3.3 幂函数（解析版）

.3幂函数知识点一幂函数的判断【【解题思路】幂函数的判断及应用1.判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，需满足：①指数为常数②底数为自变量，③xα的系数为12.若一个函数为幂函数，则该函数也必具有y＝xα(α为常数)这一形式．【例1】（24-25高一上·上海·随堂练习）下列函数是幂函数的是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】根据幂函数的定义，A、B、C均不是幂函数，只有D选项，形如（为常数），是幂函数，所以D正确故选：D.【变式】1．（23-24高一上·新疆·阶段练习）下列函数中幂函数的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】A：函数为一次函数，故A不符合题意；B：函数为二次函数，故B不符合题意；C：函数为二次函数，故C不符合题意；D：函数为幂函数，故D符合题意.故选：D2．（22-23高一上·陕西咸阳·期中）现有下列函数：①；②；③；④；⑤，其中幂函数的个数为（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【解析】由于幂函数的一般表达式为：；逐一对比可知题述中的幂函数有①；⑤共两个.故选：C.3．（2024陕西咸阳·期末）现有下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中幂函数的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】幂函数满足形式，故，满足条件，共2个故选：B4．（2024湖北）给出下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥，其中是幂函数的有（

）A．1个 B．2个C．3个 D．4个【答案】B【解析】由幂函数的定义：形如（为常数）的函数为幂函数，则可知①和④是幂函数.故选；B.知识点二幂函数的单调性与奇偶性【【解题思路】1.幂函数单调性的判断2.幂函数的奇偶性【例2-1】（23-24高一上·江苏南京·期中）函数的增区间是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由不等式，即，解得或，当时，函数单调递减；当时，函数单调递增，根据复数函数的单调性，可得函数的增区间为.故选：A.【例2-2】（23-24辽宁本溪·期末）已知幂函数在第一象限内单调递减，则（

）A． B． C．2 D．4【答案】D【解析】由幂函数的定义可知，解得，由幂函数在第一象限内单调递减，可得，则，所以.故选：.【例2-3】（23-24山东德州·期末）“或”是“幂函数在上是减函数”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为为幂函数，且在上是减函数，所以，解得，因为当或时，不一定等于，而当时，或成立，所以“或”是“幂函数在上是减函数”的必要不充分条件.故选：B【例2-4】（23-24浙江·期中）幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数，则的值是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】因为幂函数，在区间上是减函数，所以，解得：，因为，得，当时，函数是奇函数，不关于轴对称，故舍去，当时，函数是偶函数，关于轴对称，故舍去，当时，函数是奇函数，不关于轴对称，故舍去，所以.故选：A【变式】1．（23-24高一上·湖南常德·期中）函数的单调递减区间为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，得，即，解得，所以的定义域为，令，在上递增，在上递减，又，在上递减，所以在上递减，所以函数的单调递减区间为，故选：C2．（23-24高一下·湖南长沙·阶段练习）已知幂函数是偶函数，且在上是减函数，则（

）A． B． C．0 D．3【答案】B【解析】因为是幂函数，所以，解得或，又在上是减函数，则，即，所以，此时，易知其为偶函数，符合题意.故选：B.3．（23-24高一下·湖北·阶段练习）已知幂函数是偶函数，且在上是增函数，则（

）A． B． C．0 D．3【答案】B【解析】因为函数是偶函数且在上是增函数，所以函数在上单调递减，所以，即，解得，又因为，所以或或，当或时，，此时为奇函数，不满足题意；当时，，此时为偶函数，满足题意；所以.故选：B4．（23-24高一上·贵州六盘水·期末）（多选）已知函数（为常数），则下列说法正确的是（

