4.1整式课件人教版数学七年级上册

4.1整式第1课单项式

单项式的概念

观察代数式：100

t

，0.8

p

，

mn

，

a2

h

，－

n

，这些代数式有

什么共同特点？

这些代数式都是数或字母的

，像这样的代数式叫作单

项式．单独的一个

或一个

⁠也是单项式．积

数

字母

①②④

A．

3个B．

4个C．

5个D．

6个B

单项式的系数与次数2.

(1)单项式的系数：单项式中的

⁠因数叫作这个单项式

的系数；(2)单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的

⁠叫作这

个单项式的次数．如果一个单项式的次数是

n

，那么称这个单项式是

n

次

单项式．注意：①单项式的系数是1或－1时，1通常不写，如

a2，－

x

.②对于

一个非零的数，规定它的次数为0.

数字

和

例2

填表．单项式2

a3－

t

1.2

xy

－8

x2

y3系数

⁠

⁠

⁠

⁠次数

⁠

⁠

⁠

⁠2

－1

1.2

－8

3

1

2

5

1

3

6

－2

0

单项式的应用例3

【北师七上P81尝试思考改编】用单项式填空，并指出它们的系

数和次数．

(2)某件商品的成本价为

a

元，按成本价提高15%标价，后又以八折

(即按标价的80%)销售，这件商品的售价为

⁠元；列出的单项式的

系数是

，次数是

⁠．

2

0.92

a

0.92

1

4.

用单项式填空，并指出它们的系数和次数．(1)有一个底面半径为

rm，高为

hm的圆柱形蓄水池，若这个蓄水池

蓄满水，则可蓄水

m3；列出的单项式的系数是

⁠，次数

是

⁠．(2)某企业今年一月份投入研发新产品的资金为

a

万元，之后每月投

入研发新产品的资金比上月增加20%，则该厂今年三月份投入研发新产

品的资金为

万元；列出的单项式的系数是

⁠，次数

是

⁠．π

r2

h

π

3

1.44

a

1.44

1

1．

下列代数式中，属于单项式的是(

B

)A．

a

－

b

B．

－3

a

C．

D．

B

3

3

3．

结论开放若一个单项式同时满足下列三个条件：①系数是1；②

含有两个字母；③次数是3.则这个单项式可能为

⁠

．(写出一个即可)m2

n

(答案不唯

一)

4．

用单项式填空，并指出它们的系数和次数：(1)若一辆汽车的平均速度是

vkm/h，则该汽车行驶

th的路程

为

km；

vt

的系数是1，次数是2.(2)某长方体长为

acm、宽为

bcm、高为

hcm，则长方体的体积

是

cm3；

abh

的系数是1，次数是3.vt

abh

(3)某“爱心助农”直播间推出特产甜瓜，定价8元/千克，规定一次下

单超过5千克时，可享受九折优惠．李叔叔购买此种甜瓜

m

千克(

m

＞5)，

他共需支付

⁠元．7.2

m

的系数是7.2，次数是1.7.2

m

5．

如果2

kx2

yn

是关于

x

，

y

的一个单项式，且系数是7，次数是5，

那么

k

＝

，

n

＝

⁠．6．

已知(

a

－2)

x2

y|

a|是关于

x

，

y

的四次单项式，求

a

的值．解：由题意，得2＋|

a

|＝4.所以

a

＝±2.因为

a

－2≠0，所以

a

≠2.所以

a

＝－2.

