2020-2021学年河南省名校联盟高二下学期六月联考数学文试题解析版

2020-2021学年河南省名校联盟高二下学期六月联考数学（文）试题一、单选题1．已知A＝{，0，1}，B＝{，，1}，则A∪B的真子集的个数为（）A．3 B．7 C．15 D．31【答案】C【分析】根据并集的运算法则可求得，代入子集计算公式，即可求得答案.【详解】由题意得：，所以的真子集个数为个，故选：C2．若在复平面内，复数所对应的点为，则的共轭复数为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】化简复数，进而可得的共轭复数．【详解】依题意，，则，则，故选：C．3．“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】D【分析】举特值并结合充分、必要条件的定义可得答案.【详解】当时，满足，但是，不满足；当时，，满足，但不满足，所以“”是“”的既不充分也不必要条件.故选：D【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；（2）是的充分不必要条件，则对应集合是对应集合的真子集；（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；（4）是的既不充分又不必要条件，对的集合与对应集合互不包含．.4．已知双曲线的方程为，则该双曲线的焦点坐标是（）A．和 B．和C．和 D．和【答案】B【分析】根据双曲线方程的性质，先求得的取值范围，即可判断出双曲线焦点位置，将双曲线方程化为标准方程，即可由双曲线中的关系求得焦点坐标.【详解】因为表示双曲线，所以，解得，所以，，所以双曲线的标准方程为，且，所以焦点坐标为和．故选:B.【点睛】本题考查双曲线性质的简单应用，焦点位置及焦点坐标的求法，属于基础题．5．下列函数中既是奇函数又在区间上单调递增的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据函数奇偶性的定义以及单调性的定义并结合导数逐项进行判断即可.【详解】对于A，为偶函数，不符合题意；对于B，为奇函数，且在区间上单调递增，符合题意；对于C，为奇函数，在上单调递减，在上单调递增，不符合题意；对于D，为奇函数，，当时，，函数在上单调递减，不符合题意．故选：B．6．已知－1，a，b，－4成等差数列，－1，c，d,e，－4成等比数列，则＝（）A． B．－ C． D．或－【答案】C【详解】试题分析：因为－1，a，b，－4成等差数列，所以公差为，所以；因为－1，c，d,e，－4成等比数列，所以，，所以．所以=．【解析】等差数列的性质；等比数列的性质．点评：在等比数列中，所有的奇数项一定同号，所有的偶数项也一定同号．7．长为丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面如图所示(阴影部分为镶嵌在墙体内的部分).已知弦尺寸，弓形高寸，估算该木材镶嵌在墙内的侧面积为（）（注：丈尺寸，，）A．平方寸 B．平方寸 C．平方寸 D．平方寸【答案】A【分析】计算出扇形的弧长，进而可计算得出该木材镶嵌在墙内的侧面积.【详解】连接、、，则，由已知寸，寸，设圆柱的底面圆的半径为寸，由勾股定理可得，解得寸，设，则，为锐角，则，故.所以，该木材镶嵌在墙内的侧面积为平方寸.故选：A.8．执行如图所示的程序框图，则输出T的值等于（）A． B．512 C． D．64【答案】D【分析】按照程序框图的执行步骤及判断条件运行程序，即可求解.【详解】第一次执行，不满足；第二次执行，不满足；第三次执行，满足，跳出循环，故输出故选：D9．若，则（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由于，根据诱导公式可得，再根据余弦的二倍角公式，即可求出结果.【详解】因为，所以.故选：C.【点睛】关键点点睛：通过过观察发现，然后再根据诱导公式和余弦的二倍角公式化简，这是本题解答的关键和突破点.10．已知圆的圆心到直线的距离为，若，且，则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题目考察圆的一般方程的圆心坐标，以及点到直线的距离公式，通过点到直线的距离公式可以求出参数的值，最后是基本不等式中“1”的代入的应用，已知分式为定值，可以求得整式的最小值【详解】由题意，知圆心坐标为(1，4)，圆心到直线的距离为，则，解得或因为，所以所以，且，则，当且仅当时取“="，即的最小值为．