2024-2025学年北师版中学数学九年级上册 2.2 用配方法 求解一元二次方程（第1课时） 教学课件

第二章一元二次方程第二章一元二次方程2.1

用配方法求解一元二次方程第1课时用配方法求解简单的一元二次方程

学习目标12会用直接开平方法解形如(x+m)2＝n

(n>0)的方程.（重点）理解配方法的基本思路.（难点）3会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程.（重点）新课导入试一试

解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流.(1)x2=4；(2)x2=0；(3)x2+1=0.解:根据平方根的意义，得x1=2,x2=-2.解:根据平方根的意义，得x1=x2=0.解:根据平方根的意义，得x2=-1,因为负数没有平方根，所以原方程无解.填一填下列完全平方公式.(1)a2+2ab+b2=(

)2；a+b(2)a2-2ab+b2=(

)2.a-b知识讲解★用直接开平方法解一元二次方程（2）当p=0

时，方程x2=p有两个相等的实数根=0；（3）当p<0

时,因为任何实数x，都有x2≥0

，所以方程x2=p无实数根.

如果我们把x2=4，

x2=0，

x2+1=0变形为x2=p

会是什么情形？一般的，对于方程x2=p,

（1）当p>0

时，根据平方根的意义，方程x2=p有两个不等的实数根，；(1)x2=25；(2)

x2－900=0.解：（1）x2=25，直接开平方，得（2）移项，得x2=900.直接开平方，得x=±30，∴x1=30,x2=－30.

利用直接开平方法解下列方程:例1

分析：第1小题中只要将（x＋2）看成是一个整体，就可以运用直接开平方法求解.解：（1）∵x+2是7的平方根，∴x+2=

解下列方程：⑴（x＋2）2=7；

例2分析：同第（1）小题一样地解.（2）（2x+3）2

=16；

解：∵2x+3是16的平方根，∴2x+3=±4.即2x+3=4或2x+3=-4∴x1=

，

x2=(3)2（

1－3x

）2－18

=0.分析：第3小题先将－18移到方程的右边，再两边都除以2，再同第（1）小题一样地去解，然后两边都除以-3即可.

解：移项，得2（

1－3x

）2=18，两边都除以2，得（1－3x

）2=9.∵1－3x是9的平方根，∴1－3x=±3.即1－3x=3或1－3x=-3.1.采用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的意义，直接开平方法只适用于能转化为x2=p或（mx＋n）2=p（p≥0）的形式的方程，可得方程的根为x=或mx＋n=2.利用直接开平方法解一元二次方程时，只有当p为非负常数时，方程才有解，并且要注意开方的结果有“正、负”两种情况.注意做一做：填上适当的数，使下列等式成立1.x2+12x+

=(x+6)2；2.x2-6x+

=(x-3)2；3.x2-4x+

=(x-

)2；4.x2+8x+

=(x+

)2.问题：上面等式的左边的常数项和一次项系数有什么关系？6232222424将方程转化为（x+m)2=n(n≥0）的形式的方法叫配方法.对于形如x2+ax

的式子如何配成完全平方式？二次项系数为1的完全平方式：常数项等于一次项系数一半的平方.★配方的方法★用配方法解方程探究交流怎样解方程x2+6x+4=0？1.把方程变成（x+n)2=p（p≥0）的形式x2+6x+4=0

x2+6x=-4移项

x2+6x+9=-4+9两边都加上9二次项系数为1的完全平方式：

常数项等于一次项系数一半的平方.(x+3)2=5配方2.用直接开平方法解方程(x+3)2=5(x+3)2=5开方

求解配方法解方程的基本思路

把方程化为（x+n)2=p的形式，将一元二次方程降次，转化为两个一元一次方程求解．方法归纳

在方程两边都加上一次项系数一半的平方.注意是在二次项系数为1的前提下进行的.方程配方的方法配方法解方程的基本步骤一般步骤方法一移移项将常数项移到右边，含未知数的项移到左边二化二次项系数化为1左、右两边同时除以二次项系数三配配方左、右两边同时加上一次项系数一半的平方四开开平方利用平方根的意义直接开平方五解解两个一元一次方程移项，合并

解方程：例3∴x1＝x2＝-2.x2+4x+4＝0.解：移项，得x2+4x

＝-4.配方，得x2+4x+22＝-4+22，即（x+2）2＝0，随堂训练1．下列方程可用直接开平方法求解的是()A．x2＝4B．4x2－4x－3＝0C．x2－3x＝0D．x2－2x－1＝9

CA3．已知x2-8x+15=0，左边化成含有x的完全平方形式，其中正确的是（）

A．x2-8x+（-4）2=31B．x2-8x+（-4）2=1C．x2+8x+42=1D．x2-4x+4=-11

B

(2)(3x＋2)2＝25；解：x2+2x+2=0，(x+1)2=-1.此方程无解.（3）x2+4x-9=2x-11；解：x2-4x-12=0，(x-2)2=16.x1=6,x2=-2.（4）x(x+4)=8x+12；5.如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=8m，CB=6m，点P、Q同时由A，B两点出发分别沿AC、BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1m/s，问几秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半？

解：设x秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半．所以2秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半．ACBPQ

整理，得x2-14x+24=0,即(x-7)2=25,解得x1=12，x2=2，

x1=12，x2=2