）A．函数的图象恒过定点 B．当时，函数是减函数C．当时，函数是奇函数 D．当时，函数的值域为【答案】AC【解析】，A正确；当时，分别在上单调递减，在定义域上不单调，B错误；当时，的定义域为R，且，所以函数是奇函数，C正确；当时，的值域为，D错误.故选：AC知识点三比较幂值的大小【【解题思路】比较幂值大小的方法(1)若两个幂值的指数相同或可化为两个指数相同的幂值时，则可构造函数，利用幂函数的单调性比较大小．(2)若底数、指数均不同，则考虑用中间值法比较大小，这里的中间值可以是“0”或“1”．【例3-1】（2023高一·江苏·专题练习）若，则实数a的取值范围为（）A． B．C． D．【答案】A【解析】①若且时，不等式成立，此时②若，此时不等式组的解为；③若，不等式组无解，综上，实数a的取值范围是.故选：A.【例3-2】（23-24高一上·陕西西安·期中）已知函数，若，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】令，因为的定义域为关于原点对称，且，所以是上的奇函数，注意到幂函数都是上的增函数，所以是上的增函数，而，所以，解得，综上所述，的取值范围是.故选：A.【例3-3】（22-23高一·全国·课堂例题）比较下列各组中两个数的大小：(1)，；(2)，；(3)，．【答案】(1)(2)(3)【解析】（1），可看作幂函数的两个函数值．该函数在上递增，由于底数，所以．（2），可看作幂函数的两个函数值．该函数在上递增，由于底数，所以．（3），可看作幂函数的两个函数值．该函数在上递减，由于底数，所以．【变式】1．（23-24高一上·重庆·期中）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由单调递增，则可知，由单调递增，又，可得所以．故选：C．2．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）若，，，则a、b、c的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，，，又在第一象限内是增函数，，所以，即.故选：D.3．（23-24高一上·云南昆明·期中）已知幂函数且，则下列选项中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因为，所以在上单调递增，又因为，所以，所以.故选：C.4．（22-23高一上·全国·期中）若，则实数的取值范围为.【答案】【解析】由在上单调递增，故，解得.故答案为：5．（23-24高一上·重庆永川·期中）已知幂函数在上是减函数，.若，则实数的取值范围为【答案】【解析】由函数为幂函数得，解得或，又函数在上是减函数，则，即，所以，所以；所以不等式为，设函数，则函数的定义域为，且函数在上单调递减，所以，解得，所以实数的取值范围是.故答案为：.知识点四幂函数的综合运用【【解题思路】1.幂函数图象的画法①确定幂函数在第一象限内的图象：先根据α的取值，确定幂函数y＝xα在第一象限内的图象．②确定幂函数在其他象限内的图象：根据幂函数的定义域及奇偶性确定幂函数f(x)在其他象限内的图象．2.解决与幂函数有关的综合性问题的方法首先要考虑幂函数的概念，对于幂函数y＝xα(α是常数)，由于α的取值不同，所以相应幂函数的单调性和奇偶性也不同．同时，注意分类讨论思想的应用．【例4-1】（23-24高一上·广西钦州·期中）已知是幂函数.(1)求、的值；(2)若，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】（1）因为是幂函数，所以，解得；（2）由（1）可知，定义域为，且，所以是上的单调递增函数，又因为，所以，解得，所以的取值范围是.【例4-2】（23-24高一上·福建厦门·阶段练习）已知幂函数.(1)求的值；(2)若为偶函数，求的解析式；(3)在（2）的条件下，若在上不是单调函数，求实数的取值范围.【答案】(1)2或3(2)(3)【解析】（1）因为函数为幂函数，所以，解得或3.当时，，符合题意，当时，，符合题意，所以或3；（2）由（1）知，当时，，则，为奇函数；当时，，则，为偶函数，所以的解析式为；（3）由（2）知，，则，对称轴为，又函数在上不是单调函数，所以，解得，即实数a的取值范围为.【变式】1．（2024湖南·阶段练习）已知函数．(1)求的解析式；(2)若对任意，，不等式恒成立，求的取值范围．【答案】(1)(2)【解析】（1）解：令，则，则，故．（2）解：由（1）可得．因为函数和函数均在上单调递增，所以在上单调递增．故．对任意，，不等式恒成立，即对任意，不等式恒成立，则解得或．故的取值范围是．2．（2024陕西）已知幂函数，且在区间内函数图象是上升的．（1）求实数k的值；（2）若存在实数a，b使得函数f（x）在区间[a，b]上的值域为[a，b]，求实数a，b的值．【答案】（1）2；（2）a＝0，b＝1．【解析】（1）为幂函数，∴，解得或，又在区间内的函数图象是上升的，，∴k＝2；（2）∵存在实数a，b使得函数在区间上的值域为，且，∴，即，，∴a＝0，b＝1．3．（2023山东）已知幂函数在上单调递增.（1）求的值；（2）当时，记的值域为集合，若集合，且，求实数的取值范围.【答案】（1）0；（2）【解析】（1）∵为幂函数，∴，∴或2.当时，在上单调递增，满足题意.当时，在上单调递减，不满足题意，舍去.∴.（2）由（1）知，.∵在上单调递增，∴.∵，，∴，∴解得.故实数的取值范围为.4．（23-24高一下·上海·期中）已知幂函数为奇函数，且在区间上是严格减函数.(1)求函数的表达式；(2)对任意实数，不等式恒成立，求实数t的取值范围.【答案】(1)(2)．【解析】（1）依题意为奇函数，在区间上是严格减函数，可得，解得，由于,故，1，2，当和时，，此时为奇函数，符合要求，当时，，此时为偶函数，不符合要求，；（2）不等式，即，又在上是减函数，在上为增函数，则在上为减函数，所以，则，所以实数的取值范围为．单选题1．（22-23湖北省直辖县级单位·阶段练习）函数的单调递减区间为（）A． B．C． D．【答案】A【解析】，解得即函数的定义域为，因为函数在定义域内是单调递增函数，要求函数的单调递减区间，即求函数在上的单调减区间由于其开口向下，且对称轴为，故减区间为故选：A.2．（2024山西吕梁·阶段练习）已知幂函数的图象经过点，下面给出的四个结论：①；②为奇函数；③在R上单调递增；④，其中所有正确命题的序号为（