故选：D11．已知函数，则下列四个结论中：①的最小正周期为；②是图象的一条对称轴；③是的一个单调递增区间；④是的一个单调递减区间.所有正确结论的序号是（）A．①② B．①③ C．②④ D．③④【答案】B【分析】利用辅助角公式化简函数解析式，利用正弦型函数的周期公式可判断①的正误，利用代入检验法可判断②③④的正误.【详解】.对于①，函数的最小正周期为，①正确；对于②，因为，故②错误；对于③，当时，，故是的一个单调递增区间，③正确；对于④，当时，，所以，函数在区间上不单调，④错误.故选：B.12．已知实数a，b，c满足，，，则a，b，c的大小关系是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】分别求出，，的大致范围，即可比较，，的大小.【详解】由题意得，，故；，因，根据对勾函数得，因此；由勾股数可知，又因且，故；因此.故选：C.【点睛】指数式、对数式的大小比较，常利用函数的单调性或中间值进行比较，要根据具体式子的特点，选择恰当的函数，有时还需要借助幂函数比较.对于比较的式子，要先化简转化，再比较大小.二、填空题13．已知向量，且，则___________.【答案】20【分析】根据的坐标运算可得，再根据向量数量积公式，即可求出结果.【详解】因为，所以，即，所以，所以.故答案为：.14．设变量满足约束条件，则目标函数的最小值为_______________________．【答案】【分析】作出可行域，由可得，作将其沿可行域的方向平移即可求解.【详解】作出可行域如图所示：由可得，作将其沿可行域的方向平移可知过点时最小，也即最小，所以，故答案为：【点睛】方法点睛：线性规划求最值的常见类型：（1）线性目标函数求最值：转化为直线的截距问题，结合图形求解；（2）分式型目标函数最值：转化为平面区域内的点与定点连线的斜率问题，结合图形求解；（3）平方型目标函数求最值；转为两点间的距离问题，结合图形求解.15．为测量山高.选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得N点的仰角，C点的仰角以及，从C点测得.已知山高米.则所求山高为___________米.【答案】【分析】在中可求得，再在利用正弦定理可求出，即可求得山高.【详解】由题，在中，，，在中，，，则，由正弦定理可得，即，解得，又在中，，，所以所求山高为米.故答案为：.16．已知三棱锥中，，，，，为的外接圆的圆心，，则三棱锥的外接球的表面积为___________.【答案】【分析】由题意是中点，证明平面平面，作平面，垂足为，证得，取中点，则得就是三棱锥也是四棱锥的外接球的球心．由此易得外接球表面积．【详解】由题意是中点，则，因为，，所以，，又，平面，所以平面，而平面，所以平面平面，作平面，垂足为，平面，则平面，又平面平面，则，，因为，所以是矩形，取中点，连接，则，从而平面．就是三棱锥也是四棱锥的外接球的球心．球半径为，表面积为．故答案为：．【点睛】关键点点睛：本题考查求球的表面积，解题关键是确定外接球球心位置．三棱锥的外接球球心在过各面外心且与此面垂直的直线上．由此结论易寻找到外接球球心．三、解答题17．某市共有所高中，各校高一学生占全市高一学生总数的比例如下面柱状图教研部门采用分层抽样的方法从一中、四中、十七中这三所学校抽取人调研，又从这人中随机抽取名同学调查选课情况，其中选择物理学科的是、，地理学科是、、，化学学科是.（1）应从三所学校分别抽取多少人？（2）从这名同学中选出人进行测试，要求所选三人不能选择同一个学科，用所给字母列出所有可能的结果；在此条件下，设为事件“选出人中没有选择化学学科的同学”，求事件发生的概率.【答案】（1）应从一中、四中、十七中三所学校学生中分别抽取人、人、人；（2）所有可能结果见解析，.【分析】（1）利用分层抽样的方法可计算得出从一中、四中、十七中三所学校所抽取的学生人数；（2）列举出所有的基本事件，并确定事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】（1）由已知，一中、四中、十七中三所学校学生人数之比为，由于采取分层抽样的方法从中抽取人，因此应从一中、四中、十七中三所学校学生中分别抽取人、人、人；（2）依题意，从名同学选出名的所有可能的结果为：、、、、、、、、、、、、、、、、、、，共种.选出人中没有选择化学学科的同学的所有可能结果为：、、、、、、、、，共种，所以，事件发生的概率.18．