初中数学导学案圆

初中数学导学案圆

第一课时

教学内容

1.圆的有关概念.

2.垂径定理：平分弦的直径垂直于弦，？并且平分弦所

对的两条弧及其它们的应用.教学目标

了解圆的有关概念，理解垂径定理并灵活运用垂径定理

及圆的概念解决一些实际问题.

从感受圆在生活中大量存在到圆形及圆的形成过程，讲

授圆的有关概念.利用操作几何的方法，理解圆是轴对称图

形，过圆心的直线都是它的对称轴.通过复合图形的折叠方

法得出猜想垂径定理，并辅以逻辑证明加予理解.重难

点、关键

1.重点：垂径定理及其运用.

2.难点与关键：探索并证明垂径定理及利用垂径定理

解决一些实际问题.

在一个平面内，线段0A绕它固定的一个端点0旋转一

周，？另一个端点所形成的图形叫做圆.固定的端点。叫做

圆心，线段0A叫做半径.以点0为圆心的圆，记作“。

0”，读作“圆0”.

总结.

图上各点到定点的距离都等于定长；到定点的距离

等于定长的点都在同一个圆上.

因此，我们可以得到圆的新定义：圆心为0,半径为r

的圆可以看成是所有到定点0的距离等于定长r的点组成的

图形.同时，我们又把

①连接圆上任意两点的线段叫做弦，如图线段AC,AB；

②经过圆心的弦叫做直径，如图24-1线段AB；

③圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，“以A、C

为端点的弧记作？，读作“圆弧?AC”AC”或

?叫做劣弧.“弧AC”.大于半圆的弧?AC或BC

④圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一

条弧都叫做半圆.我们可以得到：

如图，AB是。。的一条弦，作直径CD,使CD

±AB,垂足为M.

如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？

你能发现图中有哪些等量关系？说一说你理由.是轴对称

图形，其对称轴是CD.

?,即直径CD平分弦AB,并且平分？？，?

AM=BM,?AD?BDAB及？ADB.AC?BC

下面我们用逻辑思维给它证明一下：

已知：直径CD、弦AB且CDLAB垂足为M

?.?,?求证：AM=BM,?AD?BDAC?BC

分析：要证AM二BM,只要证AM、BM构成的两个三角形全

等.因此，只要连结OA、？0B或AC、

BC即可.

证明：如图，连结OA、0B,则OA=OB在Rt^OAM和Rt

△OBM中

?OA?OB

?

?OM?OM

二.RtAOAM^RtAOBMAM=BM

・••点A和点B关于CD对称•「OO关于直径CD对称

?重合.？重合，？「・当圆沿着直线CD对折时，点A

与点B重合，？AD与BDAC与BC??,??AD?BDAC?BC

?,点。是CD?的圆心，？其中CD=600m,E例1.如

图，一条公路的转弯处是一段圆弦m

VOE1CD

11

.*.CF=CD=3600=300

22

根据勾股定理，得：0C2=CF2+0F2

即R2=3002+解得R=5「・这段弯路的半径为545m.应

用拓展

例2.有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图24-5所示，正

常水位下水面宽AB=?60m,水面到拱顶距离CD=18m,当洪水

泛滥时，水面宽MN=32m时是否需要采取紧急措施？请说明

理由.

分析：要求当洪水到来时，水面宽MN=32m?是否需要采

取紧急措施，？只要求出DE的长，因此只要求半径R,然后

运用几何代数解求R.解：不需要采取紧急措施设

OA=R,在RtZiAOC中,AC=30,CD=18

R2=302+R2=900+R2-36R+32B

解得R=34

连接0M,设DE=x,在Rt^MOE中，ME=>162+2

162+342-68x+x2=34x2-68x+256=0解得xl=4,

x2=DE=4

・•・不需采取紧急措施.本节课应掌握：1.圆

的有关概念；

2.圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的

对称轴..垂径定理及其推论以及它们的应用.

第一课时作业设计

一、选择题.

1.如图1,如果AB为。。的直径，弦CDLAB,垂足为

E,那么下列结论中，？错误的是.