3

7．

如图是一个长方形推拉窗，窗高1.6米，当活动窗扇的拉开长度为

b

米

时，活动窗扇的通风面积是

平方米．1.6

b

8．

规律探究观察下列单项式：－

x

，3

x2，－5

x3，7

x4，…，－37

x19，39

x20，…，写出第

n

个单项式，为了解这个问题，特提供下面的解

题思路：(1)这组单项式的系数依次为多少，系数的符号、绝对值分别是什

么？解：(1)这组单项式的系数依次为－1，3，－5，7，…，单项式的系数的

符号是(－1)

n

，系数的绝对值是2

n

－1，其中

n

为正整数．(2)这组单项式的次数分别是什么？(2)这组单项式的次数分别是从1开始的连续自然数．(3)根据上面的归纳，你可以猜想出第

n

个单项式是什么？(3)第

n

个单项式是(－1)

n

(2

n

－1)

xn

.(4)请你根据猜想，写出第2024个、第2025个单项式．(4)第2024个单项式是4047

x2024，第2025个单项式是－4049

x2025.课后作业1．

下列各式中，不是单项式的是(

D

)A．

3x2B．

－5C．

－xyD．

a－2D2．

若一个单项式的系数是－2，次数是5，则这个单项式可以是

(

A

)A．

－2xy4B．

2x5C．

－2x2＋y3D．

A3．

下列单项式中，次数与其他3个单项式不同的是(

B

)A．

－x2y2zB．

0.3a5bC．

－23m5D．

8a2b3B4．

下列说法正确的是(

D

)A．

10不是单项式B．

－的系数是－1C．

πxy3的系数是1，次数是3D．

－x2y的系数是－，次数是3D

4

解：(1)(3)(4)(5)是单项式．

(2)5a＋7b；(3)－2π；(3)的系数是－2π，次数是0.

(5)23xy5.(5)的系数是23＝8，次数是6.

1

解：根据题意，得m＋2＋2＝2＋4.所以m＝2.所以m2－2m＝22－2×2＝0.9．

“洞门初开，佳景自来”，园林建筑中的门洞设计有很多数学中的

图形元素，如图中的门洞造型，由四个相同的半圆构成，且半圆的直径

围成了正方形，若半圆的直径为a米，则该门洞的通过面积为

⁠平

方米．

10．

分类讨论若3xmyn是含有字母x和y的5次单项式，求mn的最

大值．解：由已知，得m＋n＝5，且m，n都是正整数，当m＝1时，n＝4，mn＝14＝1；当m＝2时，n＝3，mn＝23＝8；当m＝3时，n＝2，mn＝32＝9；当m＝4时，n＝1，mn＝41＝4.综上所述，mn的最大值为9.4.1整式

第2课多项式与整式

多项式的概念

观察下面这些代数式，它们是单项式吗？这些代数式有什么

共同特点？

这些代数式

(填“是”或“不是”)单项式，是几个单项

式的

⁠．

多项式：几个单项式的

叫作多项式．

不是

和

和

A．

1个B．

2个C．

3个D．

4个C

多项式的项与次数2.

(1)多项式的项：多项式中的每个

⁠叫作多项式的项，不含

⁠的项叫作常数项；(2)多项式的次数：多项式里，次数最

⁠的项的次数，叫作这个

多项式的次数．

单项式

字母

高

3.

多项式1－2

a

＋3

a2的项有

⁠，该多项式的次数

是

，它是

次

项式．

4.

多项式2

x2

y

－

y

－3是

次

项式，它的一次项是

⁠

，常数项是

⁠.1，－2

a

，3

a2

2

二

三

三

三

－

y

－3

例2

用多项式填空，并指出它们的项和次数．(1)一个长方体的长，宽，高分别为

a

，

b

，

c

，则这个长方体的表面

积为

；列出的多项式的项有

⁠，

次数是

⁠．(2)为调研大众的低碳环保意识，小明在某超市出口统计后发现：一

小时内使用自带环保袋的人数比使用超市塑料袋人数的2倍少4人，若使

用超市塑料袋的为

x

人，则使用自带环保袋的有

⁠人；列出的

多项式的项有

，次数是

⁠．2

ab

＋2

bc

＋2

ac

2

ab

，2

bc

，2

ac

2

(2

x

－4)

2

x

，－4

1

5.

