2023-2024学年江苏省扬州市高一下学期期末数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省扬州市2023-2024学年高一下学期期末数学试题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.）1.设复数满足，则（）A B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由可得，所以.故选：B.2.方程的解所在区间为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗令，在上连续，且单调递增，对于A，因为，，所以的零点不在内，所以A错误；对于B，因为，，所以的零点不在内，所以B错误；对于C，因为，，所以的零点在内，所以方程的解所在区间为，所以C正确；对于D，因为，，所以的零点不在内，所以D错误.故选：C.3.数据的45百分位数为（）A.73 B.76 C.77 D.78〖答案〗B〖解析〗因为，所以这10个数的45百分位数为第5个数76.故选：B.4.已知平面向量，则在上的投影向量为（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由可得，，根据投影向量的定义可得在上的投影向量为.故选：A.5.如图，为了测量河对岸两点之间的距离，在河岸这边找到在同一直线上的三点.从点测得，从点测得，从点测得.若测得（单位：百米），则两点的距离为（）百米.A. B. C. D.3〖答案〗D〖解析〗在中，，，则，，在中，，，，则，，，在中，，，则，.故选：.6.在正方体中，分别是棱的中点，下列结论正确的是（）A. B.C.平面 D.平面平面〖答案〗C〖解析〗对于A，连接，如下图所示：因为分别是棱的中点，所以，由正方体性质可得，因此可得，而相交，所以错误，即A错误；对于B，取的中点，连接，如下图所示：易知，，所以即为异面直线与所成的角（或其补角）；不妨设正方体的棱长为2，则，，显然，可知不是直角，所以与不垂直，即B错误；对于C，连接，如下图所示：由正方体性质可得平面，而平面，所以；因为是正方形，所以，又，平面，所以平面，又因为分别是棱的中点，所以，可得平面，即C正确；对于D，如下图所示：易知平面，且，而平面，所以平面；因此可得平面与平面有公共点，可知两平面必有一条过的共公交线；因此平面平面是错误的，即D错误.故选：C.7.如图，在中，是上的两个三等分点，，则的值为（）A.50 B.80 C.86 D.110〖答案〗B〖解析〗因为在中，是上的两个三等分点，，所以，，所以.故选：B.8.已知，则值（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，所以，所以，所以，所以，所以，所以.故选：D.二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.）9.在中，角所对的边为，根据下列条件解三角形，其中仅有一解的有（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗对于A，三角形中，已知三边，由三角形全等知，三角形的形状唯一确定，故仅有一解，即A正确；对于B，三角形中，已知两个角和夹边，由三角形全等知，三角形的形状唯一确定，故仅有一解，即B正确；对于C，由正弦定理，可得，，因，则，因，结合正弦函数的图象可知角有两解，故C错误；对于D，三角形中，已知两边和夹角，由三角形全等知，三角形的形状唯一确定，故仅有一解，即D正确.故选：ABD.10.连续抛掷两次骰子，“第一次抛掷，结果向上的点数小于3”记为事件A，“第二次抛掷，结果向上的点数是偶数”记为事件B，“两次拋掷，结果向上的点数之和为奇数”记为事件，则下列叙述中正确的有（）A.A与互斥 B.A与相互独立C.与对立 D.〖答案〗BD〖解析〗A选项，事件A中的基本事件有，，事件B中的基本事件有，，，故，事件A和事件B不互斥，A错误；B选项，连续抛掷两次骰子，共有36种情况，其中事件A中的基本事件数为12，故，事件C中的基本事件有，，共18种情况，故，事件AC中的基本事件有，共9种情况，故，由于，故A与相互独立，B正确；C选项，由AB选项知，，事件B与事件C不互斥，故不对立，C错误；D选项，事件中的基本事件有，，，，，共24种情况，故，D正确.故选：BD.11.如图，正方形的中心为，边长为4，将其沿对角线折成直二面角，设为的中点，为的中点，则下列结论正确的有（）A.三棱锥的外接球表面积为B.直线与平面所成角的正切值为C.点到平面距离为D.三角形沿直线旋转一周得到的旋转体的体积为〖答案〗ACD〖解析〗对于A，由于，所以O为三棱锥的球心，表面积为，A正确；对于B，过M作MH⊥AC于H，则MH⊥平面ABC，所以∠MNH即为直线MN与平面ABC所成的角；易知MH=，NH=，所以，B错误；对于C，由，所以，又，所以，，所以，所以C到平面OMN的距离，C正确；对于D，过O作OT⊥MN于T，则旋转体体积是以OT为底面半径，以TM为高的圆锥的体积的两倍，所以，D正确.故选：ACD.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）12.