??BD?C.ZBAC=ZBADD.AOAD

A.CE=DEB.BC

c

2.如图2,。。的直径为10,圆心。到弦AB的距离0M

的长为3,则弦AB的长是

A.B.C.D.8

3.如图3,在。0中，P是弦AB的中点，CD是过点P

的直径，？则下列结论中不正确的是

?D.P0=PDA.AB±CDB.ZA0B=4ZACD

C.?AD?BD

二、填空题

?中点，OE交BC于点D,BD=3,AB=10,贝AC=.

1.如图4,AB为。0直径，E是BC

A

B

2.P为。。内一点，0P=3cm,。。半径为5cm,则经过P

点的最短弦长为；?最长弦长为.

3.如图5,OE、OF分别为。。的弦AB、CD的弦心距，

如果0E=OF,那么

三、综合提高题

1.如图24-11,AB为。。的直径，CD为弦，过C、D分

别作CNLCD、DM?±CD,?分别交AB于N、M,请问图中的AN

与BM是否相等，说明理由.

2.如图，00直径AB和弦CD相交于点E,AE=2,EB=6,

ZDEB=30°,求弦CD长.

3.AB是。0的直径,AC、AD是。0的两弦,已知AB二16,

AC=8,AD=?8,?求/口人（3的度数.

圆

教学内容

1.圆心角的概念.

2.有关弧、弦、圆心角关系的定理：在同圆或等圆中，？

相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.

3.定理的推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，？

那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等.在同圆或

等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所

对的弧也相等.教学目标

了解圆心角的概念：掌握在同圆或等圆中，圆心角、弦、

弧中有一个量的两个相等就可以推出其它两个量的相对应

的两个值就相等，及其它们在解题中的应用.

通过复习旋转的知识，产生圆心角的概念，然后用圆心

角和旋转的知识探索在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两

条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组

量都分别相等，最后应用它解决一些具体问题.重难点、

关键

1.重点：定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对

的弧相等，？所对弦也相等及其两个推论和它们的应用.

2.难点与关键：探索定理和推导及其应用.教学

过程

如图所示，ZAOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的

角叫做圆心角.

如图所示的。0中，分别作相等的圆心角NAOB?和N

A?，0B?，将圆心角NAOB绕圆心0旋转到NA，QB'的位置,

你能发现哪些等量关系？为什么？

B，

?AB:?A'B',AB-A，B，

理由：•半径0A与O'A，重合，且NA0B=NA，OB'

・•・半径0B与0B，重合

二点A与点A，重合，点B与点B，重合?AB

与?A'B'重合,弦AB与弦A，B，重合・•.？AB=?A'B',

AB=A，B'

因此，在同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所

对的弦相等.

