换底公式主要用于计算、化简求值，化简时，有两种思路：(1)根据题目特点，先换局部对数的底进行运算；(2)直接把题中对数全换成统一底的对数进行运算．一般来讲，对数的底越小越便于化简，如an为底的换为a为底．2．换底公式常用推论loganbn＝logab(a>0，a≠1，b>0，n≠0)；logambn＝eq\f(