2024-2025学年新教材高中数学第七章概率章末综合测评含解析北师大版必修第一册

PAGE章末综合测评(七)概率(满分：150分时间：120分钟)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．西周初数学家商高在公元前1000年发觉勾股定理的一个特例，勾三，股四，弦五．此发觉早于毕达哥拉斯定理五百到六百年，我们把可以构成一个直角三角形三边的一组正整数(a，b，c)称为勾股数．现从(3，4，5)，(5，12，13)，(6，8，10)，(7，24，25)，(8，15，17)，(9，40，41)，(9，12，15)，(10，24，26)，(15，20，25)，(15，36，39)这几组勾股数中随机抽取1组，则被抽出的这组勾股数满意2b＝a＋c的概率为()A．eq\f(2,5)B．eq\f(7,9)C．eq\f(7,8)D．eq\f(9,10)A[从这10组勾股数随机抽取1组，共10种抽取方法，其中满意2b＝a＋c的有：(3，4，5)，(6，8，10)，(9，12，15)，(15，20，25)，共4种，故所求概率为：P＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).]2．一个口袋装有2个白球和3个黑球，则先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率是()A．eq\f(2,3)B．eq\f(1,4)C．eq\f(2,5)D．eq\f(1,5)C[由于是有放回摸球，所以其次次摸出1个白球，与第一次摸出白球无关，即相互独立，所以其次次摸出白球的概率为eq\f(2,5).]3．抛掷一颗质地匀称的骰子，视察掷出的点数，设事务A为“出现奇数点”，事务B为“出现2点”，已知P(A)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(1,6)，则“出现奇数点或2点”的概率为()A．eq\f(1,6)B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2)D．eq\f(2,3)D[∵“出现奇数点”与“出现2点”两事务互斥，∴P＝P(A)＋P(B)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,6)＝eq\f(2,3).]4．袋中装白球和黑球各3个，从中任取2个，则至多有一个黑球的概率是()A．eq\f(1,5)B．eq\f(4,5)C．eq\f(1,3)D．eq\f(1,2)B[把白球编号为1，3，5，黑球编号为2，4，6.从中任取2个，样本空间Ω＝{12，13，14，15，16，23，24，25，26，34，35，36，45，46，56}，样本点总数为15个．其中至多有一个黑球的样本点有12个．由古典概型公式得P＝eq\f(12,15)＝eq\f(4,5).]5．小敏打开计算机时，遗忘了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，其次位是1，2，3，4，5中的一个数字，则小敏输入一次密码就能够胜利开机的概率是()A．eq\f(8,15)B．eq\f(1,8)C．eq\f(1,15)D．eq\f(1,30)C[∵Ω＝{(M，1)，(M，2)，(M，3)，(M，4)，(M，5)，(I，1)，(I，2)，(I，3)，(I，4)，(I，5)，(N，1)，(N，2)，(N，3)，(N，4)，(N，5)}，∴事务总数有15种．∵正确的开机密码只有1种，∴P＝eq\f(1,15).]6．若某公司从五位高校毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为()A．eq\f(2,3)B．eq\f(2,5)C．eq\f(3,5)D．eq\f(9,10)D[事务“甲或乙被录用”的对立事务是“甲和乙都未被录用”，从五位学生中选三人的总的样本点的个数为10，“甲和乙都未被录用”只有1种状况，依据古典概型和对立事务的概率公式可得，甲或乙被录用的概率P＝1－eq\f(1,10)＝eq\f(9,10).]7．某运动会期间，从来自A高校的2名志愿者和来自B高校的4名志愿者中随机抽取2人到体操竞赛场馆服务，至少有一名A高校志愿者的概率是()A．eq\f(1,15)B．eq\f(2,5)C．eq\f(3,5)D．eq\f(14,15)C[用列举法可得样本空间中样本点的总数为15，所求概率的事务包括的样本点的个数为9，∴P＝eq\f(9,15)＝eq\f(3,5).]8．一位家长送孩子去幼儿园的路上要经过4个有红绿灯的路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是eq\f(1,3)，遇到红灯时停留的时间都是2min.则这位家长送孩子上学到第三个路口时首次遇到红灯的概率为()A．eq\f(1,3)B．eq\f(2,27)C．eq\f(4,27)D．eq\f(5,27)C[设“这位家长送孩子上学到第三个路口时首次遇到红灯”为事务A，因为事务A等于事务“这位家长送孩子在第一个路口和其次个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事务A的概率为P(A)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))×eq\f(1,3)＝eq\f(4,27).故选C.]二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分．