2021年广西来宾市(初三学业水平考试)中考数学真题试卷含详解

2021年广西来宾市中考数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36分）

1.下列各数是有理数的是（）

A.万B.&C.%D.0

2.如图是一个几何体的主视图，则该几何体是（）

3.如图，小明从A入口进入博物馆参观，参观后可从5,C,。三个出口走出，他恰好从。出口走出的概率是（）

A入n

CfllIJ

4.我国天问一号火星探测器于2021年5月15日成功着陆火星表面.经测算，地球跟火星最远距离400000000千

米，其中400000000用科学记数法表示为（）

A.4x109B.40xl07C.4xl（）8D.0.4xlO9

5.如图是某市一天的气温随时间变化的情况，下列说法正确的是（）

A.这一天最低温度是-4℃B.这一天12时温度最高C.最高温比最低温高8℃D.0时至8时气温呈下降趋势

6,下列运算正确的是（）

Aa2=a5B.*+/=/c.(/)3=。5D.3a2-2a-cr

7.平面直角坐标系内与点P(3,4)关于原点对称的点的坐标是()

A.(-3,4)B.(—3,T)C.(3,-4)D.(4,3)

8.如图，0的半径08为4,0CLA3于点£）,N84C=30°,则。。的长是（）

A.近B.百C.2D.3

9.一次函数y=2x+l的图像不经过（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

10.《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人

步.问：人与车各几何？译文：若3人坐一辆车，则两辆车是空的；若2人坐一辆车，则9人需要步行.问：人与

车各多少？设有x辆车，人数为根据题意可列方程组为（）

y=3x-2[y=3（x-2）[y=3x—2[y=3（x—2）

A.vB.vC.vD.v

y=2x+9[y=2x+9[y=2x-9[y=2x—9

11.如图，矩形纸片ABCD,AD:AB=6：1，点、E,尸分别在AD,8c上，把纸片如图沿EE折叠，点A,

3的对应点分别为4,B',连接A4'并延长交线段CO于点G,则二的值为（）

AG

a,a>b

12.定义一种运算：4*人=《，，，则不等式（2x+l）*（2-x）>3的解集是（）

b,a<b

A.X>1或九<一B.-1<X<—C.X>1或xv—lD.X>—或X<—1

333

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

13.要使分式」一有意义，则x的取值范围是

x-2

14.分解因式：a2-4b2=_

15.如图，从楼顶A处看楼下荷塘C处的俯角为45°,看楼下荷塘。处的俯角为60°,已知楼高AB为30米，则

荷塘的宽8为米.（结果保留根号）

16.为了庆祝中国共产党成立100周年，某校举行“党在我心中”演讲比赛，评委将从演讲内容，演讲能力，演讲

效果三个方面给选手打分，各项成绩均按百分制计,然后再按演讲内容占50%,演讲能力占40%,演讲效果占10%,

计算选手的综合成绩（百分制）.小婷的三项成绩依次是84,95,90,她的综合成绩是.

17.如图，从一块边长为2,NA=120°的菱形铁片上剪出一个扇形，这个扇形在以A为圆心的圆上（阴影部分）,

且圆弧与8C,分别相切于点£,F,将剪下来的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面圆半径是.

18.如图，已知点43,0）,8（1,0）,两点C（—3,9）,。（2,4）在抛物线丫=/上，向左或向右平移抛物线后，C,

D对应点分别为C',以，当四边形A3C'。'的周长最小时，抛物线的解析式为

三、解答题(本大题共8小题，共66分)

3

19.计算：2x|-l+lU(l-3)

I2J

xX,

20.解分式方程：———+1.

x+13x+3

21.如图，四边形A3CD中，AB//CD.NB=N£),连接AC.

(1)求证：△ABCg4CZM；

(2)尺规作图：过点。作AB的垂线，垂足为E(不要求写作法，保留作图痕迹)；

(3)在(2)的条件下，已知四边形ABCD的面积为20,AB=5,求CE的长.

