考研数学二分类模拟254

考研数学二分类模拟254解答题1.

计算行列式．正确答案：解：

提示1直接按第1行(列)展开降阶计算．

提示2先第2，4列互换，再第2，4行互换，最后利用拉普拉斯展开式

D4=a1a2a3a4+b1b2b3b4-a1b2b3b4-b1a2a3b4[考点]行列式

2.

改变二次积分的顺序．正确答案：解：如图所示，积分区域D为D1与D2的并．

而

所以

[考点]二重积分

3.

求与

等价的正交单位向量组．正确答案：解：显然α1，α2，α3线性无关，利用施密特正交化法，令β1=α1，有

令，i=1，2，3，得

则η1，η2，η3就是与α1，α2，α3等价的正交单位向量组．[考点]特征值、特征向量及二次型

4.

设fij(t)是可微函数，1≤i，j≤n，令

证明

正确答案：证明：

[考点]行列式

5.

计算n阶行列式

正确答案：解：Dn中的每行元素之和均为a+(n-1)b，而且各行元素依次循环，将第2，3，…，n列加到第1列，则可提出公因子，再利用行列式的性质可得Dn=[a+(n-1)b](a-b)n-1．[考点]行列式

6.

．正确答案：解1：换元法．

设，则．代入得

解2：有理化．

[考点]一元函数微积分

7.

已知f(x)≥0且在[a，b]上连续，，k为实数，证明

正确答案：证1：对应用施瓦兹不等式，有

同理

两式相加即得结论．

证2：

其中D为正方形区域{(x，y)|a≤x≤b，a≤y≤b}．[考点]一元函数微积分

8.

设A，B是任意n阶矩阵，证明

r(E-AB)=r(E-BA)正确答案：证明：因为

目．

而均可逆，所以

故

r(E-AB)=r(E-BA)[考点]矩阵、向量、方程组

9.

求曲线的渐近线．正确答案：解：由于

所以y=0是曲线的水平渐近线；又

所以x=0是曲线的垂直渐近线；而

所以y=x是曲线的斜渐近线．[考点]定积分的应用

10.

证明：如果A是n阶正定矩阵，B是n阶半正定矩阵，那么A+B是正定矩阵．正确答案：证明：任取n维列向量α≠0，有

αT(A+B)α=αTAα+αTBα＞0

因此A+B是正定矩阵．[考点]特征值、特征向量及二次型

11.

若，求a，b．正确答案：解：由

可得，从而．又

由已知1-b=5，即b=-4．[考点]函数、极限

12.

设，求．正确答案：解：由于

y'(t)=-t4lnt2(2t)=-2t5lnt2，x'(t)=t2lnt2(2t)=2t3lnt2

因此

[考点]连续、导数、微分(Ⅰ)

13.

设0＜x＜y＜1，证明：．正确答案：证明：等价于证明．

为此，令．由于y＞x，故只需证f(t)单调递增．

再令g(t)=tlnt-(t-1)，则g'(t)=lnt，令g'(t)=0，解得t=1，再由g"(1)=1＞0知，点t=1为g(t)的唯一的极小值点，故t≠0时，g(t)=tlnt-(t-1)＞g(1)=0，所以f'(t)＞0，由此得f(t)单调递增．证毕．[考点]连续、导数、微分(Ⅱ)

14.

设三阶矩阵A=(α，γ1，γ2)，B=(β，γ1，γ2)，其中α，β，γ1，γ2是三维列向量，且|A|=3，|B|=4．|5A-2B|=______．正确答案：63[考点]行列式

15.

求的反函数．正确答案：解：当x＞0时，由于y=1+x2单调递增，因此其反函数存在，解出，y＞1；

当x=0时，y=0；

当x＜0时，y=-1-x2单调递减，其反函数亦存在，，y＜-1．

综上可得

即

[考点]函数、极限

16.

求的间断点，并分类．正确答案：解：x=-1，x=0，x=1，x=2为f(x)的间断点．

由，得x=-1为第二类间断点；

由，得x=0为可去间断点；

由，得x=1为第二类间断点；

由，得x=2为第二类间断点．[考点]函数、极限

17.

求由x2+(y-b)2=a2(0＜a≤b)所围成的封闭图形绕Ox轴旋转一周所得旋转体的体积．正确答案：解：．所求体积为

[考点]定积分的应用

求下列函数的定义域：18.

；正确答案：解：由x≠0，，得x≠0，-1，．故f(x)的定义域为．[考点]函数、极限

19.

正确答案：解：注意到指数函数ex为单调递增函数，故解得，即g(x)的定义域为．[考点]函数、极限

20.

．正确答案：解:当|a|=|b|≠0时，有

当|a|≠|b|时，有

[考点]一元函数微积分

21.

设α1，α2，…，αn为n个线性无关的n维向量，且与向量β正交．证明：向量β为零向量．正确答案：证1：反证法．不妨设β≠0，令k1α1+k2α2+…+knαn+k0β=0，等式两边左乘βT得

k1βTα1+k2βTα2+…+knβTαn+k0βTβ=0

由于α1，α2，…，αn与β正交，所以βTαi=0，i=1，2，…，n，从而k0βTβ=0，又因β≠0，所以βTβ＞0，进而推得k0=0．

于是k1α1+k2α2+…+knαn=0，再由α1，α2，…，αn线性无关，得k1=k2=…=kn=0，故α1，α2，…，α0，β线性无关，矛盾(因为当向量的个数