9．下列事务是随机事务的是()①同种电荷，相互排斥；②明天是晴天；③自由下落的物体作匀速直线运动；④函数y＝ax(a＞0且a≠1)在定义域上是增函数．A．①③B．①C．②D．④CD[②④是随机事务；①是必定事务；③是不行能事务．]10．从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，则与事务“两球都为白球”互斥而非对立的事务是以下事务中的：①两球都不是白球；②两球恰有一白球；③两球至少有一个白球．()A．①B．②C．③D．①②③AB[从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，全部的样本点为：白白，白红，白黑，红红，红黑，黑黑．除“两球都不是白球”外，还有其他事务如白红可能发生，故①与“两球都为白球”互斥但不对立．②符合，理由同上．③两球至少有一个白球，其中包含两个都是白球，故不互斥．]11．下列试验不属于古典概型的是()①从装有大小、形态完全相同的红、黑、绿各一球的袋子中随意取出一球，取出的球为红色的概率；②在公交车站候车不超过10分钟的概率；③同时抛掷两枚硬币，视察出现“两正”“两反”“一正一反”的次数；④从一桶水中取出100mL，视察是否含有大肠杆菌．A．①B．②C．③D．④BCD[古典概型的两个基本特征是有限性和等可能性，①符合两个特征，是古典概型；②④中的样本点的个数无限多，是几何概型；对于③，出现“两正”“两反”“一正一反”的可能性不相等，故不是古典概型．]12．在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，以eq\f(7,10)为概率的事务不行能是()A．恰有1件一等品 B．至少有一件一等品C．至多有一件一等品 D．都不是一等品ABD[将3件一等品编号为1，2，3，2件二等品编号为4，5，从中任取2件有10种取法：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5).其中恰含有1件一等品的取法有：(1，4)，(1，5)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，恰有1件一等品的概率为P1＝eq\f(3,5)，恰有2件一等品的取法有：(1，2)，(1，3)，(2，3).故恰有2件一等品的概率为P2＝eq\f(3,10)，其对立事务是“至多有一件一等品”，概率为P3＝1－P2＝1－eq\f(3,10)＝eq\f(7,10).]三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上13．某箱内有十张标有数字0到9的卡片，从中任取一张，则取到卡片上的数字不小于6的概率是________．eq\f(2,5)[数字不小于6有6，7，8，9共4个样本点，而样本点的总数为10，故P＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).]14．一枚硬币连掷三次，事务A为“三次反面对上”，事务B为“恰有一次正面对上”，事务C为“至少两次正面对上”，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝________．1[事务A，B，C之间是互斥的，且又是一枚硬币连掷三次的全部结果，所以P(A)＋P(B)＋P(C)＝1.]15．《九章算术》是中国古代数学专著，全书采纳问题集的形式，收有246个与生产、生活实践有联系的应用问题，其中“均赋粟”问题讲的是古代劳动人民的赋税问题．现拟编试题如下，已知甲、乙、丙、丁四人向国家交税，则甲必需第一个交且乙不是第三个交的概率为________．eq\f(1,6)[依题意，全部的样本点为：甲—乙—丙—丁，甲—乙—丁—丙，甲—丙—乙—丁，甲—丙—丁—乙，甲—丁—丙—乙，甲—丁—乙—丙，乙、丙、丁第一个交的状况也各有6种，故总的事务数有24种，其中满意条件的样本点为：甲—乙—丁—丙，甲—乙—丙—丁，甲—丙—丁—乙，甲—丁—丙—乙，共4种，故所求概率为eq\f(4,24)＝eq\f(1,6).]16．如图所示的电路中a，b，c三个开关，每个开关开或关的概率都是eq\f(1,2)，且是相互独立的，则灯泡甲亮的概率为________．eq\f(1,8)[“设a闭合”为事务A，“b闭合”为事务B，“c闭合”为事务C，则甲灯亮应为事务Aeq\a\vs4\al(\x\to(B))C，且A，B，C之间彼此独立，且P(A)＝P(B)＝P(C)＝eq\f(1,2)，由独立事务概率公式知P(Aeq\a\vs4\al(\x\to(B))C)＝P(A)P(eq\x\to(B))P(C)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,8).]三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)某校在老师外出培训学习活动中，在一个月派出的培训人数及其概率如下表所示：派出人数2人及以下3456人及以上概率0.10.460.30.10.04(1)求有4个人或5个人培训的概率；(2)求至少有3个人培训的概率．[解](1)设有2人以下培训为事务A，有3人培训为事务B，有4人培训为事务C，有5人培训为事务D，有6人及以上培训为事务E，所以有4个人或5个人培训的事务为事务C或事务D，A，B，C，D，E为互斥事务，依据互斥事务的概率的加法公式可知P(C∪D)＝P(C)＋P(D)＝0.3＋0.1＝0.4.