2024-2025学年北师版中学数学八年级上册第七章平行线的证明7.5三角形内角和定理第2课时 教案

第七章平行线的证明5三角形内角和定理第2课时三角形的外角教学目标1.掌握三角形外角的两条性质.2.灵活运用三角形的外角和两条性质解决相关问题.3.通过在数学活动中进行教学，使学生能自主地“做数学”，特别是培养有条理的想象和探索能力，从而做到强化基础，激发学习兴趣．教学重难点重点：掌握三角形外角的两条性质.难点：灵活运用三角形的外角和两条性质解决相关问题.教学过程导入新课在证明三角形内角和定理时，用到了把△ABC的一边BC延长得到∠ACD，这个角叫做什么角呢？下面我们就给这种角命名，并且来研究它的性质．探究新知三角形的外角定义：三角形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫做三角形的外角.结合图形指明外角的特征有三：(1)顶点在三角形的一个顶点上．(2)一条边是三角形的一边．(3)另一条边是三角形某条边的延长线．问题1：如图，△ABC中，∠A=70°，∠B=60°，∠ACD是△ABC的一个外角，能由∠A、∠B求出∠ACD吗？如果能，∠ACD与∠A、∠B有什么关系？问题2：任意一个△ABC的一个外角∠ACD与∠A、∠B的大小会有什么关系呢？

归纳得出：推论1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．推论2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．例1已知，如图，在三角形ABC中，AD平分外角∠EAC，∠B=∠C．求证：AD∥BC.【证明】∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和），∠B=∠C（已知），∴∠B=∠EAC（等式的性质）.∵AD平分∠EAC（已知），∴∠DAE=∠EAC（角平分线的定义），∴∠DAE=∠B（等量代换），∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行）.想一想，还有没有其他的证明方法呢？这个题还可以用“内错角相等，两直线平行”来证.【证明】∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和），∠B=∠C（已知），∴∠C=∠EAC（等式的性质）.∵AD平分∠EAC（已知），∴∠DAC=∠EAC（角平分线的定义），∴∠DAC=∠C（等量代换），∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）.还可以用“同旁内角互补，两直线平行”来证.【证明】∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和），∠B=∠C（已知），∴∠C=∠EAC（等式的性质）.∵AD平分∠EAC（已知），∴∠DAC=∠EAC，∴∠DAC=∠C（等量代换）.∵∠B+∠BAC+∠C=180°，∴∠B+∠BAC+∠DAC=180°，即∠B+∠DAB=180°，∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）.例2已知：如图，在三角形ABC中，∠1是它的一个外角，E为边AC上一点，延长BC到D，连接DE．求证：∠1>∠2．【证明】∵∠1是△ABC的一个外角（已知），∴∠1>∠ACB（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）.∵∠ACB是△CDE的一个外角（已知），∴∠ACB>∠2（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角），∴∠1>∠2（不等式的性质）.学生对于几何图形中的不等关系的证明比较陌生，因此有必要在证明例2中，要引导学生找到一个过渡角∠ACB，由∠1>∠ACB，∠ACB>∠2，再由不等关系的传递性得出∠1>∠2.课堂练习1.如图所示，直线BD∥EF，AE与BD交于点C，若∠B＝30°，∠A＝45°，则∠E的大小为（）A.60°B.75°C.90°D.105°2.点P是△ABC内一点，连结BP并延长交AC于D，连结PC，则图中∠1、∠2、∠A的大小关系是（）A.∠A＞∠1＞∠2B.∠A＞∠2＞∠1C.∠2＞∠1＞∠AD.∠1＞∠2＞∠A3.如图，试求出∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F=________.4.根据图中已知角的度数，求∠α的度数.图a中的∠α=_______，图b中的∠α=_______，图c中的∠α=_______。图a图b图c5.如图，D是△ABC的BC边上一点，∠B=∠BAD，∠ADC=80°，∠BAC=70°.求：(1)∠B的度数；(2)∠C的度数.6.如图，CE平分∠ACD，F为CA延长线上一点，FG∥CE交AB于点G，∠ACD=100°，∠AGF=20°，求∠B的度数．参考答案1.B2.D3.360°4.60°70°35°5.解：(1)因为∠ADC是△ABD的外角，所以∠ADC=∠B+∠BAD=80°.又因为∠B=∠BAD，所以∠B=40º.(2)在△ABC中，∠B+∠BAC+∠C=180°，所以∠C=180º-40º-70º=70°6.解：∵CE平分∠ACD，∴∠ACE=×∠ACD=×100°=50°.∵FG∥CE，∴∠AFG=∠ACE=50°，在△AFG中，∠BAC=∠AFG+∠AGF=50°+20°=70°，又∵∠ACB=180°-∠ACD=180°-100°=80°，∴∠B=180°-∠BAC-∠ACB=180°-70°-80°=30°．课堂小结（学生总结，老师点评）1.三角形的外角2.三角形外角的两条性质布置作业习题7.7第1，2，3题板书设计第七章平行线的证明5三角形内角和定理