高考数学一轮复习 第6章 不等式 第3讲 二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题学案-人教版高三全册数学学案

第3讲二元一次不等式（组）及简单的线性规划问题

考点回顾考纲解读考向预测

年份卷型考点题号分值2019年会一如既往地考查线性规划问

掌握二元一次不等式组表示题.预计考堂：①根据可行域求最值、面积与

I求最大值751.

2017的平面区域的画法.参数范围；②线性规划与概率、基本不等式等

II求最小值752.会求目标函数的最值.知识结合问题；③用线性规划解决实际问题.

3.会利用线性规划的方法解决解答线性规划问题概括为：“画、移、

2016III求最小值135

实际问题.转、求、答”，适当变形、转化，利用几何意

2015II求最大值145义求解是解翅关键.

板块一知识梳理•自主学习

［必备知识］

考点1判断二元一次不等式表示的平面区域

由于对直线1*+如+0=0同一侧的所有点（X,y）,把它的坐标（X,力代入/*+少+C

所得到实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点（施，％）,由Ax0+By0

+C的符号即可判断Ax+By+OO表示直线Ax+By+C^O哪一侧的平面区域.

考点2线性规划中的基本概念

名称定义

约束条件由变量X,/组成的不等式（组）

线性约束条件关于X,•的一次不等式（或等式）

目标函数关于筋y的函数解析式,如z=2x+3y等

续表

名称定义

线性目标函数关于X,「的一次解析式

可行解满足线性约束条件的解（x,y）

可行域所有可行解组成的集合

最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解

线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题

［必会结论］

画二元一次不等式表示的平面区域的方法

（1）直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线；

（2）特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取

(0,1)或(1,0)来验证.

［考点自测］

1.判断下列结论的正误.(正确的打“J”，错误的打“X”)

(1)不等式［x+的+G0表示的平面区域一定在直线"+C=0的上方.()

(2)任何一个二元一次不等式组都表示平面上的一个区域.()

(3)线性目标函数的最优解可能是不唯一的.()

(4)目标函数z=ax+勿(际0)中，z的几何意义是直线ax+6y—z=0在y轴上的截

距.()

答案⑴X(2)X(3)V(4)X

|%—3了+6》0,

2.［2018•吉林长春模拟］不等式组,表示的平面区域是()

X—y+2n<0

解析x—3y+620表示直线x-3y+6=0以及该直线下方的区域，入一/+2〈0表示直

线“一/+2=0上方的区域.故选B.

3.［课本改编］已知点(一3,—1)和点(4,一6)在直线3x—2y—a=0的两侧，则a的取

值范围为()

A.(-24,7)

B.(-7,24)

C.(-8,-7)U(24,+8)

D.(-8,-24)U(7,+8)

答案B

解析根据题意知(-9+2—a),(12+12—a)<0.即(a+7)(a—24)<0,解得一7<a<24.

2*+y—6W0,

4.不等式组,“+了-320,表示的平面区域的面积为()

A.4B.1C.5D.无穷大

答案B

解析不等式组

'2x+y—6W0,

3,0,表示的平面区域如图所示(阴影部分)，明的面积即所求.求

.J<2

出点出B,。的坐标分别为4(1,2),8(2,2),。(3,0),则△力比的面积为S=gx(2—1)X2

=1.

3x+2y—6W0,

5.[2017•全国卷HI]设x,y满足约束条件

J，0，

则z=x—y的取值范围是()

A.[-3,0]B.[-3,2]

C.[0,2]D.[0,3]

答案B

解析画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示.

由题意可知，当直线y=x—z过点4(2,0)时，z取得最大值，即z”.*=2—0=2；当直

线尸x—z过点8(0,3)时,z取得最小值,即z»in=0—3=—3.

所以Z=x—y的取值范围是[―3,2].故选B.

卜+y》0,

6.[2015•福建高考]变量x,y满足约束条件(x-2y+2》0,

l/flx—y<0.

