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文档简介
解题帮快速破解规范解答大题规范1函数与导数
函数与导数解答题，难度较大，从其在2023年新高考卷Ⅰ中的位置来看，
难度有所下降，说明难度定位更灵活.从近几年的命题情况来看，常涉及的背景函数有：指数函数、对数函数、分式函
数、三次函数、三角函数.涉及的命题点有：求切线方程，判断单调性，求单调区
间、极值、最值、参数范围，零点问题，证明不等式问题，不等式恒成立问题等.常
涉及的数学思想有：函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想、转化与化归
思想等.解题时，无论是单调性、极值、最值问题还是不等式问题，一般需要先求出函数的
导数，然后通过导数研究函数的单调性来求解，因此掌握导数与函数的单调性的关
系尤为重要.求解过程中，注意内容书写的规范性和完整性.
(2)思路一
思路二
(1)因为
f
(
x
)＝
a
(e
x
＋
a
)－
x
，所以f'(
x
)＝
a
e
x
－1，
(1分)
正确求导是关键.当
a
≤0时，f'(
x
)＜0，所以函数
f
(
x
)在(－∞，＋∞)上单调递减；
(2分)
注意单调区间的范围.当
a
＞0时，令f'(
x
)＜0，得
x
＜－lna
，令f'(
x
)＞0，得
x
＞－lna
，所以函数
f
(
x
)在(－∞，－lna
)上单调递减，在(－lna
，＋∞)上单调递增.
(4分)
有一处不等式解错，但单调性判断对，这一步只给1分.综上可得：当
a
≤0时，函数
f
(
x
)在(－∞，＋∞)上单调递减；当
a
＞0时，函数
f
(
x
)在(－∞，－lna
)上单调递减，在(－lna
，＋∞)上单调递增.
(5分)
下结论不可少，否则，就会失去结论分.(2)解法一(最值法)由(1)得，当
a
＞0时，函数
f
(
x
)＝
a
(e
x
＋
a
)－
x
的最小值为
f
(－lna
)＝
a
(e－lna
＋
a
)＋lna
＝1＋
a
2＋lna
，
(6分)
第(1)问中没有别的条件，其结论可以在第(2)问中合理使用.
解法二(分析法)当
a
＞0时，由(1)得，
f
(
x
)min＝
f
(－lna
)＝1＋
a
2＋lna
，
(6分)
第(1)问没有别的条件，其结论可以在第(2)问中合理利用.
构造函数
u
(
a
)＝lna
－(
a
－1)(
a
＞0)，
所以函数
u
(
a
)在(1，＋∞)上单调递减，在(0，1)上单调递增，所以
u
(
a
)≤
u
(1)＝0，即lna
≤
a
－1，
(9分)
根据函数
u
(
a
)的单调性，可得出
u
(
a
)的最大值.
函数与导数问题的答题策略1.定义域优先.在利用导数讨论函数的单调性时，要先确定函数的定义域，求单调区
间必须在定义域内进行.2.正确运用公式与法则.熟练利用基本初等函数的求导公式与法则，正确求导是解题
的关键.注意对复合函数求导法则的运用.3.分类讨论做到不重不漏.分类讨论是难点，需明晰分类的标准，要做到合理分类，
不重不漏.4.会构造函数.正确构造函数，利用导数判断新构造函数的单调性，利用函数的性质
求解.5.会转化.会把不等式问题转化为函数的最值问题，会分离参数或用分析法转化，简
化后求解.
[12分]已知函数
f
(
x
)＝
x
2－
a
(lnx
－
a
).
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