已知一个正四棱台的体积为，上､下底面边长分别为，则棱台的高为__________.〖答案〗〖解析〗设棱台高为，由棱台的体积公式知，其中分别为上下底面面积.故〖答案〗为：6.13.若复数满足，则的最小值是__________.〖答案〗〖解析〗如图，设复数对应的点为，则由可知点到点的距离为1，即点的轨迹为以点为圆心，以1为半径的圆，而则表示动点到原点的距离，由图可知，圆上与原点距离最小的点为，故的最小值是1.故〖答案〗为：1.14.已知的面积为满足条件，则__________；若，延长至点，使得，则__________.〖答案〗〖解析〗由题得，，因为，所以；由可得，设，由正弦定理可知，所以，如图所示：过A作，交BC的于E点，，，所以在中可算得.故〖答案〗为：.四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知.设.（1）若三点共线，求值；（2）若，求的值.解：（1）因为，，又因为三点共线，所以，则，解得.（2）由，可得，即，解得.16.某保险公司为了给年龄在20~70岁的民众提供某种医疗保障，设计了一款针对某疾病的保险.现从10000名参保人员中随机抽取100名进行分析，并按年龄段分成了五组，其频率分布直方图如图所示，每人每年所交纳的保费与参保年龄如下表所示：年龄保费（单位：元）（1）若采用分层抽样的方法，从年龄段在和内的参保人员中共抽取6人进行问卷调查，再从中选取2人进行调查对该种保险的满意度，求这2人中恰好有1人年龄段在内的概率.（2）由于10000人参加保险，该公司每年为此项保险支出的各种费用为200万元.为使公司不亏本，则年龄段的参保人员每人每年需要缴纳的保费至少为多少元？解：（1）由得，设“抽取2人中恰好有1人年龄段在内”为事件，由题设可知，年龄在和内的频率分别为0.16和0.32，则抽取的6人中，年龄在内的有2人，年龄在内的有4人，记年龄在内2位参保人员为，年龄在的4位参保人员为，则从6人中任取2人，样本空间，共包含15个样本点，共包含8个样本点，所以.（2）保险公司每年收取的保费为：，所以要使公司不亏本，则，即，解得，所以年龄段需要缴纳的保费至少为250元.17.已知函数.（1）当时，求函数的值域；（2）求函数在区间上的所有零点之和.解：（1）易知，因为，所以，由正弦函数单调性可得，则的值域为.（2）因为，所以，由得，所以，解得，所以函数在区间上的所有零点之和为.18.如图，在斜三棱柱中，侧面为菱形，，为中点，与的交点为.（1）求证：//平面；（2）求证：平面；（3）求二面角的正弦值.解：（1）如图（1），连接，由三棱柱可知侧面为平行四边形，所以为中点；又因为为中点，所以//，又平面平面，所以//平面.（2）如图（2），连接，由菱形可知，因为，可得为等边三角形；因是中点，则，且；由可得，；因为，则有，即，又平面平面，故平面.（3）由（2）可知平面，因为平面，所以平面平面；如图（3），过点作，垂足为，过作，垂足为，连接，因为平面平面平面，所以平面，因为平面平面，所以；因为平面平面，所以平面，又平面，所以，所以为二面角的平面角，在中，，可得，在中，，可得，在中，，可得，因为，所以，即二面角的正弦值为.19.如图所示，已知是以为斜边的等腰直角三角形，在中，，.（1）若，求的面积；（2）①求的值；②求的最大值.解：（1）在中，由余弦定理得，，且是等腰直角三角形，则.（2）①设，因为，由余弦定理可得，，，即.②在中，，由正弦定理可得，则，，又，在中，由余弦定理得（其中为锐角，且），由可得，所以当时，即时，取得最大值.江苏省扬州市2023-2024学年高一下学期期末数学试题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.）1.设复数满足，则（）A B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由可得，所以.故选：B.2.方程的解所在区间为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗令，在上连续，且单调递增，对于A，因为，，所以的零点不在内，所以A错误；对于B，因为，，所以的零点不在内，所以B错误；对于C，因为，，所以的零点在内，所以方程的解所在区间为，所以C正确；对于D，因为，，所以的零点不在内，所以D错误.故选：C.3.数据的45百分位数为（）A.73 B.76 C.77 D.78〖答案〗B〖解析〗因为，所以这10个数的45百分位数为第5个数76.故选：B.4.已知平面向量，则在上的投影向量为（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由可得，，根据投影向量的定义可得在上的投影向量为.故选：A.5.如图，为了测量河对岸两点之间的距离，在河岸这边找到在同一直线上的三点.从点测得，从点测得，从点测得.若测得（单位：百米），则两点的距离为（）百米.A. B. C. D.3〖答案〗D〖解析〗在中，，，则，，在中，，，，则，，，在中，，，则，.故选：.6.在正方体中，分别是棱的中点，下列结论正确的是（）A. B.C.平面 D.