22.某水果公司以10元/kg的成本价新进20()()箱荔枝，每箱质量5kg,在出售荔枝前，需要去掉损坏的荔枝，现

随机抽取2()箱，去掉损坏荔枝后称得每箱的质量(单位：kg)如下：

4.74.84.64.54.84.94.84.74.84.7

4.84.94.74.84.54.74.74.94.75.0

整理数据：分析数据：

质量(kg)4.54.64.74.84.95.()平均数众数中位数

数量(箱)217a314.75bC

(1)直接写出上述表格中b,。的值；

(2

）平均数、众数、中位数都能反映这组数据的集中趋势，请根据以上样本数据分析的结果，任意选择其中一个统计

量，估算这20（）0箱荔枝共损坏了多少千克？

（3）根据（2）中结果，求该公司销售这批荔枝每千克定为多少元才不亏本？（结果保留一位小数）

23.【阅读理解】如图1,/J4,的面积与的面积相等吗？为什么？

解：相等，在..ABC和4DBC中，分别作AEA.l2,DFll2,垂足分别为E.F

.-.ZA£F=Z£)FC=90°,

..AE//DF

Q/,///2,

四边形AEED是平行四边形，

:.AE=DF

又ABC=QBC.AE,5ADfiC=—BC-DF,

-SaABC=S&DBC'

【类比探究】问题①，如图2,在正方形ABC。的右侧作等腰△COE,CE=DE,4)=4,连接AE,求一ADE

的面积.

解：过点E作EFJ_CD于点/，连接AF.

请将余下的求解步骤补充完整.

【拓展应用】问题②，如图3,在正方形ABGD的右侧作正方形CEFG,点3,C,E在同一直线上，AD=4,

连接BD,BF,DF,直接写出.BDF的面积.

24.2022年北京冬奥会即将召开，激起了人们对冰雪运动的极大热情.如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，

取某一位置的水平线为X轴，过跳台终点A作水平线的垂线为〉'轴，建立平面直角坐标系.图中的抛物线

17

J:y=--/+—X+1近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点。正上方4米处的A点滑出，滑出后

126

沿一段抛物线c2：y=—"/+版+，运动.

y/米

（1）当运动员运动到离A处的水平距离为4米时，离水平线的高度为8米，求抛物线的函数解析式（不要求写

出自变量X的取值范围）；

（2）在（1）的条件下，当运动员运动水平线的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米？

（3）当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过3米时，求。的取值范围.

25.如图①，在,.ABC中，于点。，BC=14,AO=8,8。=6点E是AO上一动点（不与点A,D

重合），在AOC内作矩形EPGH,点尸在。。上，点G,”在AC上，设DE=x,连接鸵.

（1）当矩形EFG”是正方形时，直接写出EE的长；

S

（2）设△ABE的面积为5,矩形EFG”的面积为邑，令丫=寸，求了关于x的函数解析式（不要求写出自变量

32

X的取值范围）；

（3）如图②，点产①力）是（2）中得到的函数图象上的任意一点，过点尸的直线/分别与x轴正半轴，》轴正半轴

交于N两点，求.。MN面积的最小值，并说明理由.

26.如图，已知A。，EF是二。的直径，AD=672,_。与厂。48c的边AB,0C分别交于点E,M,连

接CO并延长，与AE的延长线交于点G,ZAFE=ZOCD

⑴求证：CO是。切线；

⑵若G/=l,求cosNAE尸的值；

AR

(3)在（2）条件下，若NABC的平分线3〃交CO于点连接A”交一。于点N,求——的值.

NH

2021年广西来宾市中考数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36分）

1.下列各数是有理数的是（）

A.万B.&C.%D.0

【答案】D

【分析】利用有理数和无理数的定义判断即可.

【详解】解：四个选项的数中：万，、历，狗是无理数，0是有理数，

故选项D符合题意.

故选：D.

【点睛】此题考查了实数，熟练掌握有理数与无理数的定义是解本题的关键.