若z=2x-y的最大值为2,则实数卬等于()

A.-2B.-1C.1D.2

答案C

x+y20,

解析如图所示，目标函数z=2x-y取最大值2即y=2x—2时，画出°,

(x-2y+2^0

表示的区域，由于必x一尸0过定点(0,0),要使z=2x-y取最大值2,则目标函数必过两

直线x-2y+2=0与y=2x-2的交点4(2,2),因此直线mx-y=Q过点/⑵2),故有2m-

2=0,解得力=1.

板块二典例探究•考向突破

考向用二元一次不等式（组）表示平面区域

卜+y—220,

例1[2018•浙江模拟]不等式组卜+2y—4W0,表示的平面区域的面积为

L+3r-220

答案4

解析不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示.

x+3y—2=0,

由得4(8,-2).

x+2y—4=0,

由x+y-2=0,得6(0,2).又|切=2,

故S阴影=；X2X2+2X2X2=4.

触类旁通

如何确定二元一次不等式（组）表示的区域

“直线定界，特殊点定域”.

2x+j<2,

【变式训练1】若不等式组《表示的平面区域是一个三角形，则a

在0,

的取值范围是（）

4

A.不B.OCaWl

44

C.D.0<a〈l或可

oo

答案D

x—y^Q,

解析不等式组<2x+j<2,表示的平面区域如图所示(阴影部分).解

、在。

y=x,(22、[y=0,

.得Q;解°,°得8(1,0).若原不等式组表示的平面区域是一个

[2x+y=2V3；[2x+y=2

4

三角形，则直线x+尸a中的a的取值范围是0〈aWl或

O

利用线性规划求目标函数的最值

‘余题角一度I…线性规划史的求最值问题

2x+3y—3W0,

例2[2017•全国卷II]设/,y满足约束条件,2*-3y+320,则z=2x+y的

)+3川，

最小值是()

A.-15B.—9C.1D.9

答案A

解析不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示.

将目标函数z=2x+y化为y=-2x+z,作出直线y=-2x,并平移该直线，知当直线

y=-2x+z经过点力(一6,—3)时，z有最小值，且Zmin=2X(―6)—3=—15.故选A.

?余题角度-2…线性规划史的求参数问题

'x+y—220,

例3[2018•北京模拟]若x,y满足<4x—y+220,且z=y—x的最小值为一4,

.在0，

则彳的值为()

11

2---

R.-22D.2

答案D

x+y—220,

解析作出线性约束条件，府一y+2》0,的可行域.当A〉0时，如图1所示，此

时可行域为x轴上方、直线x+y—2=0的右上方、直线成一了+2=0的右下方的区域，显

然此时z=y-x无最小值.

当火一1时，z=y—x取得最小值2；当次=—1时，z=y-x取得最小值一2,均不符

合题意.

当一1“<0时，如图2所示，此时可行域为点4(2,0),oj,C(0,2)所围成的三

角形区域，当直线z=y-x经过点0)时，有最小值，即一(一W=一4=A=一故选

D.

辰一『+2=0

/（1>（））

+2=0

(-1<^<0)

?施题角度宜…线性规划史无方多个最优解问题

x+y—2<0,

例4[2014•安徽高考]x,p满足约束条件卜一2y—2W0,

2x—y+220.

若/=y—ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（）

A.g或一1B.2或;

C.2或1D.2或一1

解析作出可行域（如图），为勿内部（含边界）.由题设z=y—ax取得最大值的最

优解不唯一可知：线性目标函数对应直线与可行域某一边界重合.由购=-1,服=2,k因

=4可得a=—1或a=2或a=J,验证：a=—1或a=2时，成立；a=〈时，不成立.故选

利用线性规划解决实际应用问题

例5[2016•全国卷I]某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材

料.生产一件产品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时；生产一件产品B需要

甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时.生产一件产品A的利润为2100元，生产一件

产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时

的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元.