用多项式填空，并指出它们的项和次数．(1)大圆的半径为

Rcm，小圆的半径为

rcm，则圆环的面积是

⁠

cm2；列出的多项式的项有

，次数是

⁠．(2)大气层相当于地球的“盾牌”．一颗质量为

mkg的陨石高速坠向地

球时受大气层的摩擦，其质量每秒减少

nkg，则10s后这颗陨石的质量

为

kg；列出的多项式的项有

，次数是

⁠.(π

R2

－π

r2)

π

R2，－π

r2

2

(

m

－10

n

)

m

，－10

n

1

整式的概念6.

整式：单项式与多项式统称整式．

A．

3个B．

4个C．

6个D．

7个C

①③⑨

⑥⑦

①③⑥⑦⑨

①②③⑤⑥

④⑧

①②③④⑤⑥⑧

2．

多项式3

xy2－2

y

＋1的次数及一次项的系数分别是(

B

)A．

3，2B．

3，－2C．

2，－2D．

4，－2B3．

填空：(1)多项式－3

a2

b

＋2的项有

⁠，该多项式的次数是

，它是

次

⁠项式；(2)多项式3－

a

－2

a2的项有

⁠，该多项式的次数

是

，它是

次

⁠项式；(3)多项式

xy2－

x

＋

xy

的项有

，它是

⁠

次

项式，它的常数项是

⁠．－3

a2

b

，2

3

三

二

3，－

a

，－2

a2

2

二

三

xy2，－

x

，

xy

三

三

0

4．

已知多项式(

a

－1)

x3－2

x2－(

a

＋3)．(1)若它是关于

x

的二次多项式，求

a

的值及常数项；解：(1)由题意，得

a

－1＝0.所以

a

＝1.常数项为－(

a

＋3)＝－4.(2)若它是关于

x

的三次二项式，求

a

的值．(2)由题意，得

a

－1≠0，且

a

＋3＝0.解得

a

＝－3.

5．

如图，在一块长为

a

，宽为2

b

的长方形铁皮中，减掉两个以2

b

为直径的半圆，则剩下铁皮的面积为

(结果保留π)，所填多

项式的项分别为

，次数是

.当

a

＝4，

b

＝1时，剩下

铁皮的面积为

．(π取3)2

ab

－π

b2

2

ab

，－π

b2

2

5

6．

若一个多项式的每一项的次数都相等，则称该多项式为齐次多项

式，例如2

x3－3

x2

y

＋

y3是三次齐次多项式．若

xmy

－2

x3

y2＋5

x2

yn

＋3

xy4＋

y5是齐次多项式，则(2

m

－3

n

)99的值为(

B

)A．

1B．

－1C．

99D．

－99B7．

丘成桐祖居位于广东省梅州市蕉岭县文福镇白湖村东面的羊岃

村．明成化年间(1464－1487年)，八世祖惟述丘公开基建业，迄今500余

年，是国家AAA级旅游景区.2024年“清明”期间，小明和父母一起开车从

梅州五华出发到距家150千米的丘成桐祖居旅游．出发前，汽车油箱内还

有油20升，当行驶100千米时，发现油箱余油量为10升(假设行驶过程中汽

车的耗油量是均匀的)．(1)该车平均每千米的耗油为

⁠升，在保证油箱有油的情况下，

行驶路程

x

千米时，剩余油量为

⁠升；(2)当油箱中剩余油量低于4升时，汽车仪表盘油灯将自动报警，

中途至少要加

⁠升油才能够在汽车仪表盘油灯不报警的情况下把

车开回家．0.1

(20－0.1

x

)

14

课后作业

A．

2个B．

3个C．

4个D．

6个A

A．

3个B．

4个C．

5个D．

6个C3．

多项式x2－2x－1的各项分别是(

D

)A．

x2，2x，1B．

x2，－2x，1C．

－x2，2x，－1D．

x2，－2x，－1D4．

多项式2a2b－ab2－ab的项数及次数分别是(

A

)A．

3，3B．

3，2C．

2，3D．

2，2A5．

下列关于多项式2a2b＋ab－1的说法中，错误的是(

A

)A．

次数是5B．

一次项系数是0C．

最高次项是2a2bD．

常数项是－1A6．

多项式－a3b－7ab－6ab4＋1的各项分别是

⁠

，该多项