2.如图是一个几何体的主视图，则该几何体是（）

【答案】C

【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到图形.依题意，由几何体的主视图

即可判断该几何体的形状.

【详解】解：由该几何体的主视图可知，该几何体是选项c中的图形.

故选：C.

【点睛】本题考查了由三视图判断几何体，考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也考查了空间想象能

力.

3.如图，小明从A入口进入博物馆参观，参观后可从3,C,。三个出口走出，他恰好从。出口走出的概率是（）

A入「I

【答案】B

【分析】此题根据事件的三种可能性即可确定答案

【详解】当从A口进，出来时有三种可能性即：B,C,D；恰好从C口走出的可能性占总的」,故概率为！；

33

故答案选：B；

【点睛】此题考查事件的可能性，根据事件发生的所有可能确定概率即可.

4.我国天问一号火星探测器于2021年5月15日成功着陆火星表面.经测算，地球跟火星最远距离400000000千

米，其中400000000用科学记数法表示为（）

A.4xl09B.40xl07C.4xl08D.0.4xlO9

【答案】C

【分析】科学记数法的表示形式为“XlO”的形式，其中1W间＜10,〃为整数.确定"的值时，要看把原数变成“

时，小数点移动了多少位，”的绝对值与小数点移动的位数相同.

【详解】解：将400000000这个数用科学记数法表示为：4x10'

故选：C.

【点睛】此题考查了科学记数法，熟练掌握科学记数法的基本要求并正确确定“及〃的值是解题的关键.

5.如图是某市一天的气温随时间变化的情况，下列说法正确的是（）

A.这一天最低温度是-4℃B.这一天12时温度最高C.最高温比最低温高8℃D.0时至8时气温呈下降趋势

【答案】A

【分析】根据气温变化图逐项进行判断即可求解.

【详解】解：A.这一天最低温度是YP,原选项判断正确，符合题意；

B.这一天14时温度最高，原选项判断错误，不合题意；

C.这一天最高气温8℃,最低气温-4℃,最高温比最低温高12℃,原选项判断错误，不合题意；

D.0时至8时气温呈先下降在上升趋势，原选项判断错误，不合题意.

故选：A

【点睛】本题考查了根据函数图象读取信息，理解气温随时间变化而变化并从中读取信息是解题关键.

6.下列运算正确的是()

A.a1-a3=a5B.ab^cr=a3C.(a2)3-a5D.2>cT-2a=tz2

【答案】A

【分析】分别根据同底数塞的乘法、同底数事的除法、黑的乘方、整式的加减法则进行计算，即可求解.

【详解】解：A.。2.。3=。5,原选项计算正确，符合题意；

B./+/=/,原选项计算错误，不合题意；

C.(4丫=小原选项计算错误不合题意；

D.3a2-2a,不是同类项，无法相戒，原选项计算错误，不合题意.

故选：A

【点睛】本题考查了同底数累的乘法、同底数塞的除法、鬲的乘方、整式的加减等知识，熟知相关运算公式和法则

是解题关键.

7.平面直角坐标系内与点P(3,4)关于原点对称的点的坐标是()

A.(-3,4)B.(-3,-4)C.(3,-4)D.(4,3)

【答案】B

【分析】根据关于原点对称点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，可以直接得到答案.

【详解】解：6(3,4),

关于原点对称点的坐标是（-3,-4）,

故选B.

【点睛】此题主要考查了原点对称的点的坐标特点，关键是掌握坐标的变化规律：两个点关于原点对称时，它们的

坐标符号相反.

8.如图，。的半径为4,OCLA8于点O,N84C=30°,则0。的长是（）

A.V2B.6C,2D.3

【答案】C

【分析】根据圆周角定理求出NC0B的度数，再求出的度数，根据“30°的锐角所对的直角边等于斜边的

一半”求出0£>的长度.

【详解】；ZBAC=30°,

NCOB=60。,

•：ZODB=90°,

：.ZOBD=30°,

；OB=4,

11,

AOD=-OB=-x4=2.

