高中学业水平考试数学人教A版（2019）必修第一册基础知识梳理

高中数学（人教A版）必修一知识点总结第一章集合1、元素与集合（1）集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.（2）元素与集合的关系：属于或不属于数学符号分别记为：和.（3）集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图（图）.（4）常见数集和数学符号数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号或①确定性：给定的集合它的元素必须是确定的；也就是说给定一个集合那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.给定集合可知,在该集合中,不在该集合中；②互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的；也就是说集合中的元素是不重复出现的.集合应满足.③无序性：组成集合的元素间没有顺序之分。集合和是同一个集合.④列举法把集合的元素一一列举出来并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法.⑤描述法用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法.具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围再画一条竖线在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.2、集合间的基本关系（1）子集（subset）：一般地对于两个集合、如果集合中任意一个元素都是集合中的元素我们就说这两个集合有包含关系称集合为集合的子集记作（或）读作“包含于”（或“包含”）.（2）真子集（propersubset）：如果集合但存在元素且我们称集合是集合的真子集记作（或）.读作“真包含于”或“真包含”.（3）相等：如果集合是集合的子集（且集合是集合的子集（）此时集合与集合中的元素是一样的因此集合与集合相等记作.（4）空集的性质：我们把不含任何元素的集合叫做空集记作；是任何集合的子集是任何非空集合的真子集.3、集合的基本运算（1）交集：一般地由属于集合且属于集合的所有元素组成的集合称为与的交集记作即．（2）并集：一般地由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合称为与的并集记作即．（3）补集：对于一个集合由全集中不属于集合的所有元素组成的集合称为集合相对于全集的补集简称为集合的补集记作即．函数奇偶性、周期性、对称性函数奇偶性奇函数与偶函数的性质函数奇函数偶函数图象特征关于原点对称关于x=0轴对称代数定义关于原点对称ff单调性原点两边相同x=0两边相反其它若有f(0)则f/题型1：函数奇偶性判断定义法：判断定义域→计算f(−x)常用结论法：见上表赋值法：奇函数：f【证明】：令x=y=0令y=−x偶函数：f【证明】：令x=y=1令x=y=−1令y=−1题型2：奇偶函数的分段形式如：f(x)为奇函数x>0时fx=x2−x+1由x范围确定−x范围→确定f(−x)表达式→确定f(x)解析式（偶同奇反）题型3：抽象不等式（方向：化成类似faf(x)为定义在[−a,a]上的奇函数且单调递减ff(x)为定义在[−a,a]上的偶函数且在[0,a]单调递减f函数对称性中心对称引入：若Ax1,y1,Bx2定义：f常用结论：若f(x+a)为奇函数则y=f(x)图象以(a,0)为对称中心轴对称引入：若Ax1,y定义：f常用结论：若f(x+a)为偶函数则y=f(x)以x=a为对称轴【代数证明】：设gx=f(x+a)有fx+a=f(−x+a)所以y=f(x)以【几何证明】：y=f(x)图象是由y=f(x+a)图象向右平移a个单位得来由于y=f(x+a)为偶函数对称轴为x=0,所以则y=f(x)以x=a为对称轴函数周期性图象特征：图