）A．①④ B．②③ C．②④ D．①②③【答案】B【解析】对于①：由幂函数的定义可知，解得，将点代入函数得，解得，所以，故①错误；对于②：因为定义域为R，且，所以为奇函数，故②正确；对于③：由幂函数的图象可知，在R上单调递增，故③正确；对于④：因为，且在R上单调递增，所以，故④错误，综上可知，②③正确，①④错误.故选：B.3．（22-23高一上·重庆万州·阶段练习）若，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】幂函数在上单调递增，值域为，由，则，又，所以.故选：D4．（23-24高一上·新疆·阶段练习）下列命题中正确的是（

）①幂函数的图象都经过点和点；②幂函数的图象不可能在第四象限；③当时，函数的图象是一条直线；④幂函数当是增函数；⑤当时，且当时，幂函数值随值的增大而减少.A．①④ B．④⑤ C．②③ D．②⑤【答案】D【解析】对于①，当时，幂函数的图象不过原点，①错；对于②，因为幂函数在第一象限有图象，若幂函数在第四象限有图象，则存在，使得有两个值与之对应，与函数的定义矛盾，故幂函数在第四象限没有图象，②对；对于③，当时，对于函数，则，且当时，，即幂函数的图象为两条射线，③错；对于④，当时，在上为减函数，在上为增函数，④错；对于⑤，当时，且当时，幂函数值随值的增大而减少，⑤对.故选：D.5．（22-23高三上·黑龙江·开学考试）下列关于幂函数的命题中正确的有（

）A．幂函数图象都通过点B．当幂指数时，幂函数的图象都经过第一、三象限C．当幂指数时，幂函数是增函数D．若，则函数图象不通过点【答案】B【解析】对于A，当时，幂函数图象不通过点，A错误；对于B，幂指数时，幂函数分别为，三者皆为奇函数，图象都经过第一、三象限，故B正确；对于C，当时，幂函数在上皆单调递减，C错误；对于D，若，则函数图象不通过点，通过点，D错误，故选：B6．（2024湖南）已知，且函数在上是增函数，则（