22

故选：C.

【点睛】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，掌握相关定理和性质是解题的关键.

9.一次函数y=2x+l的图像不经过（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【分析】根据一次函数的系数判断出函数图象所经过的象限，由k=2>0,b=l>0可知，一次函数y=2x+l的图象过

一、二、三象限.另外此题还可以通过直接画函数图象来解答.

【详解】；k=2>0,b=l>0,

根据一次函数图象的性质即可判断该函数图象经过一、二、三象限，不经过第四象限.

故选D.

【点睛】本题考查一次函数图象与系数的关系，解决此类题目的关键是确定k、b的正负.

10.《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人

步.问：人与车各几何？译文：若3人坐一辆车，则两辆车是空的；若2人坐一辆车，则9人需要步行.问：人与

车各多少？设有x辆车,人数为y,根据题意可列方程组为（）

y=3x-2y=3(x-2)y=3x-2y=3(x-2)

A.<B.<C.<D.<

y=2x+9y=2x+9y=2x-9y=2x-9

【答案】B

【分析】设有X辆车，人数为y,根据“如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9

人需要步行”，即可得出关于x,y的二元一次方程组，此题得解.

【详解】解：设有x辆车，人数为y人，依题意得：

y=3(x-2)

y-2x+9

故选：B.

【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是

解题的关键.

11.如图，矩形纸片A8C£>,AD:AB=岳T，点E,F分别在A。，BC±,把纸片如图沿E/折叠，点A,

pp

B的对应点分别为A,B'、连接A4'并延长交线段CO于点G,则K的值为（）

AG

cD

23-I-T

【答案】A

【分析】根据折叠性质则可得出EF是AA'

的垂直平分线，则由直角三角形性质及矩形性质可得NAEgNAGDZFHE=ZD=90°,根据相似三角形判定推

出AEFHSAGAD,再利用矩形判定及性质证得"7=A8,即可求得结果.

【详解】解：如图，过点尸作于点a

A£A=E4\FB=FK、

・・・E/是/U1的垂直平分线.

AZAOE=90°.

•・•四边形ABC。是矩形，

：.ZBAD=ZB=ZD=90°.

・•・NOAE+ZAEO=ZOAE+ZAGD,

：.ZAEO=ZAGD.

VFW1AD,

・・・NFHE=ND=90°.

：.AEFH^/\GAD.

.EFFH

・・前一茄

VZAHF=ZBAD=ZB=90°,

・•・四边形A3F〃是矩形.

：.FH=AB.

.EFFHAB_1_72.

•・前一茄一罚一双一三'

故选：A.

【点睛】本题考查了矩形的折叠问题，掌握折叠的性质、矩形及相似三角形的判定与性质是解题的关键.

a.a>b

12.定义一种运算：7,则不等式(21+1)*(2-为>3的解集是()

b,a<h

।1

A.x>1或x<-B.-1<x<-C.X>1或％v-lD.—或xv-l

3

【答案】C

【分析】根据新定义运算规则，分别从2x+G2—X和2x+l<2—X两种情况列出关于X的不等式，求解后即可得

出结论.

【详解】解：由题意得，当2x+lN2—x时，

即xN，时，（2x+l）*（2-x）=2x+l,

3

贝U2x+1>3,

解得x>l,

此时原不等式的解集为x>l；

当2x+l<2-x时，

即x<2时，（2x+l）*（2_x）=2_x,

3

则2—x>3,

解得x<—1,

...此时原不等式的解集为x<—l；

综上所述，不等式（2x+D*（2—x）>3的解集是X>1或》<一1.

故选：C.

【点睛】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是根据新定义运算规则列出关于x的不等式.

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

13.要使分式」一有意义，则x的取值范围是.

x-2

【答案】#2

【分析】分式有意义，则分母片2和，由此易求x的取值范围.

【详解】解：当分母x-2#）,即/2时，分式一!—有意义.

x-2

故答案为：/2.