已知正项数列的前项和为，且满足（1）求的通项公式：（2）设，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）令可求得的值，令，由可得，两式作差推导出数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得数列的通项公式；（2）求得，利用裂项相消法可求得.【详解】（1）由已知条件可知，对任意的，.当时，，解得；当时，由可得，上述两式作差得，即，即，由已知条件可知，，所以，数列是等差数列，且首项为，公差也为，因此，；（2）由（1）可知，则，因此，.【点睛】结论点睛：常见的裂项公式：（1）；（2）；（3）；（4）.19．如图，在三棱锥中，，，，，D为线段的中点，E为线段上一点.（1）求证：平面平面；（2）当平面时，求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）要证明面面垂直，需证明线面垂直，根据垂直关系，转化为证明平面；（2）利用等体积，，转化求三棱锥的体积.【详解】证明：（1）∵，，，∴平面，又∵平面，∴，∵，D为线段的中点∴又∵∴平面∵平面，∴平面平面（2）∵平面，平面平面，∴∵D为中点，∴E为中点，∴.∴三棱锥的体积为.20．已知函数，(e为自然对数的底数)，.（1）若，求函数的单调区间；（2）若恒成立，求实数m的值.【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为；（2）.【分析】（1）当时，，求导，令，得，分别讨论和时，的正负，即可得的单调区间；（2）恒成立等价于恒成立，设，当时，经检验是上的增函数，且，不符合题意，当时，利用导数求得的单调性和极小值，只需求即可，令，利用导数判断的单调性，求得极值，综合分析，即可得答案.【详解】解：（1）当时，，则.令，得，当时，；当时，.所以的单调递减区间为，单调递增区间为.（2）恒成立恒成立恒成立，设，则，当时，恒成立，所以是上的增函数，注意到，所以时，，不合题意；当时，令，解得，若，则，若，则，所以是上的减函数，是上的增函数，故只需即可，令，则，当时，，当时，，所以是上的减函数，是上的增函数，故，当且仅当时等号成立.所以，即恒成立，所以恒成立，所以时，满足题意.【点睛】解题的关键是熟练掌握利用导数求函数单调区间，极（最）值的方法，并灵活应用，难点在于，需合理构造新函数，并根据新函数的极值，进行推理和求解，属中档题.21．已知椭圆的离心率为，右焦点为F，上顶点为D，且三角形的面积为6，过点的直线交椭圆与A，B两点，点（1）证明：直线和直线关于y轴对称；（2）求三角形面积的最大值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）设椭圆的半焦距为，根据椭圆的离心率，和三角形的面积，以及，由此可求出椭圆的方程，设直线的方程为显然，不存在时直线和与轴重合，满足题意).联立直线与椭圆的方程得到韦达定理，求出直线的斜率，和直线的斜率为的和根据韦达定理可得，进而证明出结论；（2）由已知可得，三角形的面积等于，利用韦达定理和和基本不等式的性质，可求出三角形的面积的最大值.【详解】解：（1）设椭圆的半焦距为，则由已知有，.又由，a，b，解得，，所以椭圆的方程为.设点的坐标为，点的坐标为，设直线的方程为（显然，不存在时直线和与轴重合，满足题意）.联立直线与椭圆的方程，消法y，整理得，由此可得，①直线的斜率为，，直线的斜率为，因此有.又因为，同理，故，将①带入可得.所以，，故直线和直线关于轴对称.（2）由已知可得，三角形的面积等于.而.将（1）带入，整理得，记，，则，当且仅当即时，等号成立.因此的最大值为，故三角形的面积的最大值为.【点睛】关键点点睛：要证明直线和直线关于y轴对称，转化为求证直线的斜率，和直线的斜率为的和为0，是解决第一问的关键和突破点.22．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.在以原点为极轴，轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆的方程为.（1）写出直线的普通方程和圆的直角坐标方程；（2）若点坐标为，圆与直线交于两点,求的值.【答案】(1)直线的普通方程为：，圆的直角坐标方程为：(2)4.【详解】试题分析：(1)结合所给的方程可得：直线的普通方程为：，圆的直角坐标方程为：；(2)联立直线的参数方程与圆的直角坐标方程，结合直线参数方程中参数的几何意义可得：的值是4.试题解析：（1）消去参数t可得