(2)至少有3个人培训的对立事务为有2人及以下培训，所以由对立事务的概率可知P＝1－P(A)＝1－0.1＝0.9.18．(本小题满分12分)用一台自动机床加工一批螺母，从中抽出100个逐个进行直径(单位：cm)检验，结果如下：直径(单位：cm)个数直径(单位：cm)个数(6.88，6.89]1(6.93，6.94]26(6.89，6.90]2(6.94，6.95]15(6.90，6.91]10(6.95，9.96]8(6.91，6.92]17(6.96，6.97]2(6.92，6.93]17(6.97，6.98]2从这100个螺母中随意取一个，检验其直径的大小，求下列事务的频率：(1)事务A：螺母的直径在(6.93，6.95]范围内；(2)事务B：螺母的直径在(6.91，6.95]范围内；(3)事务C：螺母的直径大于6.96.[解](1)螺母的直径在(6.93，6.95]范围内的频数为nA＝26＋15＝41，所以事务A的频率为eq\f(41,100)＝0.41.(2)螺母的直径在(6.91，6.95]范围内的频数为nB＝17＋17＋26＋15＝75.所以事务B的频率为eq\f(75,100)＝0.75.(3)螺母的直径大于6.96的频数为nC＝2＋2＝4，所以事务C的频率为eq\f(4,100)＝0.04.19．(本小题满分12分)甲、乙两人玩一种嬉戏，每次由甲、乙各出1到5根手指，若和为偶数算甲赢，否则算乙赢．(1)若以A表示和为6的事务，求P(A)；(2)现连玩三次，若以B表示甲至少赢一次的事务，C表示乙至少赢两次的事务，试问B与C是否为互斥事务？为什么？(3)这种嬉戏规则公允吗？试说明理由．[解](1)甲、乙出手指都有5种可能，因此样本点的总数为5×5＝25，事务A包括甲、乙出的手指的状况有(1，5)，(5，1)，(2，4)，(4，2)，(3，3)共5种状况，∴P(A)＝eq\f(5,25)＝eq\f(1,5).(2)B与C不是互斥事务．因为事务B与C可以同时发生，如甲赢一次，乙赢两次的事务即符合题意．(3)这种嬉戏规则不公允．由(1)知和为偶数的基本样本点的个数为13个．(1，1)，(1，3)，(1，5)，(2，2)，(2，4)，(3，1)，(3，3)，(3，5)，(4，2)，(4，4)，(5，1)，(5，3)，(5，5).所以甲赢的概率为eq\f(13,25)，乙赢的概率为eq\f(12,25).所以这种嬉戏规则不公允．20．(本小题满分12分)A、B两个箱子分别装有标号为0、1、2的三种卡片，每种卡片的张数如表所示．(1)从A、B箱中各取1张卡片，用x表示取出的2张卡片的数字之积，求x＝2的概率；(2)从A、B箱中各取1张卡片，用y表示取出的2张卡片的数字之和，求x＝0且y＝2的概率．[解](1)记事务A＝{从A、B箱中各取1张卡片，2张卡片的数字之积等于2}．样本点的总个数为6×5＝30，事务A包含样本点的个数为5.由古典概型的概率公式得P(A)＝eq\f(5,30)＝eq\f(1,6).则x＝2的概率为eq\f(1,6).(2)记事务B＝{从A、B箱中各取1张卡片，其数字之和为2且积为0}．事务B包含样本点的个数为10.由古典概型的概率公式得P(B)＝eq\f(10,30)＝eq\f(1,3).则x＝0且y＝2的概率为eq\f(1,3).21．(本小题满分12分)某产品的三个质量指标分别为x，y，z，用综合指标S＝x＋y＋z评价该产品的等级．若S≤4，则该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：产品编号A1A2A3A4A5质量指标(x，y，z)(1，1，2)(2，1，1)(2，2，2)(1，1，1)(1，2，1)产品编号A6A7A8A9A10质量指标(x，y，z)(1，2，2)(2，1，1)(2，2，1)(1，1，1)(2，1，2)(1)利用上表供应的样本数据估计该批产品的一等品率；(2)在该样本的一等品中，随机抽取2件产品．①用产品编号列出全部可能的结果；②设事务B为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于4”，求事务B发生的[解](1)计算10件产品的综合指标S，如下表：产品编号A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10S4463454535其中S≤4的有A1，A2，A4，A5，A7，A9，共6件，故该样本的一等品率为eq\f(6,10)＝0.6，从而可估计该批产品的一等品率为0.6.(2)①在该样本的一等品中，随机抽取2件产品的全部可能结果为{A1，A2}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A1，A9}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A2，A9}，{A4，A5}，{A4，A7}，{A4，A9}，{A5，A7}，{A5，A9}，{A7，A9}，共15种.②在该样本的一等品中，综合指标S等于4的产品编号分别为A1，A2，A5，A7，则事务B发生的全部可能结果为{A1，A2}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A5，A7}，共6种．所以P(B)＝eq\f(6,15)＝eq\f(2,5).22．(本小题满分12分)某重点中学为了解高一年级学生身体发育状况，对全校700名高一年级学生按性别进行分层抽样检查，测得身高(单位：cm)频数分布表如表1、表2.表1：男生身高频数分布表身高(cm)[