【点睛】本题考查了分式有意义的条件.从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义=分母为零；（2）

分式有意义0分母不为零；（3）分式值为零0分子为零且分母不为零.

14.分解因式：cr-4h2=.

【答案】（以+力）（以—2b）

【分析】利用平方差公式进行因式分解即可.

【详解】解：CT-4b2=a2-(2b^(a+2b)(a-2b).

故答案为（a+2b）（a—2b）.

【点睛】本题考查了因式分解.熟练掌握平方差公式是解题的关键.

15.如图，从楼顶A处看楼下荷塘。处的俯角为45°,看楼下荷塘。处的俯角为60。，已知楼高A3为30米，则

荷塘的宽为米.（结果保留根号）

【答案】30-10百

【分析】由三角函数分别求出BC、BD,即可得出CD的长.

【详解】解：由题意知：/84。=90。-45。=45。，AA8C是直角三角形，

Be

在RdABC中，tanNBAC=——,AB=30米，

AB

；.BC=AB・tan450=30米，

BD

VZBAD=90°-60°=30°.tanABAD=——，

AB

n

：.BD=/lB«tan30o=30x—=1073（米），

3

：.CD=BC-BD=3O-\O>j3（米）；

故答案为：30-10JJ.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，由三角函数求出BC和8。是解决问题的关键解题的关键.

16.为了庆祝中国共产党成立100周年，某校举行“党在我心中”演讲比赛，评委将从演讲内容，演讲能力，演讲

效果三个方面给选手打分，各项成绩均按百分制计,然后再按演讲内容占50%,演讲能力占40%,演讲效果占10%,

计算选手的综合成绩（百分制）.小婷的三项成绩依次是84,95,90,她的综合成绩是

【答案】89

【分析】根据加权平均数的定义列式计算可得.

【详解】解：选手甲的综合成绩为84x50%+95x40%+90xl0%=89（分），

故答案为：89分.

【点睛】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义.

17.如图，从一块边长为2,NA=120°的菱形铁片上剪出一个扇形，这个扇形在以A为圆心的圆上（阴影部分）,

且圆弧与8C,分别相切于点£,F,将剪下来的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面圆半径是.

【分析】先利用菱形的性质得到含30。角的直角三角形，再利用勾股定理求出A&最后利用弧长公式求出弧长，弧

长即为圆锥底面圆的周长，再利用周长公式即可求半径.

【详解】解：如图，连接AE,由切线性质可知：AELBC,即NAEB=90。；

V菱形铁片上NBAD=120。，

Z8=180°-120°=60°,

ZBAE=30°,

：,AB=2BE=2,

BE=1,

AB2=BE2+AE2.

AE=B

二扇形的弧长为：啜普=手兀,

273

所以圆锥底面圆半径为：二工二=在，

2兀-

故答案为：B.

3

【点睛】本题考查了菱形的性质、含30。角的直角三角形的性质、勾股定理、弧长公式等内容，解决本题的关键是

牢记相关性质与公式，本题需要学生理解扇形与圆锥的关系，蕴含了一定的空间想象思维，涉及到了数形结合等思

想方法.

18.如图，已知点A(3,0),B(l,0),两点C(—3,9),。(2,4)在抛物线,=/上，向左或向右平移抛物线后，C,

。的对应点分别为C,况，当四边形ABC'D的周长最小时，抛物线的解析式为.

【答案】(啕.

【分析】先通过平移和轴对称得到当B、E、。三点共线时，BC'+B£的值最小，再通过设直线BC'的解析式并

将三点坐标代入，当时，求出〃的值，最后将四边形周长与a=4时的周长进行比较，确定。的最终取值，即

可得到平移后的抛物线的解析式.

【详解】解：•.•A(3,0),8(1,0),C(-3,9),D(2,4),

=1=2,CD=^(-3-2)2+(9-4)2=572.