象反复循环以T作为一个循环节代数定义：在定义域内∀x,f周期与最小正周期：若函数具有周期性则必有无数个非零实数T满足fx=f(x+T)其中最小的正数T称为最小正周期并不是所有函数均有最小正周期如常函数fx=1狄利克雷函数常见可推导出周期的表达式fffx以x=a,x=b为对称轴:fx以x=a为对称轴(b,0)为对称中心:类周期函数∀x∈D,fx+T=kf(x)：图象每隔T个单位指数函数指数函数的图象及其变换指数函数图象及其性质：f【定义域】R【单调性】a>1时单调递增；a<1时单调递减【值域】(0,+∞)【恒过定点】(0,1)【底数对图象的影响】在第一象限内底数越大图象越靠近y轴指数函数的图象变换及图象绘制y=|2x−1|：由y=2x向下平移一个单位后沿着xy=2−|x−2|：由偶函数y=2指数函数与二次函数的复合（一般为非奇非偶）y=22x−x2令y=2x+1−4x(x>−1)y=令t=2x+指数型复合函数的奇偶性、单调性、值域y=【奇偶性】奇函数【单调性】在R上单调递增结论法证明：增+增=增【值域】Ry=【奇偶性】偶函数【单调性】在(−∞,0)单调递减；在(0,+∞)单调递增定义法作差证明：任取x1<x=复合函数拆解证明：令t=2x>0x<0时异减；x>0时同增【值域】[2,+∞)f(x)=【奇偶性】在R上单调递增证明过程中对f(−x)的分子分母同乘2证明：f【单调性】增函数先进行分离常数则fx=【值域】(−1,1)求解过程：2【变形】（时间不够可不看）对fx=2x−2−x对fx=3⋅2fx=3⋅2x+12x+1过程：f对数函数对数运算对数的定义常用对数：lg自然对数：ln对数恒等式N=logaaNN=alogalogalog指对数运算性质对比指数(对数(a>0且a≠1，M>am∙loga(amalogaMamnlogaM抽象形式运算：fa+b=ffab=ffa+b=ffab=f换底公式logaN推论1：logabN推论2：log对数函数图象与零点对数函数图象及其性质一个重要的对数函数图象变换对于fx=|ln可得ln比较大小与解不等式比较大小的方法【类型1】同底不同真方法：直接运用单调性比较大小【类型2】同真不同底方法1：画图方法2：换底公式:如比较log20.7和log30.7换底【类型3】底数真数均不同方法：利用特殊值点+单调性比较loga1=0、亦可估值：例如log245【类型4】指数对数混合方法：同类之间先进行比较不同类间再用特殊值进行比较【类型5】方程的根大小比较：转化为图象交点问题如a满足log13a=则y=log13x与y=3x图象交点横坐标为a解含参对数不等式【步骤】对底数a分类讨论→根据对数函数单调性脱掉对数符号需要熟练掌握常数是如何化为指数幂或对数形式：如3=例如：log对数型复合函数对数函数与二次函数的复合（换元法是关键）y=log2x4⋅logy=log2(−x2+4x+12)对含参复合函数y=定义域为R值域为R在区间[m,n]上单调,设gx=ax常见对数型复合函数奇偶性f(x)=logf(x)=logm【证明】ff(x)=loga【证明】f反函数表示：f(x)的反函数记作f图象特征：原函数与其反函数图象关于y=x对称代数特征：x、y变量互换范围随之互换常见反函数：与自身互为反函数：反比例函数、y=−x+m、y=ax

恒成立问题及其转化条件转化利用判别式【标志】定义域为R的二次函数∀x∈R,f分离参数∀x∈【备注1】用除法进行分离参数时要明确所除式子的正负【备注2】注意参数范围能否取等：若闭区间1,2改为开区间(1,2)则a可取2最值讨论（分参后函数比较复杂或无法进行分参时使用）e.g.1:∀x∈→e.g.2:∀x∈绝对值∀x∈D,→∀x∈D,存在性问题e.g.1∀e.g.2∀e.g.3∃