平面平面〖答案〗C〖解析〗对于A，连接，如下图所示：因为分别是棱的中点，所以，由正方体性质可得，因此可得，而相交，所以错误，即A错误；对于B，取的中点，连接，如下图所示：易知，，所以即为异面直线与所成的角（或其补角）；不妨设正方体的棱长为2，则，，显然，可知不是直角，所以与不垂直，即B错误；对于C，连接，如下图所示：由正方体性质可得平面，而平面，所以；因为是正方形，所以，又，平面，所以平面，又因为分别是棱的中点，所以，可得平面，即C正确；对于D，如下图所示：易知平面，且，而平面，所以平面；因此可得平面与平面有公共点，可知两平面必有一条过的共公交线；因此平面平面是错误的，即D错误.故选：C.7.如图，在中，是上的两个三等分点，，则的值为（）A.50 B.80 C.86 D.110〖答案〗B〖解析〗因为在中，是上的两个三等分点，，所以，，所以.故选：B.8.已知，则值（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，所以，所以，所以，所以，所以，所以.故选：D.二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.）9.在中，角所对的边为，根据下列条件解三角形，其中仅有一解的有（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗对于A，三角形中，已知三边，由三角形全等知，三角形的形状唯一确定，故仅有一解，即A正确；对于B，三角形中，已知两个角和夹边，由三角形全等知，三角形的形状唯一确定，故仅有一解，即B正确；对于C，由正弦定理，可得，，因，则，因，结合正弦函数的图象可知角有两解，故C错误；对于D，三角形中，已知两边和夹角，由三角形全等知，三角形的形状唯一确定，故仅有一解，即D正确.故选：ABD.10.连续抛掷两次骰子，“第一次抛掷，结果向上的点数小于3”记为事件A，“第二次抛掷，结果向上的点数是偶数”记为事件B，“两次拋掷，结果向上的点数之和为奇数”记为事件，则下列叙述中正确的有（）A.A与互斥 B.A与相互独立C.与对立 D.〖答案〗BD〖解析〗A选项，事件A中的基本事件有，，事件B中的基本事件有，，，故，事件A和事件B不互斥，A错误；B选项，连续抛掷两次骰子，共有36种情况，其中事件A中的基本事件数为12，故，事件C中的基本事件有，，共18种情况，故，事件AC中的基本事件有，共9种情况，故，由于，故A与相互独立，B正确；C选项，由AB选项知，，事件B与事件C不互斥，故不对立，C错误；D选项，事件中的基本事件有，，，，，共24种情况，故，D正确.故选：BD.11.如图，正方形的中心为，边长为4，将其沿对角线折成直二面角，设为的中点，为的中点，则下列结论正确的有（）A.三棱锥的外接球表面积为B.直线与平面所成角的正切值为C.点到平面距离为D.三角形沿直线旋转一周得到的旋转体的体积为〖答案〗ACD〖解析〗对于A，由于，所以O为三棱锥的球心，表面积为，A正确；对于B，过M作MH⊥AC于H，则MH⊥平面ABC，所以∠MNH即为直线MN与平面ABC所成的角；易知MH=，NH=，所以，B错误；对于C，由，所以，又，所以，，所以，所以C到平面OMN的距离，C正确；对于D，过O作OT⊥MN于T，则旋转体体积是以OT为底面半径，以TM为高的圆锥的体积的两倍，所以，D正确.故选：ACD.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）12.已知一个正四棱台的体积为，上､下底面边长分别为，则棱台的高为__________.〖答案〗〖解析〗设棱台高为，由棱台的体积公式知，其中分别为上下底面面积.故〖答案〗为：6.13.若复数满足，则的最小值是__________.〖答案〗〖解析〗如图，设复数对应的点为，则由可知点到点的距离为1，即点的轨迹为以点为圆心，以1为半径的圆，而则表示动点到原点的距离，由图可知，圆上与原点距离最小的点为，故的最小值是1.故〖答案〗为：1.14.已知的面积为满足条件，则__________；若，延长至点，使得，则__________.〖答案〗〖解析〗由题得，，因为，所以；由可得，设，由正弦定理可知，所以，如图所示：过A作，交BC的于E点，，，所以在中可算得.故〖答案〗为：.四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知.设.（1）若三点共线，求值；（2）若，求的值.解：（1）因为，，又因为三点共线，所以，则，解得.（2）由，可得，即，解得.16.某保险公司为了给年龄在20~70岁的民众提供某种医疗保障，设计了一款针对某疾病的保险.现从10000名参保人员中随机抽取100名进行分析，并按年龄段分成了五组，其频率分布直方图如图所示，每人每年所交纳的保费与参保年龄如下表所示：年龄保费（单位：元）（1）若采用分层抽样的方法，从年龄段在和内的参保人员中共抽取6人进行问卷调查，再从中选取2人进行调查对该种保险的满意度，求这2人中恰好有1人年龄段在内的概率.（2）由于10000人参加保险，该公司每年为此项保险支出的各种费用为200万元.为使公司不亏本，则年龄段的参保人员每人每年需要缴纳的保费至少为多少元？解：（1）由得，设“抽取2人中恰好有1人年龄段在内”为事件，由题设可知，年龄在和内的频率分别为0.16和