由平移的性质可知：C'D'=CD=5C,

四边形A5C'。'的周长为AB+8C'+C'O'+O'A=2+BC'+50+O'A；

要使其周长最小，则应使A的值最小；

设抛物线平移了a个单位，当a>0时，抛物线向右平移，当a<0时，抛物线向左平移；

AC'(-3+a,9),D'(2+a,4),

将。，向左平移2个单位得到O"(a,4),则由平移的性质可知：BD'=AD',

将。"(a,4)关于x轴的对称点记为点E,则七(a,-4),由轴对称性质可知，BD"=BE,

：.BC'+D'A=BC'+BE,

当B、E、。三点共线时，BC+BE的值最小，

设直线8C'的解析式为：＞="+。(女/0),

.f(-3+a)k+b=9

k+b=0

当aw4时,

9

k

a-4

・.♦VI

b=x

、4一。

99

y=----x-\------,

a-44一。

99

将七点坐标代入解析式可得：-4=——a+--,

a-44-a

25

解得：tz=—.

13

此时BC'+BE=C'E=J(-3+a-a-(9+4)2=^/^78,

此时四边形ABC'。'的周长为A6+6C'+C'Z)'+r>'A=2+50+JITi；

当a=4时,C'(l,9),D'(6,4),4(3,0),8(1,0),

此时四边形ABC'。'的周长为：

A8+8O+CD+ZTA=2+（9-0）+5夜+J（6-3。+（4-Op=16+5式；

V2+572+7178<16+572.

25

・・.当。=不时，其周长最小，

13

25

所以抛物线向右平移了一7个单位，

所以其解析式为：y=fx--1；

I13；

故答案为：>=[%—||J.

【点睛】本题综合考查了平移、轴对称、一次函数的应用、勾股定理、抛物线的解析式等内容，解决本题的关键是

理解并确定什么情况下该四边形的周长最短，本题所需综合性思维较强，对学生的综合分析和计算能力要求都较高,

本题蕴含了数形结合与分类讨论的思想方法等.

三、解答题（本大题共8小题，共66分）

1、

19.计算：23x——+14-(1-3).

2J

【答案】-2

【分析】先分别计算出有理数的乘方及括号内的有理数加减，再计算乘除，即可求得结果.

【详解】解：23x^-1+lj-(l-3)

=8xg+(—2)

=4+(—2)

【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数混合运算的运算顺序及相关运算法则是解答此题的关键.

XX

20.解分式方程：—^+1.

x+13x+3

【答案】x=-3

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到X的值，经检验即可得到分式方程的解.

XX

【详解】解：」=」一+1

x+13x+3

去分母,得3x=x+3(x+I),

解此方程，得x=—3,

经检验，x=—3是原分式方程的根.

【点睛】本题考查了解分式方程，解分式方程的关键是将分式方程转化为整式方程，不要忘记检验.

21.如图，四边形A3CD中，AB//CD,ZB=ZD,连接AC.

(1)求证：△ABC丝△CttA；

(2)尺规作图：过点C作AB的垂线，垂足为E(不要求写作法，保留作图痕迹)；

(3)在(2)的条件下，已知四边形ABC。的面积为2(),AB=5,求CE的长.

【答案】⑴证明见详解；⑵作图见详解；(3)CE=4.

【分析】(1)根据A8〃CO,得至ijNBAC=/OC4,结合NB=ZD,AC=CA,利用“44S”即可证明；

(2)如图，延长AB,任意取一点”，使，和点C在AB两侧，以C为圆心，C”为半径画弧，交AB于尸、G,分

别以尸、G为圆心，以大于g/G长为半径画弧，两弧交于/,作直线C/,交AB延长线于E,则CDLAB与E；

(3)证明四边形ABCQ为平行四边形，根据平行四边形面积公式即可求解.

