考研数学二分类模拟263

考研数学二分类模拟263解答题已知微分方程y'+y=f(x)，其中f(x)是R上的连续函数．1.

若f(x)=x，求方程的通解．正确答案：解：y=e-∫dx(∫xe∫dxdx+C)=e-x(∫x（江南博哥）exdx+C)=e-x(xex-ex+C)=Ce-x+x-1．[考点]一阶线性方程的求解，积分等式的证明．

[解析]根据一阶线性方程的解法求解即可．

一阶线性方程y'+P(x)y=Q(x)的通解可用

来表示，用于证明积分等式或不等式．

2.

若f(x)是周期为T的函数，证明：方程存在唯一的以T为周期的解．正确答案：证明：y'+y=f(x)的通解为

故当且仅当时，y(x+T)=y(x)，从而方程存在唯一的以T为周期的解．

[解析]应先求出y'+y=f(x)的通解y(x)，再确定满足y(x+T)=y(x)的唯一常数C．

3.

设A，B为2阶实对称矩阵，且B可逆，若二次型f(x1，x2)=xTAx和g(x1，x2)=xTBx可经过同一个非退化线性替换x=Py而化为标准形，试证明|λB-A|=0的根都是实数．正确答案：解：这里a1，a2，b1、b2都是实数，

由|λB-A|=0可得(λb1-a1)(λb2-a2)=0．

由|B|≠0可得b1b2≠0，解得均为实数．[考点]二次型化标准形．

[解析]二次型化标准形等价于二次型的矩阵合同于一个对角矩阵．

二次型化标准形的过程实际上是实对称矩阵合同于对角矩阵的过程．特别的，如果是正交变换，则实对称矩阵与对角矩阵也是相似关系．

4.

证明二次型不能经过同一个非退化线性替换化为标准形．正确答案：解：

由第一问得证．[考点]二次型化标准形．

5.

设f(x)在(-∞，+∞)内有定义，对任意的x1，x2有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)，且f'(0)=1，求f(x)．正确答案：解：对任意的x∈(-∞，+∞)，由导数定义得

由f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)得f(0)=0，从而

由此得f(x)=x+C．再由f(0)=0可知C=0，故f(x)=x．[考点]函数方程确定微分方程．

[解析]利用已知递推公式，结合导数定义求解．

当函数方程中出现f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)等形式的关系式时，经常用导数的定义或连续的定义求解．

6.

设二元函数

计算二重积分，其中D={(x，y)||x|+|y|≤2}．正确答案：解：如下图所示，记

D1={(x，y)|x+y≤2，x≥0，y≥0}，

D2={(x，y)|x2+y2≤2，x≥0，y≥0}，

则

其中，

[考点]二重积分的计算．

[解析]本题可先分割积分区域，再分别利用直角坐标和极坐标来计算两个不同区域上的二重积分．

当被积函数为分段函数时，可通过分割积分区域来计算二重积分．

7.

设0＜x1＜3，，证明数列{xn}收敛，并求此极限．正确答案：解：先证明数列{xn}的有界性，由0＜x1＜3得3-x1＞0，且

不妨令，则有

由数学归纳法知，{xn}有界．

再证明数列{xn}的单调性，当n≥2时，由

有xn+1≥xn，故数列{xn}单调增加．

由单调有界原理知，数列{xn}收敛，令，在递推公式两边取极限，得a=[考点]数列极限、单调有界原理．

[解析]利用结论：单调有界数列必收敛．

数学归纳法是证明题中常见的方法，特别是在数列极限求解中，还要熟记将平均值不等式a＞0，b＞0，经常用来证明数列的有界性．

求函数极限：8.

．正确答案：解：这是∞-∞型未定式，通分并进行等价无穷小代换得

[考点]∞-∞型未定式的极限求解．

[解析]通分结合等价无穷小代换求解函数极限．

对于∞-∞型未定式的极限求解，先通分化差为积商，再利用等价无穷小代换和洛必达法则．在求解过程中可以通过极限来确定复杂函数的等价无穷小．

9.

正确答案：解：因为．从而

[考点]∞-∞型未定式的极限求解．

10.

