2025千题百炼-高考数学100个热点问题（一）：第7炼 分段函数的性质与应用含答案

2025千题百炼——高考数学100个热点问题（一）：第7炼分段函数的性质与应用含答案第7炼分段函数的性质与应用分段函数是函数中比较复杂的一种函数，其要点在于自变量取不同范围的值时所使用的解析式不同，所以在解决分段函数的问题时要时刻盯着自变量的范围是否在发生变化。即“分段函数——分段看”一、基础知识：1、分段函数的定义域与值域——各段的并集2、分段函数单调性的判断：先判断每段的单调性，如果单调性相同，则需判断函数是连续的还是断开的，如果函数连续，则单调区间可以合在一起，如果函数不连续，则要根据函数在两段分界点出的函数值（和临界值）的大小确定能否将单调区间并在一起。3、分段函数对称性的判断：如果能够将每段的图像作出，则优先采用图像法，通过观察图像判断分段函数奇偶性。如果不便作出，则只能通过代数方法比较的关系，要注意的范围以代入到正确的解析式。4、分段函数分析要注意的几个问题（1）分段函数在图像上分为两类，连续型与断开型，判断的方法为将边界值代入每一段函数（其中一段是函数值，另外一段是临界值），若两个值相等，那么分段函数是连续的。否则是断开的。例如：，将代入两段解析式，计算结果相同，那么此分段函数图像即为一条连续的曲线，其性质便于分析。再比如中，两段解析式结果不同，进而分段函数的图像是断开的两段。（2）每一个含绝对值的函数，都可以通过绝对值内部的符号讨论，将其转化为分段函数。例如：，可转化为：5、遇到分段函数要时刻盯住变量的范围，并根据变量的范围选择合适的解析式代入，若变量的范围并不完全在某一段中，要注意进行分类讨论6、如果分段函数每一段的解析式便于作图，则在解题时建议将分段函数的图像作出，以便必要时进行数形结合。二、典型例题例1：已知函数，若，则实数_____思路：从里向外一层层求值，所以答案：例2：设函数，则的值为_________思路：由解析式可知，只有，才能得到具体的数值，时只能依靠向正数进行靠拢。由此可得：，而答案：小炼有话说：含有抽象函数的分段函数，在处理里首先要明确目标，即让自变量向有具体解析式的部分靠拢，其次要理解抽象函数的含义和作用（或者对函数图象的影响）比如在本题中：可以立即为间隔为1的自变量，函数值差1，其作用在于自变量取负数时，可以不断直至取到正数。理解到这两点，问题自然迎刃而解。例3：函数，则不等式的解集是()A.B.C.D.思路：首先要把转变为具体的不等式，由于是分段函数，所以要对的范围分类讨论以代入不同的解析式：当时，，可解得：或。所以或；当时，解得，所以，综上所述：答案：B例4：已知函数，则不等式的解集是________思路：要想解不等式，首先要把转变为具体的表达式，观察已知分段函数，，占据整个括号的位置，说明对于函数而言，括号里的式子小于0时，代入上段解析式，当括号里的式子大于0时，代入下段解析式。故要对的符号进行分类讨论。（1）当时，，不等式变为：（2）当时，，不等式变为：答案：例5：已知函数，则不等式的解集为___________思路：本题如果通过分类讨论将不等式变为具体不等式求解，则难点有二：一是要顾及的范围，则需要分的情况太多；二是具体的不等式可能是多项式与指数式混在一起的不等式，不易进行求解。所以考虑先搁置代数方法，去分析的图像性质，发现的两段解析式均可作图，所以考虑作出的图像，从而发现是增函数，从而无论在哪个范围，，从而解得：或答案：小炼有话说：含分段函数的不等式在处理上通常是两种方法：一种是利用代数手段，通过对进行分类讨论将不等式转变为具体的不等式求解(比如例3，例4）。另一种是通过作出分段函数的图象，数形结合，利用图像的特点解不等式（比如例5）。例6：已知函数.若，则的取值范围是A．B．C．D．思路：本题可以对进行分类讨论，以将变成具体不等式求解，但也可从的特点出发，考虑判断的奇偶性，通过作图可发现为偶函数，所以，所解不等式变为，再由图像可得只需，即答案：C小炼有话说：（1）本题判断函数的奇偶性可以简化运算，而想到这一点是源于抓住所解不等式中的特点。