2.5二次函数与一元二次方程课件北师大版数学九年级下册

2.5二次函数与一元二次方程（第一课时）——二次函数与根的判别式的关系

我们已经知道，竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可以近似地用公式h

=-5t2+v0t+h0表示，其中h0(m)是抛出时的高度，v0(m/s)是抛出时的速度．一个小球从地面被以40m/s的速度竖直向上抛起，小球距离地面的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如图所示.(1)h与t的关系式是什么？(2)小球经过多少秒落地？

你有几种求解方法？活动一分析：(1)方法一：把实际问题转化成数学问题，可知v0=40，h0=0.因此，可直接写出关系式h

=-5t2+40t

(0≤t≤8).方法二：观察图象可知，抛物线经过点（0,0）和（8,0）,代入公式h

=-5t2+v0t+h0

，求出v0=40，h0=0即可.分析：把实际问题转化成数学问题，小球落地就是小球高度h=0，可用两种方法求小球落地的时间.方法一：从“形”的角度看.观察图象可知，当h=0时，t1=0(舍去),t2=8.因此，小球经过8秒后落地.方法二：从“数”的角度看.当h=0时，可得方程-5t2+40t

=0，解得t1=0(舍去),t2=8.把实际问题转化成数学问题，数形结合，是解决本题的关键.(1)h与t的关系式是什么？(2)小球经过多少秒落地？你有几种求解方法？二次函数y=x2+2x

,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象如图所示，(1)探索发现，填写下表：活动二二次函数的图象抛物线与x轴的交点一元二次方程根的判别式Δ一元二次方程的根抛物线y=x2+2x与x轴有()个交点，分别是()、()

x2+2x=0

Δ0方程x2+2x=0有

()的实数根.x1=,x2=抛物线y=x2-2x+1与x轴有()个交点(

)

x2-2x+1=0

Δ0方程x2-2x+1=0有()的实数根.x1=x2=抛物线y=x2-2x+2与x轴()交点

x2-2x+2=0

Δ0方程x2-2x+2=0()实数根.两-2,00,0一1,0＞两个不相等-20=两个相等1没有＜没有(2)思考：二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点个数与一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式及根有什么关系？抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点有三种情况：一元二次方程ax2+bx+c=0的根有三种情况：有两个交点有一个交点没有交点有两个不相等的实数根有两个相等的实数根没有实数根Δ＞0Δ=0Δ＜0从“形”的角度看从“数”的角度看二次函数的图象抛物线与x轴的交点一元二次方程根的判别式Δ一元二次方程的根抛物线y=x2+2x与x轴有(两)个交点，分别是(-2,0)、(0,0)

x2+2x=0

Δ

＞0方程x2+2x=0有

(两个不相等)的实数根.x1=-2,x2=0抛物线y=x2-2x+1与x轴有(一

)个交点(

1,0

)

x2-2x+1=0

Δ

=

0方程x2-2x+1=0有(两个相等)的实数根.x1=x2=1

抛物线y=x2-2x+2与x轴(没有

)交点

x2-2x+2=0

Δ

＜0方程x2-2x+2=0(

没有

)实数根.(3)思考：二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系？二次函数的图象抛物线与x轴的交点一元二次方程根的判别式Δ一元二次方程的根抛物线y=x2+2x与x轴有(两)个交点，分别是(-2,0)、(0,0)

x2+2x=0

Δ

＞0方程x2+2x=0有

(两个不相等)的实数根.x1=-2,x2=0抛物线y=x2-2x+1与x轴有(一

)个交点(

1,0

)

x2-2x+1=0

Δ

=

0方程x2-2x+1=0有(两个相等)的实数根.x1=x2=1

抛物线y=x2-2x+2与x轴(没有

)交点

x2-2x+2=0

Δ

＜0方程x2-2x+2=0(

没有

)实数根.

二次函数y=ax2+bx+c的图象(抛物线)与x轴(直线y=0)交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根．

一元二次方程ax2+bx+c=0的根就是抛物线y=ax2+bx+c与x轴(直线y=0)交点的横坐标.1.抛物线y=x2-x+2与x轴的交点情况是（）A.两个交点

B.一个交点

C.没有交点

D.不能确定3.抛物线y=2023x2+bx-c与x轴的两个交点分别为（12.6，0），（-9.8，0），不解方程2023x2+bx-c=0，直接写出它的解为x1=

，x2=

.2.若方程ax2+bx+c=0的根为x1=-1和x2=3，则二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点坐标是.