【详解】解：⑴：AB//CD,

；.NBAC=NDCA,

又,：/B=ND,AC=CA,

△ABC也△CD4；

(2)如图，延长AB,任意取一点“，使”和点C在AB两侧，以C为圆心，C4为半径画弧，交AB于F、G,分

别以八G为圆心，以大于gFG长为半径画弧，两弧交于/,作直线C/,交AB延长线于E,则CDJ_AB与E；

2

(3)AABC^/\CDA,

：.AB=CD,

,?AB//CD,

四边形ABCD为平行四边形,

AB.CE=20,

即5C£=20,

：.CE=4.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，过直线外一点作已知直线的垂线等知识，综合

性较强，熟知相关知识点，并根据题意灵活应用是解题关键.

22.某水果公司以10元/kg的成本价新进200()箱荔枝，每箱质量5kg,在出售荔枝前，需要去掉损坏的荔枝，现

随机抽取2()箱，去掉损坏荔枝后称得每箱的质量(单位：kg)如下：

4.74.84.64.54.84.94.84.74.84.7

4.84.94.74.84.54.74.74.94.75.0

整理数据：分析数据：

质量(kg)4.54.64.74.84.95.0平均数众数中位数

数量(箱)217a314.75bC

(1)直接写出上述表格中“，b,c的值；

(2)平均数、众数、中位数都能反映这组数据的集中趋势，请根据以上样本数据分析的结果，任意选择其中一个

统计量，估算这2000箱荔枝共损坏了多少千克？

(3)根据(2)中的结果，求该公司销售这批荔枝每千克定为多少元才不亏本？(结果保留一位小数)

【答案】⑴a=6,b=4.7,c=4.75；(2)500kg；(3)10.5TE.

【分析】(1)用20减去各数据的频数即可求出a,根据众数、中位数的意义即可求出氏c；

(2)选用平均数进行估算，用每箱损坏数量乘以2000即可求解；

(3)用购买总费用除以没有损坏的总数量即可求出解.

【详解】解：(1)4=20-2-1-731=6；

在这20个数据中，4.7频数最大，所以众数匕=4.7；

将这20个数据排序，第10、11个数据分别为4.7、4.8,所以中位数。=4*＜7+士48=4.75；

2

(2)选用平均数进行估算，(5-4.75)X2000=500kg,

答：选用平均数进行估算，这2000箱荔枝共损坏了500千克；

(3)(10X2000X5)4-(4.75X2000)弋10.5元

答：该公司销售这批荔枝每千克定为10.5元才不亏本.

【点睛】本题考查用众数、中位数、用样本估计总体等知识，熟知相关概念并理解题意是解题关键.

23.【阅读理解】如图1,,A8C的面积与的面积相等吗？为什么？

解：相等，在,ABC和ADBC中,分别作AEll2,OF!!,,垂足分别为E.F.

.•.NA£F=NZ)R7=90。，

AE//DF.

QI川2,

四边形AEED是平行四边形，

:.AE^DF

又SvABC=3BC,AE,SADBC=aBC,DF，

••S/MBC=SADBC■

【类比探究】问题①，如图2,在正方形ABC。的右侧作等腰△CDE,CE=DE,4)=4,连接AE,求ADE

的面积.

解：过点E作瓦于点尸，连接.

请将余下的求解步骤补充完整.

【拓展应用】问题②，如图3,在正方形ABC。的右侧作正方形CEFG,点3,C,E在同一直线上，4)=4,

连接BD,BF,DF,直接写出.BDF的面积.

B

图3

【答案】①S^AOE=4；②SBDF=8.

【分析】①过点E作防_L8于点/，连接可得所//AD,根据材料可知sA"=SA”再由等腰三角

形性质可知。E=gc。，即可求出SAAOF；

②连接CE,证明3Z)〃C£,即可得sBDF=SBDC，由此即可求解.

【详解】解：①过点E作防_LCP于点尸，连接

•.•在正方形A8C。中，ZADC=90°,

EF//AD,

,•,uqADE-=°wADF，

,;CE=DE,EF±CD,

：.DF=-CD,

2

•.•在正方形ABC。中，AD=CD=4,

S"DE=^^ADF=/A。xDF=-X4X2=4；

②S曲=8,

过程如下：如解图3,连接CE,

•••在正方形ABC。、正方形CEFG中,

:./BDC=/FCE=45°,

CF//BD.