函数值域求解分式的处理一次函数一次函数y=y=一次函数二次函数y=若t=0,则y=0；若t≠0→y=∴函数值域为[−二次函数二次函数y=→指对数的处理（换元法为主）y=y=y=y=y=三角函数的处理齐次式：降幂公式+辅助角公式y=sinxcosx+siy=非齐次式：换元变成二次函数模型e.g.1y=e.g.2y=三角函数部分对y=sin求对称轴（或最值点）：令ω求对称中心（或零点）：令ω求单调递增区间：−对y=f条件转化∀x,fω∀x,fωf(x)在开区间(a,b)无最值a−b∀x,f|xf|xy=fx相邻对称轴为|a−b|=y=fx相邻对称中心为|a−b|=y=fx相邻对称中心与对称轴为|a−b|=y=f(x)对称中心与对称轴为a,0a−by=f(x)在[a,b]上有n个零点n−1

不等式已知正数x,y满足3xy+y2−4=0A.1 B.4 C.8 D.16【解析】因为正数x,y满足3xy+y2−4=03x+5y=4y+4y≥24y×4【答案】C若在数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是（）A.5 B.245 C.6 D.【解析】∵x+3y=5xy,∴15y+∴3x+4y=(3x+4y)·(1当且仅当3xy=12yx【答案】A已知x>0，y>0且12x+1+1y+1【解析】令a=2x+1,b=y+1则有x=a−12x+y=a2a2+b1a则x+y的最小值为2求函数fx【解析】因为x∈(0,1)所以1−x>0,因为fx=1所以f当且仅当1−xx=4x1−x即所以当x=13时fx已知关于x的不等式x2−2mx+m+2≤0当M为空集时求m的取值范围；在（1）的条件下求m2+2m+5当M不为空集时且M⊆x1≤x≤4时求实数【解析】（1）当M为空集时则有∆<0解得m2−m−2<0则m的取值范围为x（2）由上题得0≤m+1≤3则有m2+2m+5m+1=m+1所以原式最小值为4（3）m当M不为空集时由M⊆x∆≥01−2m+m+2≥016−8m+m+2≥01≤m≤4解得已知函数y=mx若对于x∈R,mx2−mx−1<0若对于1≤x≤3,mx2−mx−1<1−(m+3)x恒成立【解析】解:(1)由题意得,当m=0时,f(x)=mx当m≠0时要f(x)<0恒成立,只需m<0Δ=故m的取值范围为(-4,0].(2)∵f(x)<1−(m+3)x⇒m<2x2令t=1x,g(t)=2t2∴g(t)min=−故实数m的取值范围为(−∞,−9函数性质已知函数f(x−1)的定义域为[−2,3]则函数f(2x+1)的定义域为（）A.[−1,9] B.[−3,7] C.[−2,1] D.[−2,【解析】解：函数f(x−1)的定义域为[−2,3]即−2≤x≤3，∴−3≤x−1≤2即f(x)的定义域为[−3,2]由−3≤2x+1≤2得−2≤x≤1∴函数f(2x+1)的定义域为[2,1【答案】D．（多选）已知函数fx=A.y=fx为偶函数 B.fxC.方程fx+x2【解析】解：对于Af−x=x−x+1=−−x对于B：fx=−xx+1=−xx+1对于C：由f(x)+x2＝0显然x=0是方程的一个实数根当x≠0时可得−xx+1=−x即−xx−x−1=0x≥0时显然方程没有实数根当x<0时对于D：当x≥0时可得fx=−1+1x+1是单调递减函数当x<0时可得fx=1−1−x+1故选：BD．【答案】BD已知定义在[−1,1]上的偶函数f(x)在[0,1]上为减函数且fx−1>f(3−2x)则实数A.(−∞,43)∪(2,+∞) B.[1,43)【解析】∵f(x)是定义在[−1,1]上的偶函数且[0,1]上为减函数∴f(x)在[−1,0]上为增函数∴x−1<|【答案】B函数y=f(x)是R上的增函数对任意x，y∈R都有f（1）求f(0)；（2）证明f(x)为奇函数；（3）解不等式：fx【解析】解：（1）在fx+y=f令x=y=0可得f0则f0（2）令y=−x得fx−x又f0=0则有即可证得f(x)为奇函数；（3）因为f(x)在R上时增函数又由（2）知f(x)是奇函数fx2−2f即fx2−5x解得：x∈−∞,0德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著以其名命名的函数Dx=1,&x是有理数0,&x是无理数（1）Dx的值域是0,1 （2）（3）存在非零实数T使得D(x+T)＝D(x) （4）对任意的x∈R都有D请将上述结论正确的序号填写在横线上．