答案216000

解析设生产产品Ax件，生产产品By件，利润之和为z元，则z=2100x+900y.

’1.5x+0.5j<150,r3%+j<300,

x+0.3y^90,10^+3j<900,

根据题意得〈

5x+3K600,5x+3j<600,

*N,HN,

作出可行域(如图).

“Ox+3尸900,

由彳,

〔5x+3尸600,

fx=60,

得

［尸100.

当直线2100x+900y~z=0过点力(60,100)时，z取得最大值，丸=2100X60+900X100

=216000.

故所求的最大值为216000元.

触类旁通

用线性规划求解实际问题的一般步骤

(1)认真分析并掌握实际问题的背景，收集有关数据;

(2)将影响该问题的各项主要因素作为决策量，设未知量；

(3)根据问题的特点，写出约束条件；

(4)根据问题的特点，写出目标函数，并求出最优解或其他要求的解.

【变式训练2】［2018•江西模拟］某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50

亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：

年产量/每吨售

年种植成本/亩

亩价

黄0.55万

4吨1.2万元

瓜元

韭

6吨0.9万元0.3万元

菜

为使一年的种植总利润(总利润=总销售收入一总种植成本)最大，那么黄瓜和韭菜的种

植面积(单位：亩)分别为()

A.50,0B.30,20C.20,30D.0,50

答案B

解析设种植黄瓜x亩，种植韭菜y亩，因此，原问题转化为在条件

"x+j<50,

1.2x+0.54,

“x》0,下，

求z=0.55X4x+0.3X6y—1.2x—0.9y=x+0.9y的最大值.画出可行域如图.利用线

性规划知识可知，当X,

x+y=50,

了取，c；c一的交点(30,20)时，z取得最大值•故选B.

11.2x+0.9y=54

(----------------------------------------10名师笫记•以?内领/I---------------------------------------

O核心规律

1.解线性规划应用题，可先找出各变量之间的关系，最好列成表格，然后用字母表示变

量，列出线性约束条件；写出要研究的函数，转化成线性规划问题.

2.利用线性规划的思想结合代数式的几何意义可以解决一些非线性规划问题.

二满分策略

1.画平面区域时：含等号，直线画为实线；不含等号，直线画为虚线.

77

2.在通过求直线的截距］的最值间接求出z的最值时，要注意：当少0时，截距］取最大

bb

值时，z也取最大值；截距3取最小值时，z也取最小值；当仅0时，截距3取最大值时，z

bb

取最小值；截距看取最小值时，Z取最大值.

板块三启智培优•破译高考

题型技法系列9一一非线性目标函数的最值问题

"x—2y+420,

［2016•江苏高考］已知实数x,y满足，2x+y—220,

.3x—y—3W0,

则/+/的取值范围是

解题视点本题中的几何意义是点(x,y)到原点的距离的平方，不能遗漏平方.

解析不等式组所表示的平面区域是以点(0,2),(1,0),(2,3)为顶点的三角形及其内

24

部，如图所示.因为原点到直线2x+y-2=0的距离为一广，所以5+力，,产曰又当(小

4

。取点⑵3)时，f+4取得最大值13,故/+/的取值范围是

5,

3

答案

答题启示与二元一次不等式(组)表示的平面区域有关的非线性目标函数的最值问题

的求解一般要结合给定代数式的几何意义来完成.常见代数式的几何意义：(1){7针表示

点(x，y)与原点(0,0)的距离；⑵4(X—与+(y—讲表示点(x,y)与点(a,8)之间的距离;

\AxJt-By+C\

⑶表示点(x,力到直线Ax+Sy+C^O的距离;⑷1表示点(x,0与原点(0,0)

q片+4

连线的斜率；⑸三表示点(X,

力与点(a,6)连线的斜率.