证明：正确答案：证明：令f(x)=arcsinx+arccosx，x∈[-1，1]．由于故f(x)=C．又因为[考点]拉格朗日中值定理．

[解析]要证明函数恒等于常数，只要证明其导函数在区间上恒等于零．

拉格朗日中值定理的推论：在某区间I上，对任意的x∈I，有f'(x)≡0，则f(x)=C．类似的可证明如下结论：

11.

设函数求函数f(x)的具体表达式并讨论其连续性．正确答案：解：(1)显然f(x)在x=0和x=-1处无定义，，所以

当x＞0时，f(x)=0；当x＜0且x≠-1时，

(2)

因为，所以但f(x)在x=0处无定义，所以x=0是f(x)的可去间断点．

除了x=-1和x=0两点外，f(x)在其定义域内连续．

又因为

所以，故x=-1是f(x)的跳跃间断点．[考点]函数连续性判断．

[解析]求极限确定函数的表达式，讨论函数的连续性．

有一平底容器，其内侧壁是由曲线x=φ(y)(y≥0)绕y轴旋转而成的旋转曲面(见下图)，容器底面圆的半径为2m．根据设计要求，当以3m3/min的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以πm2/min的速率均匀扩大(假设注入液体前，容器内无液体)．

(注：m表示长度单位米，min表示时间单位分．)12.

根据t时刻液面的面积，写出t与φ(y)之间的关系式．正确答案：解：由πφ2(y)=47π+πt得t=φ2(y)-4.[考点]微分方程的物理应用．

[解析]如下图所示，由“液面的面积以πm2/min的速率均匀扩大”可知t时刻液面的面积为4π+πt，即πφ2(y)=4π+πt，

由“以3m3/min的速率向容器内注入液体”可知t时刻液体的体积为3t，即．两边对y求导就能得到一个可分离变量的微分方程．

本题的关键在于根据物理背景列出微分方程．

13.

求曲线x=φ(y)的方程．正确答案：解：由题意知，两边对y求导，得πφ2(y)=6φ(y)φ'(y)，即πφ(y)=6φ'(y)．解此微分方程，得

令y=0得φ(0)=2，从而C=2．

故所求曲线方程为[考点]微分方程的物理应用．

14.

设u=f(x，y，z)，φ(x2，ey，z)=0，y=sinx，其中f，φ都具有一阶连续偏导数，且正确答案：解：在φ(x2，esinx，z)=0两边对x求导，得

[考点]多元复合函数的求导法则，一元隐函数的求导．

[解析]本题可看作f有三个中间变量x，y，z，且y，z都与x有关．

本题的关键在于理清f的复合结构．

15.

设向量组α1=(1，2，-1，1)，α2=(1，3-1，2)，α3=(2，5，0，5)，α4=(1，2，1，3)，α5=(5，12，1，13)，试求出所有的极大线性无关组．正确答案：解：记，对A进行初等行变换，有

选定B的前3行，明显取B的1，2，3；1，2，4；1，2，5；1，3，4；1，3，5或1，4，5列得到的3阶子式均非零，所以

α1，α2，α3；α1，α2，α4；α1，α2，α5；α1，α3，α4；α1，α3，α5；α1，α4，α5

①

均为原向量组的极大线性无关组，而若取B的2，3，4；2，3，5；2，4，5或3，4，5列得到的3阶子式均为零，则对应的α2，α3，α4；α2，α3，α5；α2，α4，α5；α3，α4，α5均不构成原向量组的极大线性无关组，即式①所列出的6个向量组为原向量组的所有极大线性无关组．[考点]求极大线性无关组．

[解析]将向量组按列拼成矩阵，作初等行变换，化为行最简形．

虽然向量组的极大线性无关组未必唯一，但是任意两个极大线性无关组是等价的，所以只需求出一个即可，但是本题要求求出所有的，因此为了更好地判别向量的线性相关性，这里将向量组按列拼成的矩阵化为了行最简形．

16.