【解析】解：对于（1）函数D（x）的值域为{01}正确；对于（2）∵有理数的相反数还是有理数、无理数的相反数还是无理数∴对任意x∈R都有D（﹣x）＝D（x）故正确；对于（3）若x是有理数则x+T也是有理数；若x是无理数则x+T也是无理数∴根据函数的表达式任取一个不为零的有理数TD（x+T）＝D（x）对任意的x∈R恒成立故正确；对于（4）∵当x为有理数时D（x）＝1；当x为无理数时D（x）＝0∴当x为有理数时D[D（x）]＝D（1）＝1；当x为无理数时D[D（x）]＝D（0）＝1即不管x是有理数还是无理数均有D[D（x）]＝1故选：（1）（2）（3）（4）【答案】（1）（2）（3）（4）指对幂函数幂函数与在第一象限内的图象如图所示则A．, B．, C．,D．,【解答】解：由幂函数的图象与性质可知：幂函数是增函数是减函数所以．故选：．（多选）已知幂函数fx=xαA.函数是偶函数 B.函数是增函数C.当x>1时fx>1 D.当0<【解析】解：幂函数fx=x所以16α=4解得所以fx所以fx是非奇非偶的函数是定义域[0,+∞)当x>1时fx画出fx在[0,+∞)上的图象由图象知当0<x1<x所以正确的选项是BCD．（多选）高斯是德国著名的数学家近代数学奠基者之一享有“数学王子”的称号他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R用表示不超过的最大整数则称为高斯函数．例如：−3.2=42.3=2已知函数fx=2x1+2A．是奇函数 B．在R上是减函数 C．g(x)是偶函数 D．g(x)的值域是【解答】解：对于则所以故函数为奇函数故选项正确；对于因为在R上为单调递增函数所以函数在R上为单调递增函数故选项错误；对于因为则g1=f(1)=g−1=f(−1)=−16=−1g1≠g对于设变形可得解得即的值域为又所以的值域为故选项正确．故选：．某公司为激励创新计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元在此基础上每年投入的研发资金比上一年增长则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（参考数据：A．2018年 B．2019年 C．2020年 D．2021年【解答】解：设第年开始超过200万元则化为：．最小正整数为4取．因此开始超过200万元的年份是2019年．故选：．基础建设对社会经济效益产生巨大的作用某市投入a亿元进行基础建设t年后产生ft=aeλt亿元社会经济效益．若该市投资基础建设4年后产生的社会经济效益是投资额的2倍且再过t年A.4 B.8 C.12 D.16【解析】解：由已知可得ae则λ=ln24所以若投资n年后产生的社会经济效益是投资额的8倍则有aeln24所以再过t=12−4＝8年该项投资产生的社会经济效益是投资额的8倍．【答案】B函数则关于的不等式的解集为A． B． C． D．【解答】解：因为令则又在上为奇函数而在都单调递增所以在上单调递增不等式可转化为即所以所以解得．故选：．f(x)=log12(4x+a⋅2x【解答】解：根据已知得log12（4x+a•2x﹣1）＝﹣x在[0∴4x+a•2x﹣1＝2x在[01]上无解令2x＝tt∈[12]∴t2+（a﹣1）t﹣1＝0在区间[12]上无解∴a＝1﹣t+1t在区间[1设g（t）＝1﹣t+1∴g（t）在区间[12]上单调递减故g（t）∈[−12∴a＜−12或a又∵4x+a•2x﹣1＞0在[01]上恒成立∴a＞12x−即a＞1t−t在[1设h（t）=1t∴h（t）在区间[12]上单调递减故g（t）∈[−32∴a＞0综上实数a的取值范围（1+∞）．f求a值以及函数fx求函数fx在区间[0,求函数fx【解析】因为f解得：a=12故fx=解得−1<x<3：故函数的定义域是(−1,3)；由（1）得f令t=−得t=−x−12+4,t∈[3,4]由于该函数在t∈[3,4]上单调递减∴因此函数fx在区间(0,3由（1）得f令gx=−x故gx在(−1,1)上单调递增在(1,3)fx在(1,3)上单调递增在(−1,1)故函数fx单调递增区间为已知函数fx=loga(ax2A．