.q_q

,•0BDF_2BDC'

•.•在正方形ABC。中，AD=BC=CD=4,ZBCD=90°.

,•SBDF=SBDC一8.

【点睛】本题主要考查了正方形性质和平行线判定和性质以及三角形面积，解题关键是理解阅读材料，根据平行线

找到等底等高的三角形.

24.2022年北京冬奥会即将召开，激起了人们对冰雪运动的极大热情.如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，

取某一位置的水平线为X轴，过跳台终点A作水平线的垂线为＞轴，建立平面直角坐标系.图中的抛物线

1：丫=-1-炉+2%+1近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O正上方4米处的A点滑出，滑出后

（1）当运动员运动到离A处的水平距离为4米时，离水平线的高度为8米，求抛物线的函数解析式（不要求写

出自变量x的取值范围）；

（2）在（1）的条件下，当运动员运动水平线的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米？

（3）当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过3米时，求。的取值范围.

【答案】（1）y=--x2+|x+4；（2）12米；（3）b＞^.

【分析】（1）根据题意可知：点A（0,4）点B（4,8）,利用待定系数法代入抛物线C,：＞=—工/+法+。即可

-8

求解;

（2）高度差为I米可得G-G=1可得方程，由此即可求解；

⑶由抛物线C]：y=--5-x2+Z.x+l可知坡顶坐标为（7,如），此时即当x=7时，运动员运动到坡顶正上方,

12612

1

X,6

若与坡顶距离超过3米，即y-872+76+c>—+3,由此即可求出b的取值范围.

【详解】解：⑴根据题意可知：点A（0,4）,点B（4,8）代入抛物线C,：》=一2/+公+C得,

8

c=4

19

一X42+4/J+C=8

8

c=4

解得:13.

b=一

12

13

・•・抛物线G的函数解析式丁=一石/+2工+4;

82

（2）；运动员与小山坡的竖直距离为1米，

A（--x2+-x+4）-（---X2+-x+l）=l,

82126

解得：玉=-4（不合题意，舍去），々=12,

故当运动员运动水平线的水平距离为12米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米；

（3）:点A（0,4）,

，抛物线C2:y=--x2+bx+4,

28

:抛物线C]:y-...x2H—x+l=----（x-7）~H,

1-1261212

.♦•坡顶坐标（7,段），

•••当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过3米时，

/.y=-lx72+7/?+4>—+3,

-812

35

解得:b>—.

24

【点睛】本题属二次函数应用中的难题.解决函数应用问题的一般步骤为：（1）审题：弄清题意，分清条件和结论,

理清数量关系；（2）建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识建立相应的数学模型；（3）求模：求解数学模

型，得到数学结论；（4）还原：将用数学方法得到的结论还原为实际问题.

25.如图①，在,ABC中，于点。，BC=14,AD=8,BO=6点E是上一动点（不与点A,D

重合），在AOC内作矩形EPG”,点F在。。上，点G,”在AC上，设DE=x,连接

BE.

(1)当矩形EFG”是正方形时，直接写出所的长；

S

(2)设AHBE的面积为5,矩形£7%汨的面积为邑，令)=亍，求y关于x的函数解析式(不要求写出自变量

尤的取值范围)；

(3)如图②，点P(a,加是(2)中得到的函数图象上的任意一点，过点P的直线/分别与x轴正半轴，轴正半轴

交于"，N两点，求一面积的最小值，并说明理由.

【答案】(1)延;(2)y=-；⑶6

3%

【分析】(1)直接根据等腰直角三角形性质及正方形性质可以得出：EF=^AC,进一步计算即可；

I万

(2)先根据等腰直角三角形以及直角三角形得出S=-x(8-x)x6=3(8-x),S2=y/2x.-(8-x)=x(8-x),

22

代入y带化简即可；

h

(3)设/：丁=履+伙左＜0),则M(—±,0),N(0/)，当面积的