由此可见，有些题目的思路源于式子中的一些暗示（2）由于两段图像均易作出，所以在判断奇偶性时用的是图像法。对于某些不易作图的分段函数，在判断奇偶性时就需要用定义法了，下面以本题为例说说定义法如何判断：整体思想依然是找到，只是在代入过程中要注意的范围：设，则，，所以，即为偶函数例7：已知函数，若，则的值域是_______________解析：是一个分段函数，其分段标准以的大小为界，所以第一步先确定好的取值，解不等式：，解得：，故，分别求出每段最值，再取并集即可答案：例8：已知函数，若在单调递增，则实数的取值范围是_________思路：若在单调增，则在上任取，均有，在任取中就包含均在同一段取值的情况，所以可得要想在上单调增，起码每一段的解析式也应当是单调递增的，由此可得：，但仅仅满足这个条件是不够的。还有一种取值可能为不在同一段取值，若也满足，均有，通过作图可发现需要左边函数的最大值不大于右边函数的最小值。代入，有左段右端，即综上所述可得：答案：例9：已知，则下列选项错误的是（）A.①是的图像B.②是的图像C.③是的图像D.④是的图像思路：考虑先作出的图像（如右图所示），再按照选项进行验证即可：A.为向右平移一个单位，①正确；B.为关于轴对称的图像，②正确；C.为正半轴图像不变，负半轴作与正半轴关于轴对称的图像，③正确；D.的图像为在轴上方的图像不变，下方图像沿轴对称翻折。而图像均在轴上方，所以应与图像相同。④错误答案：D例10：函数，则下列结论正确的是（）A.函数在上为增函数B.函数的最小正周期为4C.函数是奇函数D.函数无最小值思路：可观察到的图像易于作出，所以考虑先作图，再看由图像能否判断各个选项，如图所示可得：BC选项错误，D选项存在最小值，所以D错误，A选项是正确的答案：A小炼有话说：（1）本题利用数形结合是最为简便的方法，一方面是因为本身便于作图，另一方面四个选项在图上也有具体的含义。（2）分段函数作图过程中，尤其在函数图象断开时，一定要注意端点处属于哪个解析式。本题中就属于部分，所以才存在最小值。三、近年模拟题题目精选1、已知函数若，则______2、已知，若，则__________.3、（2016，湖州中学期中）函数,若，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．4、已知，则的解集为______________5、（2015，北京）设函数①若，则的最小值为________②若恰有2个零点，则实数的取值范围是__________ 6、（2015，福建）若函数的值域是，则实数的取值范围是___________7、（2015，新课标II）设函数，则（）A.B.C.D.8、（2015，山东）设函数，则满足的的取值范围是（）A.B.C.D.9、已知函数，则的值域是（）A.B.C.D.10、已知函数，无论为何值，函数在上总是不单调，则的取值范围是____________11、已知，且，则使不等式成立的还应满足的条件为（）A.B.C.D.习题答案：1、答案：解析：，所以2、答案：或解析：若，则，无解；若，则，由解析式可得：或3、答案：C解析：当，即时；，故，故不成立；当，即时；，又在上显然成立即故，故选C．4、答案：解析：时，，可得，当时，，综上可得：5、答案：①②或解析：①时，，当时，，当时，，综上所述可得：②当时，为单调增函数，且，当时，解析式可能的零点为，因为恰有2个零点，所以的区域中至少有一个零点。当时，可知在各有一个零点，符合题意。当时，在已有两个零点，所以在不能有零点，故，综上所述：或6、答案：解析：从常系数函数入手，时，可得：，所以当时，的值域应为的子集，从而可知，所以，则，所以7、答案：C解析：由分段函数可得：，因为，所以，则8、答案：C解析：可将视为一个整体：，则有，根据分段函数特点可推断出，即，所以有或，解得：9、答案：C解析：，由三角函数性质可得：，即可求得值域为10、答案：解析：由得，解得，所以在单调递增，在单调递减。对于可知为单调函数或水平线。当单调递增时，无论为何值，只要将取到足够小，总能使为增函数。