(0,1) B．[4,+∞) C．(0,1)∪[2,+∞) D．(0,1)∪[4,+∞)【解答】解：由题意a＞0且a≠1函数f（x）＝loga（ax2﹣2x）在区间（121）上是增函数当0＜a＜1时可得g（x）＝ax2﹣2x在（121）上是减函数其对称轴方程为x=1a则1a≥1且g即a﹣2≥0得a≥2（舍去）；当a＞1时可得g（x）＝ax2﹣2x在（121）上是增函数其对称轴方程为x=1a则1a≤12且g即a≥214a−1≥0综上可得：实数a的取值范围是[4+∞）．故选：B．零点已知函数f（x）=4x,x<0x2−7x,x≥0gx=fA．(−4,0] B．(−∞,−9) C．(−∞,−9)∪(−4,0] D．(−9,0]【解答】解：g（x）＝f（x）+x﹣a存在两个零点即方程f（x）+x＝a存在两个根令h（x）＝f（x）+x=x+也就是函数y＝h（x）的图象与y＝a的图象有两个交点当x＜0时x+4x=−(−x+4−x当x≥0时x2﹣6x＝（x﹣3）2﹣9≥﹣9当x＝3时取等号．作出函数函数y＝h（x）与y＝a的图象如图由图可知要使g（x）存在两个零点则a的取值范围是（﹣∞﹣9）∪（﹣40]．故选：C．已知函数f(x)=log21−x，x<−1|2x−1|+2，x≥−1A．(2,52] B．(2,3) C．(3,4]【解答】解：由题意函数f（x）大致图象如下：依据图象可知当函数F（x）＝f（x）﹣k恰有3个零点时即函数y＝f（x）的图象与y＝k的图象有3个公共点∴实数k的取值范围为2＜k≤5故选：A．第三章函数的概念与性质3.1函数的概念及其表示知识回顾1、函数的概念设、是两个非空数集如果按照某种确定的对应关系使对于集合中的任意一个数在集合中都有唯一确定的数和它对应那么称为从集合到集合的一个函数记作.其中：叫做自变量的取值范围叫做函数的定义域。与的值相对应的值叫做函数值函数值的集合叫做函数的值域．2、同一（相等）函数函数的三要素：定义域、值域和对应关系．同一（相等）函数：如果两个函数的定义和对应关系完全一致则这两个函数相等这是判断两函数相等的依据．3、函数的表示函数的三种表示法解析法（最常用）图象法（解题助手）列表法就是把变量之间的关系用一个关系式来表示通过关系式可以由的值求出的值.就是把之间的关系绘制成图象图象上每个点的坐标就是相应的变量的值.就是将变量的取值列成表格由表格直接反映出两者的关系.3.2函数的基本性质知识回顾1、函数的单调性（1）单调性的定义（从数的角度）一般地设函数的定义域为如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值；当时都有那么就说函数在区间上是增函数②当时都有那么就说函数在区间上是减函数。（2）单调性简图：（从形的角度：从左向右看）（3）单调区间（注意先求定义域）若函数在区间上是增函数或减函数则称函数在这一区间上具有（严格的）单调性区间叫做函数的单调区间（☆单调区间要写满）.2、函数的最值设函数的定义域为如果存在实数满足：①对于任意的都有(或者)；存在使得则称为函数最大值（最值是区域上的整体性质。）3、函数的奇偶性请分别画出函数的函数图像奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数的定义域内任意一个都有那么函数是偶函数图象关于轴对称奇函数如果对于函数的定义域内任意一个都有那么函数是奇函数图象关于原点对称4、函数对称性常用结论（一、轴对称）若函数关于直线对称则；②；③（2）点对称：若函数关于直线对称则①②③（2）点对称：若函数关于直线对称则①②③3.3幂函数知识回顾1、幂函数定义一般地形如的函数称为幂函数其中是自变量是常数．2、五种常见幂函数函数图象性质定义域值域奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在上单调递增在上单调递减；在上单调递增在上单调递增在上单调递增在和上单调递减公共点3.4函数的应用（一）知识回顾常见几类函数模型函数模型函数解析式一次函数模型(为常数)二次函数模型(为常数)分段函数模型幂函数模型(为常数)第四章指数函数与对数函数4.1指数与指数函数知识回顾1、根式的概念及性质（1）概念：式子叫做根式其中叫做根指数叫做被开方数．