《圆》第一节圆导学案1

主编人：占利华主审人：

班级：学号：姓名：

学习目标：

理解圆的定义及弧、弦、半圆、直径等相关概念。

经历动手实践、观察思考、分析概括的学习过程，养成

自主探究、合作交流的良好习惯。

利用我国悠久的数学研究历史，对学生进行爱国主义熏

陶；通过圆的完美性，让学生进行美的体验。

与圆有关的概念

圆的概念的理解学习过程：

一、自主学习

复习巩固

1、举出生活中的圆的例子

2、圆既是对称图形，

又是对称图形。

3、圆的周长公式圆的面积公式

自主探究

1：在一个平面内，线段0A绕它固定的一个端点0旋

转，另一个端点1、圆的定义。

所形成的图形叫做.固定的端点。叫做

段0A叫做.以点。为圆

心的圆，记作””，读作“”决定圆的位置,

决定圆的大小。

2：到的距离等于的点的集合.圆的定义O

2、弦：连接圆上任意两点的叫做弦

直径：经过圆心的叫做直径

3、弧：任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧

半圆：圆的任意一条的两个端点把圆分成两条弧，

每一条都叫做半圆

优弧：半圆的弧叫做优弧。用个点表示，如图

中叫做优弧

劣弧：半圆的弧叫做劣弧。用个点表示，如图

中叫做劣弧

等圆：能够的两个圆叫做等圆

等弧：能够的弧叫做等弧

4、如果四边形ABCD是矩形，它的四个顶点在同一个

圆上吗？如果在，这个圆的圆心在哪

里？

5、已知：如图，在。。中，AB,CD为直径

求证：AD//BC

、归纳总结：

1、在平面内任意取一点P,点与圆有哪几种位置关系？

若。。的半径为r,

点P到圆心。的距离为d,那么：

点P在圆dr点P在圆dr

点P在圆dr

2、圆的集合定义

思考：平面上的一个圆把平面上的点分成哪几部分？

圆的内部是到的点的集合；

圆的外部是的点的集合。？?？

自我尝试：

1、如何在操场上画一个半径是5nl的圆？说出你的理由。

2、你见过树木的年轮吗？从树木的年轮，可以很清楚

的看出树木生长的年轮。把树木的年

轮看成是圆形的，如果一棵20年树龄的红杉树的树干

直径是23cm,这棵红杉树的半径平均

每年增加多少？

二、教师点拔

1、圆心决定圆的，而半径决定圆的；直径是

圆中经过的特殊的弦，

是的弦，并且等于的2倍，是在研究圆的问题

中出现次数最多的重要线段

但弦不一定是直径，过圆上一点和圆心的直径

一条；半圆是的弧，而

弧是半圆；“同圆”是指圆，“同心圆””等

圆”指的是两个圆的位置、大

小关系；判定两个圆是否是等圆，常用的方法是看其

是否相等，相等的两个

圆是等圆；“等弧”是能够的两条弧，而长度相

等的两条弧是等弧。

2、想一想：角的平分线可以看成是哪些点的集

合？线段的垂直平分线呢？

三、课堂检测

1.以点0为圆心作圆，可以作

A.1个B.2个C.3个D.无数

个

2.确定一个圆的条件为

A.圆心B.半径C.圆心和半径D.以

上都不对.

3.如图，AB是。。的直径，CD是。0的弦，AB、CD的

延长线交于点E,已知AB?2DE,若?COD为直角三角形，则?E

的度数为

A.22.5?B.30?C.45?D.15?

4、。。的半径10cm,A、B、C三点到圆心的距离分别为

8cm、10cm、12cm,则点A、B>C与

00的位置关系是：点A在;点B

在；点C在

5、。。的半径6cm,当0P=6时，点P在；当

0P时点P在圆内；当0P时，点P不在

圆外。

四、课外拓展

1.如图，OA、0B为。。的半径，C、D为OA、0B上两点，

且AC?BD

求证：AD?BC

2.如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD交

于点0.求证：点A、B、C、D在以。为圆心的圆上.

3.如图，在矩形ABCD中，点E、F、G、H分别为0A、

OB、0C、0D的中点.求证：点E、F、G、H四点在同一个圆

上.