当单调递减或是为水平线时，可知恒不单调。所以11、答案：D解析：观察可得题目条件具备轮换对称的特点，所以可以给定序，不妨设，又由可知异号，从而，所以：即第8炼函数方程问题的分析一、基础知识：1、函数方程：含有未知函数的等式叫做函数方程，例如：都可称为函数方程。在高中阶段，涉及到函数方程有以下几个类型：（1）表示函数的某种性质：例如体现是偶函数；体现是周期为1的周期函数（可详见“函数对称性与周期性”一节）（2）可利用解方程组的思想解出涉及的函数的解析式：例如：，可用代替得，即（3）函数方程也是关于变量的恒等式，所以通过对变量赋特殊值得到某些数的函数值2、双变量函数方程的赋值方法：（1）对均赋特殊值，以得到某些点的函数值，其中有些函数值会对性质的推导起到关键作用，比如，在赋特殊值的过程中要注意所赋的值要符合函数定义域。（2）其中某一个变量不变，另一个赋特殊值，可得到单变量的恒等式，通常用于推断函数的性质3、常见函数所符合的函数方程：在填空选择题时可作为特殊的例子辅助处理，但是在解答题中不能用这些特殊的函数代表函数方程（1）：（2）：（3）①当时，：②当时，：二、典型例题例1：已知函数对任意的均有，且当时，（1）求证：为奇函数（2）求证：为上的增函数（1）思路：要证明奇函数，则需要出现在同一等式中，所以考虑令，则有，再通过代入特殊值计算出即可解：（1）令，则令，则解得为奇函数（2）思路：要证明单调递增，则需任取，且，去证明与的大小，结合等式，则需要让与分居等号的两侧，才能进行作差。所以考虑，进而。只需判断的符号即可解：任取，且，令，代入方程可得：，依题意可得：即为增函数小炼有话说：第（2）问将拆分为是本题证明的亮点，达到了让与分居等号的两侧的目的例2：已知定义在上的函数，对于任意实数都满足，且，当时，（1）求的值（2）求证：在上是增函数（3）求不等式：的解集解：（1）令，则有，解得或令可得：（2）思路：考虑证明单调递增，则需构造出，即可设且令，则有，从而，由和已知条件可得：所以需要证明，即，，可考虑结合题目条件和，令，则有，从而单调性可证证明：，则令，代入函数方程有：，下证由已知可得，时，所以只需证明时，令，即在上单调递增（3）思路：本题并没有的解析式，所以考虑利用函数的单调性求解。由（1）（2）问可得，从而，再根据单调性即可得到关于的不等式，解出不等式即可解：，且由（2）可得单调递增解得例3：定义在的函数满足关系，当时，，若，则的大小关系为（）A.B.C.D.思路：由比较函数值大小联想到考虑函数的单调性，先化简，由可得：，令解得：，即，所给方程左边已经作差，所以考虑，，则，因为，所以，从而，即，得到在单调递增，所以答案：D小炼有话说：本题在证明单调性时，因为考虑了中自变量的取值，所以只需考虑的单调性，缩小的范围使得判断的范围较容易。但也可将在中任取，但是在判断的范围会比较复杂，可利用不等式的等价变形来证：假设，因为且由可得成立，从而例4：函数的定义域为，满足，在区间上单调递增，若满足，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.思路：从所求中发现互为相反数，所以联想到判定是否具有奇偶性。令，则有，需求出：令，则，再令，则，所以，为偶函数。所以，所解不等式为，因为为偶函数，且区间上单调递增，所以自变量距离轴越近，则函数值越小，所以，即，解得，因为，所以的范围为答案：D例5：设角的终边在第一象限，函数的定义域为，且，当时，有，则使等式成立的的集合为思路：首先从所求出发，由确定代入的特殊值。令得：，则下一步需要确定的值，令，则有，所以，由角的终边在第一象限可得：，从而的集合为答案：例6：定义在上的函数满足：对于任意的，有，且时，有，设的最大值和最小值分别为，则的值为（）A.B.C.D.思路：由最值联想到函数的单调性，从而先考虑证明单调，令（其中），则可证明为增函数，从而，再利用函数方程求出的值即可解：，且，令代入函数方程可得：，在单调递增令，可得：答案：D例7：已知函数满足：，对任意实数都有，则（）A.B.C