C（-1,0）（3,0）12.6-9.8针对训练：在本节一开始的小球上抛问题中，何时小球离地面的高度是60m？你是如何知道的？h

=-5t2+40t(0≤t≤8)分析：把实际问题转化成数学问题，小球离地面的高度是60m，就是h=60m.法一：从“数”的角度看.当h=60时，-5t2+40t=60，解得t1=2,t2=6因此，2s和6s时小球离地面的高度是60m.法二：从“形”的角度看.当h=60时，过点(0，60)作纵轴的垂线，如图，抛物线h

=-5t2+40t与直线h=60有两个交点，交点的横坐标2和6就是小球离地面高度是60m时的时间.h

=60抛物线h

=-5t2+40t与直线h=60两个交点的横坐标就是方程-5t2+40t=60的两个不相等的实数根.反之，亦成立活动三

二次函数y=ax2+bx+c的图象(抛物线)与直线y=m(m是实数)交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=m的根．

一元二次方程ax2+bx+c=m(m是实数)的根就是抛物线y=ax2+bx+c与直线y=m交点的横坐标.一个足球被从地面向上踢出，它距地面的高度h（m）可以用公式h=-4.9t2＋19.6t来表示．其中t（s）表示足球被踢出后经过的时间．（1）画出函数h=-4.9t2＋19.6t的图象；（2）当t=1，t=2时，足球距地面的高度分别是多少？（3）方程-4.9t2＋19.6t=0,-4.9t2＋19.6t=14.7的根的实际意义是什么？你能在图上表示吗?针对训练：t01234h014.719.614.70当t=1时，h=14.7；当t=2时，h=19.6∴当

t=1，t=2时，足球距地面的高度分别是14.7m，19.6m.

解:

当足球落地时，h=0，得-4.9t2＋19.6t=0解得t1=0，t2=4∴自变量t的取值范围是0≤t≤4h=-4.9t2＋19.6t=-4.9(t-2)2+19.6列表描点、连线，如图：h=-4.9t2+19.6t(0≤t≤4)19.614.7（1）画出函数h=-4.9t2＋19.6t的图象；（2）当t=1，t=2时，足球距地面的高度分别是多少？

方程-4.9t2＋19.6t=0的根就是抛物线h=-4.9t2＋19.6t与x轴交点的横坐标，表示足球离开地面及落地的时间，如图.h=-4.9t2+19.6t(0≤t≤4)19.614.7h=14.7（3）方程-4.9t2＋19.6t=0,-4.9t2＋19.6t=14.7的根的实际意义是什么？你能在图上表示吗?方程-4.9t2＋19.6t=14.7的根就是抛物线h=-4.9t2＋19.6t与直线h=14.7交点的横坐标，表示足球高度是14.7m时的时间，如图.课堂总结：

通过今天的学习，你有哪些收获呢？二次函数与一元二次方程二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点的个数与一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的个数是一致的.当Δ＞0时，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴有两个不同的交点，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根.反之亦成立.当Δ=0时，抛物线

y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴有一个交点，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根.反之亦成立.当Δ＜0时，抛物线

y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴没有交点，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根.反之亦成立.二次函数y=ax2+bx+c的图象(抛物线)与直线y=m(m是实数)交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=m的根．一元二次方程ax2+bx+c=m(m是实数)的根就是抛物线y=ax2+bx+c与直线y=m交点的横坐标.二次函数y=ax2+bx+c的图象(抛物线)与x轴(直线y=0)交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.一元二次方程ax2+bx+c=0的根就是抛物线y=ax2+bx+c与x轴(直线y=0)交点的横坐标.注意事项：1.遇到实际问题，要注意实际问题和数学问题之间的相互转化.2.画与实际问题相关联的二次函数图象时，一要注意自变量的取值范围，二要注意同一数轴上的单位长度一定要统一.3.注意数学思想方法如数形结合思想、转化思想、分类讨论思想以及由特殊到一般得到数学结论的方法的使用.布置作业：基础达标作业1.二次函数y=x2-2x+m的图象与x轴只有一个交点，则m的值为

．2.求抛物线

y=-x2-x+6与x轴的交点坐标．能力提升作业1.一元二次方程2x2-x-2=0的根可以看做是下列哪两个函数图象交点的横坐标（

）A.y=2x2和y=x+2

B.y=2x2和y=-x-2C.y=-2x