第28讲　余弦定理、正弦定理应用举例

第28讲余弦定理、正弦定理应用举例【备选理由】例1是测量距离的问题,考查了正弦定理的应用;例2是测量高度的问题,以滕王阁为背景,考查余弦定理的实际应用;例3是测量角度的问题;例4作为对前面例题的补充,希望能提高学生的解题能力.例1[配例1使用][2023·哈尔滨六中二模]火箭造桥技术是我国首创在陡峭山区建桥的一种方法.由两枚火箭牵引两条足够长的绳索精准地射入对岸的指定位置,是建造高空悬索桥的关键.位于湖北省的四渡河大桥就是首次用这种技术建造的悬索桥.工程师们需要测算火箭携带的引导索的长度(引导索比较重,如果过长会影响火箭发射),如图所示,已知工程师们在建桥处C测得对岸目标点D的正下方地面上一标志物AB的高为h,从点C处看点A和点B的俯角分别为α,β,则一枚火箭应至少携带引导索CD的长度为 (C)A.hsinαcosβsinC.hcosαcos[解析]在Rt△BCD中,BC=CDcos∠BCD=CDcosβ,在△ABC中,AB=h,∠ACB=α-β,A=π2-α,由正弦定理可得ABsin∠ACB=BCsinA,即hsin(α例2[配例2使用]滕王阁,江南三大名楼之一,因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》而名传千古,如图所示,在滕王阁旁的水平地面上共线的三点A,B,C处测得其顶点P的仰角分别为30°,60°,45°,且AB=BC=75米,则滕王阁的高度OP=1515米.

[解析]设OP=h(h>0)米,则OA=OPtan30°=3h(米),OB=OPtan60°=33h(米),OC=OP方法一:由∠OBC+∠OBA=π得cos∠OBC=-cos∠OBA,由余弦定理得33h2+752-h22×75×33h=-33h2+75方法二:在△OCB中,cos∠OCB=h2+752-33h22×75×h,在△OCA中,cos∠OCA=h2+1502-(3h)22×150×h,例3[配例3使用]如图,某巡逻艇在A处发现北偏东30°相距(6+2)海里的B处有一艘走私船,正沿东偏南45°的方向以3海里/时的速度向我海岸行驶,巡逻艇立即以22海里/时的速度沿着正东方向直线追去,1小时后,巡逻艇到达C处,走私船到达D处,此时走私船发现了巡逻艇,立即改变航向,以原速向正东方向逃窜,巡逻艇立即加速以32海里/时的速度沿着直线追击.(1)当走私船发现了巡逻艇时,两者相距多少海里?(2)巡逻艇应该沿什么方向去追,才能最快追上走私船?解:(1)由题意知,当走私船发现了巡逻艇时,走私船在D处,巡逻艇在C处,此时BD=3×1=3,AC=22×1=22.由题意知∠BAC=90°-30°=60°.连接BC,在△ABC中,AB=6+2,AC=22,∠BAC=60°,由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠BAC=(6+2)2+(22)2-2×(6+2)×22×12=12,所以BC=23在△ABC中,由正弦定理得ACsin∠ABC=BCsin∠BAC,即所以sin∠ABC=22,所以∠ABC=所以∠CBD=180°-45°-45°-60°=30°.在△BCD中,∠CBD=30°,BD=3,BC=23,由余弦定理得CD2=BC2+BD2-2BC·BD·cos30°=(23)2+32-2×23×3·cos30°=3,所以CD=3,故当走私船发现了巡逻艇时,两者相距3海里.(2)设巡逻艇经过t小时沿CE方向在E处追上走私船,如图,则CE=32t,DE=3t,CD=3.在△BCD中,由正弦定理得CDsin∠CBD=BDsin∠BCD=BCsin∠BDC,即3sin30°=3sin∠BCD=23sin∠BDC,所以sin∠BCD=32,所以∠BCD=60°,∠BDC=90°,∠CDE=135°.在△CDE中,由正弦定理得CEsin∠CDE=DEsin∠DCE,则sin∠DCE=3t·sin135°32t=12,所以∠DCE=30°,由(1)例4[补充使用]如图,为方便市民游览市民中心附近的“网红桥”,现准备在河岸一侧建造一个观景台P,已知射线AB,AC是夹角为120°的公路(长度均超过3千米),在两条公路AB,AC上分别设立游客上下点M,N,从观景台P到M,N建造两条观光线路PM,PN,测得AM=3千米,AN=3千米.(1)求MN的长度;(2)若∠MPN=60°,求△PMN的面积的最大值.解:(1)在△AMN中,由余弦定理得MN2=AM2+AN2-2AM·AN·cos120°=3+3-2×3×3×-12=9,可得MN所以MN的长度为3千米.(2)设∠PMN=α,因为∠MPN=60°,所以∠PNM=120°-α.在△PMN中,由正弦定理得MNsin60°=PMsin(120°-α)所以PM=23sin(120°-α),PN=23sinα,所以S△PMN=12PM·PN·sin∠MPN=12×23sin(120°-α)×23sinα×32=3332cos