/跟踪训练

[2018•成都模拟]设实数x,y满足不等式组

V—1

X—y20,则3=*7的取值范围是()

X+1

、2x—y—220,

1

2-

答案B

解析作出不等式组所表示的可行域，如图中阴影部分所示，由于mV—1■可以看作直线的

斜率形式，于是问题可以转化为求可行域内的哪些点与点4(—1,1)连线的斜率最大、最小

问题.

1

如图,当直线过点小。)时，斜率最小，此时。=事

2-

当直线与x-y=O平行时，斜率最大，此时。=1,但它与阴影区域无交点，取不到.

1

故"缶的y-取1值范围是-

21.故选B.

板块四模拟演练•提能增分

[A级基础达标]

%W3,

1.[2017•北京高考]若x,y满足x+y》2,则叶2y的最大值为（）

.y^x,

A.1B.3C.5D.9

答案D

解析作出可行域如图阴影部分所示.

设z=x+2y,

作出直线A：y=-p,并平移该直线，可知当直线x—gx+gz过点。时，z取得最

大值.

x=3，x=3,

由得c故以3,3).

.y—x,ly=3,

.*=3+2X3=9.故选I).

x20,

2.[2017•浙江高考]若x,y满足约束条件,x+y—320,

则z=x+2y的取值范围是（）

A.[0,6]B.[0,4]

C.[6,+8）1).[4,+°0)

答案D

y

解析作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示.

1z

由题意可知，当直线片=一5牙+5过点4(2,1)时，z取得最小值，即右=2+2Xl=4.

所以z=x+2y的取值范围是［4,+8).故选D.

’x一介1,

3.［2018•陕西黄陵中学模拟］已知变量x,y满足约束条件目标函数

z=x+2y的最大值为10,则实数a的值等于()

8

A.4B.-C.2D.8

答案A

解析由不等式组可得可行域如图中阴影部分所示，当直线z=x+2y经过点/(a,a-

1)时，z取得最大值，由已知得a+2(a—1)=10,解得a=4.故选A.

卜一Zl,

4.[2018•开封模拟]设变量x,y满足约束条件（x+y>2,

b<2，

则目标函数z=f+/的取值范围为（）

A.[2,8]B.[4,13]

_5

--3

C.[2,13]D.夕-

一

答案C

解析作出可行域，如图中阴影部分，将目标函数看作是可行域内的点到原点的距离的

0+0-21

平方，从而可得益„=1。|2=；卜=2,益x=1阳|2=32+22=13.故z的取值范围为

[2,13].

5.[2015•陕西高考]某企业生产甲、乙两种产品均需用A,6两种原料，已知生产1

吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示.如果生产1吨甲、乙产品可获利润分

别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（）

甲乙原料限额

4（吨）3212

8（吨）128

A.12万元B.16万元C.17万元D.18万元

答案D

解析设该企业每天生产甲产品x吨，乙产品y吨，获利z元.

~3x+2j<12,

x+2j<8,

则由题意知<、利润函数z=3x+4y.

栏0,

j20.

画出可行域如图所示，当直线3x+4y-z=0过点8时，目标函数取得最大值.由

3x+2尸⑵

x+2尸8,

x=2,

解得

y=3.

故利润函数的最大值为Z=3X2+4X3=18(万元).故选D.

2a—

6.某校今年计划招聘女教师a名，男教师6名，若a,6满足不等式组，a-bW2,

a<7,

设这所学校今年计划招聘教师最多x名，则x=()

A.10B.12C.13D.16

答案C

解析画出约束条件所表示的区域，即可行域，如图阴影部分所示，作直线2：6+a=

0,平移直线再由a,6GN,可知当a=6,6=7时，x=a+6=13.故选C.

7.[2017•全国卷I]设x,y满足约束条件，2x+y2—l,

贝ljz=3x—2y的最小值为.

答案一5

解析作出可行域如图阴影部分所示.

/口3z

由z=3x-2y,<y=~x--.