）A． B． C． D．3【答案】C【解析】因为函数在上是增函数，所以，解得，又，所以.故选：C7．（22-23高一上·湖北襄阳·期末）下列函数中，值域为的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由已知值域为，故A错误；时，等号成立，所以的值域是，B错误；因为定义域为，，函数值域为，故C正确；，，，所以，故D错误.故选：C.8．（2024深圳）若函数的值域为，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由题意：函数是一个复合函数，要使值域为，则函数的值域要包括，即最小值要小于等于．当时，显然不成立，所以，当时，则有，解得，所以的取值范围是.故选：B．多选题9．（23-24高一上·山东青岛·期中）下列关于幂函数的性质，描述不正确的有（

）A．当时，函数在其定义域上为减函数 B．当时，函数不是幂函数C．当时，函数是偶函数 D．当时，函数与x轴有且只有一个交点【答案】AB【解析】A：由，在上递减，但整个定义域上不单调，错；B：根据幂函数定义也是幂函数，错；C：由，显然且定义域为R，故为偶函数，对；D：由单调递增，仅当时，故与x轴有且只有一个交点，对.故选：AB10．（2024江苏苏州·阶段练习）下列函数f(x)中，满足对任意有的是（

）A． B． C． D．f(x)=|x-1|【答案】ABD【解析】对任意有，则函数在区间上为增函数，对于A，，由二次函数的图像与性质可知满足题意，故A可选；对于B，，根据幂函数的性质，函数在区间上为增函数，故B可选；对于C，，函数在区间上为减函数，故C不选；对于D，，显然函数在区间上为增函数，故D可选；故选：ABD11．（23-24高二下·浙江·期末）已知幂函数，其中，则下列说法正确的是（

）A． B．若时，C．若时，关于轴对称 D．恒过定点【答案】BC【解析】对于A，因为是幂函数，所以，故A是错误的；对于B，当时，，根据幂函数性质可知，此时是增函数，即，故B是正确的；对于C，当时，，满足，所以是偶函数，故C是正确的；对于D，根据幂函数性质可知恒过定点，故D是错误的；故选：BC.填空题12．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知，若幂函数的图像关于原点对称，且在上是严格减函数；则取值的集合是．【答案】【解析】因为，幂函数的图像关于原点对称，且在上单调递减，所以α是奇数，且，所以．故答案为：.13．（23-24高一上·上海·阶段练习）不等式的解集为.【答案】【解析】构造函数，该函数的定义域为，且，即函数为奇函数，因为函数在上为增函数，则该函数在上也为增函数，所以，函数为上的增函数，由可得，可得，解得，因此，不等式的解集为.故答案为：.14．（23-24高一上·福建莆田·期中）已知函数的图象恒过定点，若点在一次函数的图象上，其中，，则的最小值为.【答案】4【解析】函数的图象恒过定点，所以,因为，所以，当时，的最小值为4.故答案为：4解答题15．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）已知幂函数为偶函数，且在上单调递减．(1)求m和k的值；(2)求满足的实数a的取值范围．【答案】(1)，或；(2)【解析】（1）由函数为幂函数，则，解得或；由在上单调递减，得，解得，而，故或2，当时，，定义域为，且为偶函数，符合题意；当时，，定义域为，函数为奇函数，不符合题意；故，或；（2）结合（1）可知，即为，故或或，解得或或，故实数a的取值范围为.16．（23-24高一下·河北石家庄·开学考试）已知幂函数在上单调递减.(1)求函数的解析式；(2)若，求x的取值范围；(3)若对任意，都存在，使得成立，求实数t的取值范围.【答案】(1)(2)(3)【解析】（1）解：由幂函数在上单调递减，可得，解得，所以.（2）解：由函数图象关于y轴对称，且在上单调递增，则可化为，平方得，化简得，解得，所以x的取值范围是.（3）解：由（1）知，因为对，使得都成立，所以，其中，由（1）可得函数在上的最大值为4，所以，因为存在，使得成立，可得，又因为，所以是关于的单调递增函数，所以，即，解得或，所以实数t的取值范围为.17．（