圆的知识点归纳总结大全

一、圆的定义。

1、以定点为圆心，定长为半径的点组成的图形。

2、在同一平面内，到一个定点的距离都相等的点组成

的图形。

二、圆的各元素。

1、半径：圆上一点与圆心的连线段。

2、直径：连接圆上两点有经过圆心的线段。、弦：连接

圆上两点线段。

4、弧：圆上两点之间的曲线部分。半圆周也是弧。劣

弧：小于半圆周的弧。优弧：大于半圆周的弧。

5、圆心角：以圆心为顶点，半径为角的边。、圆周角：

顶点在圆周上，圆周角的两边是弦。、弦心距：圆心到弦的

垂线段的长。

三、圆的基本性质。1、圆的对称性。

圆是轴对称图形，它的对称轴是直径所在的直线。圆

是中心对称图形，它的对称中心是圆心。圆是旋转对称图

形八垂径定理。

垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条

弧。推论：

?平分弦的直径，垂直于弦且平分弦所对的两条弧。？

平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。、圆心角的度数等于

它所对弧的度数。圆周角的度数等于它所对弧度数的一半。

同弧所对的圆周角相等。

直径所对的圆周角是直角；圆周角为直角，它所对的弦

是直径。

4、在同圆或等圆中，两条弦、两条弧、两个圆周角、

两个圆心角、两条弦心距

五对量中只要有一对量相等，其余四对量也分别相等。、

夹在平行线间的两条弧相等。、设。0的半径为r,OP=dod

不在同一直线上的三点确定一个圆，圆心是三边中垂线的交

点，它到三

个点的距离相等。

8、直线与圆的位置关系。d表示圆心到直线的距离，r

表示圆的半径。直线与圆有两个交点，直线与圆相交；

直线与圆只有一个交点，直线与圆相切；

直线与圆没有交点，直线与圆相离。

d10、圆的切线判定。

d=r时，直线是圆的切线。切点不明确：画垂直，

证半径。

经过半径的外端且与半径垂直的直线是圆的切线。

切点明确：连半径，证垂直。11、圆的切线的性质。

经过切点的直径一定垂直于切线。

经过切点并且垂直于这条切线的直线一定经过圆心。

12、切线长定理。

切线长：从圆外一点引圆的两条切线，切点与这点之间

连线段的长叫这个

点到圆的切线长。切线长定理。

PPA、PB切。0于点A、BPA=PB,Z

l=Z2o

12图

13图

13、内切圆及有关计算。

三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三

边的距离相等。如图，ZUBC中，AB=5,BC=6,AC=7,OO

切AABC三边于点D、E、Fo求：AD、BE、CF的长。

分析：设AD=x,则AD=AF=x,BD=BE=5一x,CE=CF=7一

x.可得方程：5—x+7—x=6,解得x=AABC中，

ZC=90°,AC=b,BC=a,AB=co求内切圆的半径r。分

析：先证得正方形ODCE,得CD二CE=rAD=AF^b—r,

BE=BF=a—rb—r+a—r=ca?b?c

得r=

2

1

SAABC=r

2

14、

弦切角：角的顶点在圆周上，角的一边是圆的切线，另

一边是圆的弦。如图，BC切。。于点B,AB为弦，Z

ABC叫弦切角，ZABC=ZDo相交弦定理。

圆的两条弦AB与CD相交于点P,贝ljPA-PB=PC-PDo

切割线定理。

如图如A切。0于点A,PBC是。0的割线，则PA2=PBPC。

推论：如图，PAB、PCD是。。的割线，贝I]PA-PB=PC-PDo

图图图图

15、圆与圆的位置关系。

外离：d>rl+r2,交点有。个；

外切：d=rl+r2,交点有1个；相交：rl

-r2相交两圆的连心线垂直平分公共弦。相切两

圆的连心线必经过切点。16、圆中有关量的计算。

弧长有L表示，圆心角用n表示，圆的半径用R表示。

nn?R

L=?2?R?

360180

扇形的面积用S表示。

nn?R2n?RR12

??R?S=S=??lR6036018022

圆锥的侧面展开图是扇形。

r为底面圆的半径，a为母线长。

r

?扇形的圆心角a二?3600

a

?S侧=？arS全=？ar+?r2

《圆》章节知识点复习

一、圆的概念

集合形式的概念：1、圆可以看作是到定点的距离等

于定长的点的集合；、圆的外部：可以看作是到定点的距

离大于定长的点的集合；、圆的内部：可以看作是到定点

的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：

1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点

为圆心，定长为半径的圆；

2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是

这条线段的垂直平分线；

3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个

角的平分线；

4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线

且到这条直线的距离等于定长的两条直线；

5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两

条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

二、点与圆的位置关系

1、点在圆内？d?r?点C在圆内；、点在圆上？d?r?

点B在圆上;、点在圆外？d?r?点A在圆外；

三、直线与圆的位置关系

1、直线与圆相离？d?r?无交点；、直线与圆相切？

d?r?有一个交点；、直线与圆相交？d?r?有两个交点；

A

四、圆与圆的位置关系

外离？无交点？d?R?r；外切？有一个交点？

d?R?r；相交？有两个交点？R?r?d?R?r；内切？有一个

交点？d?R?r；内含？无交点？d?R?r；

图1

图2

五、垂径定理

图4

图5

垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1：平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两

条弧；弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对

的两条弧；

平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦

所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理:

此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3

个结论,即：

①AB是直径②AB?CD③CE?DE④弧BC?弧BD⑤

弧AC?弧AD中任意2个条件推出其他3个结论。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。即：

在。。中，•.•AB〃CD，MAC?MBD

六、圆心角定理

圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相

等，所对的弧相等，弦心距相等。此定理也称1推3定理,

即上述四个结论中，只要知道其中的1个相等，则可以推

出其它的3个结论，即：①?AOB??DOE；②AB?DE；

③OC?OF；④弧BA?弧BD

D

B

教学过程设计

1

2

圆的切线导学案

班级姓名

直线和圆的位置关系

1.直线和圆有时，叫做直线和圆相交。这条直线叫做

圆的这个公共点