作出直线/。：y=|x,并平移/。，知当直线y=5x—楙过点力时，z取得最小值.

x+2y-l=0,

由.得力(-1,1),

2x+y+l=0,

，为“=3X(—1)一2义1=一5.

A—y<10,

8.[2018•辽宁模拟]设变量x,y满足«0Wx+j<20,

则2x+3y的最大值为

.0<尸(15,

答案55

97

解析不等式组表示的区域如图所示，令z=2x+3y,目标函数变为y=一鼻丫+于因此

OO

[%+y=20,

截距越大，z的取值越大，故当直线z=2x+3y经过点4时，z最大，由于=

lr=15

5

一'故点力的坐标为(5,15),代入z=2x+3y,得到右=55,即2x+3y的最大值

y=15,

为55.

[x+4y-13W0,

9.已知变量x,y满足约束条件(2y—x+l>0,且有无穷多个点(x,。使目标函

〔x+y-420,

数z=x+"吠取得最小值，求m的值.

解作出线性约束条件表示的平面区域，如图中阴影部分所示.

若卬=0,则2=必目标函数z=x+my取得最小值的最优解只有一个，不符合题意.

11y

若杼0,则目标函数z=x+/〃y可看作斜率为-一的动直线y=—

mmm

若成o,则一bo,数形结合知使目标函数Z=x+〃y取得最小值的最优解不可能有无穷

m

多个;

若勿＞0,则一50,数形结合可知，当动直线与直线46重合时，有无穷多个点(x,力,

在线段相上，使目标函数z=x+犯取得最小值，即-1，贝U/kL

综上可知，m=\.

x—4y+3W0,

10.变量x,y满足《3x+5y-25W0,

、x21.

(1)设z=4求Z的最小值；

X

(2)设z=V+/,求z的取值范围；

(3)设2=步+/+6*-47+13,求z的取值范围.

f%—4y+3^0,

解由约束条件«3x+5y—25W0,

作出(x,力的可行域如图所示.

解得

卜=1,

由|y-4y+3=0,

解得C(l,l)・

p-4y+3=0,

叫3x+5y-25=0,解得6(5,2).

⑴因为z=2=m,

9

所以Z的值即是可行域中的点与原点0连线的斜率.观察图形可知^,„=^=-

5

(2)z="2+〃的几何意义是可行域上的点到原点。的距离的平方.结合图形可知，可行

域上的点到原点的距离中，d,i„—|0C\—y[2,4,x=|。6|=，药.所以2WzW29.

(3)z=f+/+6x—4y+13=(%+3)2+(y-2)2的几何意义是可行域上的点到点(一3,2)

的距离的平方.结合图形可知，可行域上的点到(-3,2)的距离中,或“=1—(—3)=4,的

=、(—3-5)2+(2―2)2=8.所以16WzW64.

[B级知能提升]

x+3Z4,

2,

则Z=|x—3y|的最大值为()

A.10B.8C.6D.4

答案B

解析不等式组，x+3j<4,

、x2一2,

所表示的平面区域如图中阴影部分所示.

当平移直线x—3尸0过点/时，/=x—3y取最大值；

当平移直线x—3y=0过点C时，s=x—3y取最小值.

由题意可得力(一2,—2),C(—2,2),所以%HX=-2—3X(—2)=4,偏汨=—2—3X2

=-8,

所以一8W加W4,所以I%IW8,即Zmax=8.

x+y—2W0,

2.若不等式组＜x+2y—220,表示的平面区域为三角形，且其面积等于4十则m

O

、x—y+2m20,

的值为（）

4

A.-3B.1C."D.3

答案B

解析作出可行域，如图中阴影部分所示,

易求4B,C,〃的坐标分别为/⑵0）,

l+/z?），

•汽l=g（2+2勿）（1+加一+

D(—2m,0).

加）+号目=2，解得"7=1或7=一3（舍去）.

卜一y+220,

3.实数x,y满足不等式组(2x-y-5W0,

则z=Ix+2y-41的最大值为

〔x