第64讲　离散型随机变量的分布列、数字特征

第64讲离散型随机变量的分布列、数字特征【备选理由】例1,例2考查离散型随机变量的分布列及数学期望;例3,例4考查了概率统计的实际应用.例1[配例3使用][2023·河南信阳高级中学模拟]某芯片企业生产芯片Ⅰ有四道工序,前三道工序的生产互不影响,第四道是检测评估工序,包括智能自动检测与人工抽检.(1)该芯片企业生产芯片Ⅰ的前三道工序的次品率分别为P1=150,P2=149,P3=①求生产一件该芯片I的次品率PM.②在第四道工序中,智能自动检测为次品的芯片会被自动淘汰,合格的芯片进入流水线并由工人进行抽查检验.已知芯片Ⅰ智能自动检测显示该芯片的合格率为98%,求工人在流水线进行人工抽检时,抽检一个芯片,该芯片恰为合格品的概率.(2)该芯片企业改进了生产工艺并生产了芯片Ⅱ.某手机生产厂商获得芯片Ⅰ与芯片Ⅱ,并在某款新型手机上使用.现对使用这款手机的用户回访,对开机速度进行满意度调查,据统计,回访的100名用户中,手机安装芯片Ⅰ的有40人,其中对开机速度满意的占70%;手机安装芯片Ⅱ的有60人,其中对开机速度满意的占1415.现采用比例分配的分层随机抽样的方法从对手机开机速度满意的人群中抽取9人,再从这9人中选取4人进行座谈,记抽到对安装芯片Ⅱ的手机开机速度满意的人数为X,求X的分布列及其数学期望解:(1)①PM=1-(1-P1)(1-P2)(1-P3)=1-4950×4849×4748②设“芯片Ⅰ智能自动检测合格”为事件A,“人工抽检合格”为事件B,由已知得P(A)=98100=4950,P(AB)=1-PM=1-350则工人在流水线进行人工抽检时,抽检一个芯片,该芯片恰为合格品的概率为P(B|A)=P(AB)P(A)(2)由题意知,对安装芯片Ⅰ的手机开机速度满意的人数为40×70%=28,对安装芯片Ⅱ的手机开机速度满意的人数为60×1415=56,所以采用比例分配的分层随机抽样的方法的抽样比为1∶2,故所抽取的9人中,手机安装芯片Ⅰ的有3人,手机安装芯片Ⅱ的有6人,所以X的所有可能取值为则P(X=1)=C33C61C94=6126=121,PP(X=3)=C31C63C94=3×20126=1021,P所以X的分布列为X1234P15105所以E(X)=1×121+2×514+3×1021+4×5例2[配例3使用]在某次比赛中,某田径队拟派出甲、乙、丙三人参加男子100米比赛.比赛分为预赛、半决赛和决赛,只有预赛和半决赛都晋级才能进入决赛.已知甲在预赛和半决赛中晋级的概率均为34;乙在预赛和半决赛中晋级的概率分别为45和12;丙在预赛和半决赛中晋级的概率分别为p和32-p,其中12(1)试判断甲、乙、丙三人中谁进入决赛的可能性最大;(2)若甲、乙、丙三人都进入决赛的概率为18,求三人中进入决赛的人数X的分布列和期望解:(1)由题意知,甲在预赛和半决赛中均晋级的概率P1=34×34=乙在预赛和半决赛中均晋级的概率P2=45×12=丙在预赛和半决赛中均晋级的概率P3=p32因为12<p<56,所以P3∈12,916,当且仅当p=34所以当p∈12,34∪34,56时,P1>P3>P2,即甲进入决赛的可能性最大;当p=34时,P1(2)设甲、乙、丙三人都进入决赛的概率为P,则P=P1P2P3=916×25×p32-p=18,且12所以丙在预赛和半决赛中晋级的概率分别为23和5丙在预赛和半决赛中均晋级的概率P3=59由题意知,X的所有可能取值为0,1,2,3,则P(X=0)=1-916×1-2P(X=1)=916×1-25×1-59+1-916×25P(X=2)=916×25×1-59+916×1-25×5P(X=3)=916×25×59=18X0123P72692771所以E(X)=0×760+1×269720+2×277720+3×1例3[配例4使用]灯带是生活中常见的一种装饰材料,已知某款灯带的安全使用寿命为5年,灯带上照明的灯珠为易损配件,该灯珠的零售价为4元/只,但在购买灯带时可以以零售价五折的价格购买备用灯珠,该灯带销售老板为了给某顾客节省装饰及后期维护的支出,提供了150条这款灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量的数据,数据如图所示.以这150条灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量的频率代替1条灯带更换的灯珠数量发生的概率,若该顾客买1盒此款灯带,每盒有2条灯带,记X表示这1盒灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量,n表示该顾客购买1盒灯带的同时购买的备用灯珠数量.(1)求X的分布列.(2)若满足P(X≥n)≤0.6的n的最小值为n0,求n0;(3)在灯带安全使用寿命期内,以购买替换灯珠所需总费用的期望值为依据,比较n=n0-1与n=n0哪种方案更优.解:(1)由题图可知,P(X=5)=P(X=7)=P(X=8)=0.2,P(X=6)=0.4,则X的所有可能取值是10,11,12,13,14,15,16,P(X=10)=0.2×0.2=0.04,P(X=11)=2×0.2×0.4=0.16,P(X=12)=0.42+2×0.2×0.2=0.24,P(X=13)=2×(0.2×0.2+0.2×0.4)=0.24,P(X=14)=0.22+2×0.4×0.2=0.2,P(X=15)=2×0.2×0.2=0.08,P(X=16)=0.2×0.2=0.04,所以X的分布列为X10111213141516P0.040.160.240.240.20.080.04(2)由(1)可知P(X≥12)=0.8,P(X≥13)=0.56,故n0=13.(3)由(2)可知n=n0-1=12.在灯带安全使用寿命期内,当n=12时,设购买替换灯珠所需总费用为u元,当n=13时,设购买替换灯珠所需总费用为v元,则E(u)=4×0.5×12+0.24×4+0.2×8+0.08×12+0.04×16=28.16,E(v)=4×0.5×13+0.2×4+0.08×8+0.04×12=27.92.因为E(v)<E(u),故以购买替换灯珠所需总费用的期望值为依据,n=n0比n=n0-1的方案更优.例4[配例5使用][2023·云南曲靖质检]在今年的“世界读书日”来临之际,某书店为了了解市民的阅读情况,在某小区随机抽取了40名居民,将他们的年龄分成[10,20),[20,30),[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80]共七段,得到如图所示的频率分布直方图.(1)求这40名居民中年龄不低于70岁的人数.(2)①若从样本中年龄在40岁及以上的居民中任取4名赠送图书,求这4名居民中至少有1人年龄不低于70岁的概率.②该书店采用抽奖方式来提升购书意愿,将某特定书籍售价提高10元,且允许购买此特定书籍的居民抽奖3次,规定中奖1次、2次、3次分别奖现金x元、2x元、3x元,且居民每次中奖的概率均为15.若要使抽奖方案对该书店有利,则奖金x最高可定为多少元?(结果精确到个位数解:(1)由频率分布直方图得,40名居民中年龄不低于70岁的人数为40×(0.005×10)=2.(2)①由频率分布直方图知,40岁及以上的居民共有40×(0.015+0.010+0.005+0.005)×10=14(名),年龄不低于70岁的居民有2名,记事件A为“这4名居民中至少有1人年龄不低于70岁”,则P(A)=1-C124C144=1②设居民三次抽奖所获得的奖金总额为随机变量X,则X的所有可能取值为0,x,2x,3x.由题