（2）性质：①(且)；②当为奇数时；当为偶数时2、分数指数幂①正数的正分数指数幂的意义是(且)；②正数的负分数指数幂的意义是(且)；③0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．3、指数幂的运算性质①；②；③.4、指数函数及其性质（1）指数函数的概念函数(且)叫做指数函数其中指数是自变量函数的定义域是．（2）指数函数的图象和性质底数图象性质定义域为值域为图象过定点当时恒有；当时恒有当时恒有；当时恒有在定义域上为增函数在定义域上为减函数注意指数函数(且)的图象和性质与的取值有关应分与来研究4.2对数与对数函数知识回顾1、对数的概念（1）对数：一般地如果那么数叫做以为底的对数记作其中叫做对数的底数叫做真数.（2）牢记两个重要对数：常用对数以10为底的对数；自然对数以无理数e=2.71828…为底数的对数.（3）对数式与指数式的互化：.2、对数的性质、运算性质与换底公式（1）对数的性质根据对数的概念知对数具有以下性质：①负数和零没有对数即；②1的对数等于0即；③底数的对数等于1即；④对数恒等式.（2）对数的运算性质如果那么：①；②；③.（3）对数的换底公式对数的换底公式：.换底公式将底数不同的对数转化为底数相同的对数进而进行化简、计算或证明.换底公式应用时究竟换成什么为底由已知条件来确定一般换成以10为底的常用对数或以为底的自然对数.换底公式的变形及推广：①；②；3、对数函数及其性质（1）对数函数的定义形如(且)的函数叫做对数函数其中是自变量函数的定义域是．（2）对数函数的图象与性质图象性质定义域：值域：过点即当时在上是单调增函数在上是单调减函数4.3函数的应用（二）知识回顾1、函数的零点对于一般函数我们把使成立的实数叫做函数的零点．注意函数的零点不是点是一个数.2、函数的零点与方程的根之间的联系函数的零点就是方程的实数根也就是函数的图象与轴的交点的横坐标即方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．3、零点存在性定理如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线并且有那么函数在区间内有零点即存在使得这个也就是方程的根.注：上述定理只能判断出零点存在不能确定零点个数.4、常见函数模型（1）指数函数模型（且）（2）对数函数模型（且）5、指数、对数、幂函数模型性质比较函数性质在(0＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度先慢后快指数爆炸先快后慢增长平缓介于指数函数与对数函数之间,相对平稳图象的变化随x的增大图象与轴接近平行随x的增大图象与轴接近平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个当时有第五章三角函数5.1任意角和弧度制知识回顾1、角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形2、角的分类①正角:按逆时针方向旋转所形成的角.②负角:按顺时针方向旋转所形成的角.③零角:如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角.3、象限角（1）定义：在直角坐标系中,使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合.那么,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角.如果角的终边在坐标轴上,那么就认为这个角不属于任何一个象限.（2）象限角的常用表示：第一象限角第二象限角第三象限角或第四象限角或4、终边相同的角的集合所有与角终边相同的角为5、弧度制长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角