在上半平面求一条向上凹的曲线，其上任一点P(x，y)处的曲率等于此曲线在该点处的法线段PQ长度的倒数(Q是法线与x轴的交点)，且曲线在点(1，1)处的切线与x轴平行．正确答案：解：曲线在点P(x，y)处的法线为．令Y=0，则X=x+yy'，故点Q的坐标为(x+yy'，0)，从而PQ的长度为

由题意知，从而yy"=1+(y')2．

令y'=p(y)，则解得p2=C1y2-1．

由y|x=1=1，y'|x=1=0得C1=1，故

由y|x=1=1得，故所求曲线方程为[考点]微分方程的几何应用，曲率，可降阶的微分方程的解法．

[解析]根据“曲线上任一点P(x，y)处的曲率等于此曲线在该点处的法线段PQ长度的倒数”，便能得到一个形如y"=f(y，y')的可降阶的微分方程．

17.

设函数u(x)和v(x)可导，利用导数定义证明：

[u(x)v(x)]'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)．正确答案：证明：

[考点]导数的定义及运算性质．

[解析]利用导数的定义证明两乘积函数的导数．

要掌握导数的定义，并熟练掌握导数的运算性质，写清证明过程，并进行推广．

18.

设函数u1(x)，u2(x)，…，un(x)可导，f(x)=u1(x)u2(x)…un(x)，试写出f(x)的求导公式．正确答案：解：反复用两个函数乘积的求导公式．

[考点]导数的定义及运算性质．

设二次型的矩阵是一个初等矩阵．19.

求正交变换x=Qy而化二次型为标准形．正确答案：解：因二次型的矩阵为初等矩阵，所以a=1．f(x1，x2，x3)=

得A的特征值为λ1=λ2=1，λ3=-1.

当λ1=λ2=1时，

得线性无关的特征向量ξ1=(1，0，1)T，ξ2=(0，1，0)T.

当λ3=-1时，

得线性无关的特征向量ξ3=(1，0，-1)T．

ξ1，ξ2，ξ3已相互正交，只需单位化：

即为所求正交矩阵．

记y=(y1，y2，y3)T，则经正交变换x=Qy，有

[考点]正交变换化二次型为标准形．

[解析]利用正交变换的性质求解．

在正交变换下，特别注意以下性质：

(1)对角矩阵主对角线元素即为全部特征值，而正交矩阵Q的列向量即为两两正交且单位的特征向量．

(2)x的长度与y的长度相等，即有|x|=|y|或xTx=yTy．

本题的第二问用到了性质(2).

20.

求三元函数的最大值．正确答案：解：由第一问，又

[考点]正交变换化二次型为标准形．

21.

已知平面区域，计算二重积分正确答案：解：

[考点]二重积分的计算．

[解析]本题可利用极坐标来计算二重积分．

心形线是常用曲线，应掌握其方程和图形．

22.

设y(x)是微分方程2xy'-4y=2lnx-1满足的解．求曲线y=y(x)(1≤x≤e)的弧长．正确答案：解：由2xy'-4y=2lnx-1可变形为一阶线性微分方程由求解公式得

其中C为任意常数．又由于，将其代入上式有

因此，y(x)在[1，e]上的弧长为

[考点]用定积分求平面曲线的弧长．

[解析]解一阶线性微分方程确定曲线方程，求解曲线弧长．

23.

已知平面区域

D={(x，y)||x|≤y，(x2+y2)3≤y4}．

计算二重积分正确答案：解：由于把(-x，y)代入D后D不变，故D关于y轴对称，从而

其中D1是D位于y轴右侧的部分．

[考点]二重积分的计算．

[解析]本题可先利用二重积分的对称性，再利用极坐标来计算二重积分．

本题难以画出积分区域的图形，这是很多考生确定积分限时的障碍．

24.

设函数y=f(x)由参数方程所确定，其中具有二阶导数，且正确答案：解：

[考点]由参数方程确定的函数的求导，可降阶的微分方程的求解．

[解析]先根据由参数方程确定的函数的求导法则求出，然后通过便可得到一个形如y"=f(x，y')的可降阶的微分方程．

本题具有一定的综合性，将由参数方程确定的函数的求导与微分方程的求解相结合进行考查．

25.

已知函数在(0，+∞)内有界，求常数a的范围．正确答案：解：显然函数在(0，+∞)内连续，根据函数极限存在的局部有界性及闭区间上连续函数的性质知，当极限存在时，函数f(x)在(0，+∞)内有界．

(1)显然，当a≤0时，

当a＞0时，

故当a≤2时，极限存在．

(2)当a=1时，不妨令nπ≤x＜(n+1)π，当x→+∞时，n→∞，此时