2.5.2椭圆的几何性质第1课时课件高二数学上学期人教B版选择性

2.5.2椭圆的几何性质第1课时新授课1.利用椭圆的标准方程，研究并掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质.2.会根据已知条件，求椭圆的离心率.“天宫一号”的运行轨迹是椭圆形的.问题导入

椭圆在我们的生活中经常出现，你知道椭圆有什么样的性质吗？如何研究？

问题：已知椭圆C的方程为，根据这个方程完成下列问题：（1）方程中x与y的取值范围是多少？那么椭圆C在平面直角坐标系中的位置范围是什么？解：（1）因为实数的平方是一个非负数，所以在中，必有，即.因此，椭圆C位于直线x=-2，x=2，y=-1，y=1所围成的矩形内.同理可得，.问题：

已知椭圆C的方程为，根据这个方程完成下列问题：（2）椭圆C对称性如何？是否关于x轴、y轴、原点对称？解：（2）因为如果(x，y)是方程的一组解，这说明椭圆关于x轴、y轴、原点对称.∴(-x，y)是方程的解.同理(x，-y)，(-x，-y)也是方程的解.(x，y)

(-x，y)y轴对称问题：

已知椭圆C的方程为，根据这个方程完成下列问题：（3）椭圆C与坐标轴是否有交点？如果有，求出交点坐标.解：（3）在方程中，令y=0，得x=-2或x=2，即椭圆C与x轴有两个交点，坐标分别为(-2,0)，(2,0)；令x=0，得y=-1或y=1，即椭圆C与y轴有两个交点，坐标分别为(0,-1)，(0,1).

一般地，如果椭圆C的标准方程是,根据方程可得椭圆的几何性质：因此-a≤x≤a

且

-b≤x≤b.说明椭圆位于直线和围成的矩形框里.(1)范围由椭圆的标准方程可知

且（2）对称性点P1仍在椭圆上F1F2xOy①P(x,y)

P1(-x,y)y轴P（x，y）P1（-x，y）②P(x,y)

P2(x,-y)x轴点P2仍在椭圆上P2（x，-y）③P(x,y)

P3(-x,-y)原点F1F2xOyP1（-x，y）点P3仍在椭圆上P（x，y）P2（x，-y）P3（-x，-y）综上,椭圆关于x轴、y轴和原点都是对称的.x轴、y轴是椭圆C的对称轴，坐标原点是椭圆C的对称中心.椭圆的对称中心也称为椭圆的中心.（3）顶点椭圆与y轴的交点:令x=0,得y=±b，F1F2xOyB1(0,-b)，B2(0,b)椭圆与x轴的交点:令

y=0,得x=±a，A1(-a,0)，A2(a,0)椭圆的顶点A1A2B1B2短轴长轴2a2ba为椭圆的长半轴长，b为椭圆的短半轴长a,b分别是椭圆半长轴长和半短轴长，如果设椭圆的焦距为2c，则c是椭圆的半焦距.F1F2xOybcA1A2B2B1a由于a2+b2=c2，可知长度分别为a，b，c的三条线段构成一个直角三角形，且长度为a的线段是斜边.一般地，椭圆的半焦距与半长轴长之比称为椭圆的离心率.(4)离心率F1F2(c，0)xOya思考：（1）根据椭圆离心率的定义，椭圆离心率的取值范围是什么？因为a>c>0，所以，即椭圆的离心率0<e<1.因为，xOy（0，b）（a，0）

（2）椭圆离心率的大小与椭圆的形状有什么联系？并尝试证明.当固定a不变时，椭圆的离心率与椭圆的形状的关系可以从右图中看出来.即e越趋近于1，椭圆越扁；越趋近于0，椭圆就越接近于圆.

思考2

：如果椭圆的标准方程是，那么这个椭圆的范围、对称性、顶点、离心率中，哪些与焦点在x轴上的椭圆是有区别的？

方程表示的椭圆，焦点坐标为(0,-c)，(0,c),椭圆上的点的坐标的取值范围是-a≤y≤a且-b≤x≤b；除此之外，对称性、焦距、长轴长、短轴长、离心率等都与焦点在x轴上的椭圆是一致的.长轴的两个端点是A1(0,-a),A2(0,a);短轴的两个端点是B1(-b,0),B2(b,0).F2F1xOybcA2A1B2B1a例1求下列方程表示的椭圆的长轴长、半短轴长、焦点坐标以及离心率：

又因为即.因此，椭圆的焦点坐标为.离心率解：（2）已知椭圆的方程可化为，由8>3可知这个椭圆的焦点在y轴上，且a2=8,b2=3，因此长轴长，半短轴长，因此，椭圆的焦点坐标为，又因为，即离心率用标准方程研究几何性质的步骤：(1)将椭圆方程化为标准形式.(2)确定焦点位置.(焦点位置不确定的要分类讨论)(3)求出a，b，c.(4)写出椭圆的几何性质.归纳总结练一练求方程表示的椭圆的半长轴长、半短轴长、焦点坐标以及离心率.解：由100>64可知椭圆焦点在x轴上，且a2=100,b2=64，因此半长轴长为10,半短轴长为8，

即c=6，焦点坐标为(6,0)，(-6,0).例2求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)椭圆过点(3,0)，离心率e=；解：(1)若焦点在x轴上，则a＝3，∴b2＝a2－c2＝9－6＝3.∴椭圆的方程为若焦点在y轴上，则b＝3，

解得a2＝27.∴椭圆的方程为

∴所求椭圆的方程为

或

(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8；(2)设椭圆方程为如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，∴c＝b＝4，∴a2＝b2＋c2＝32，故所求椭圆的方程为练一练若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，一个焦点的坐标是(3,0)，则椭圆的标准方程为()B标准方程范围对称性顶点坐标焦点坐标半轴长离心率关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对