概率论与数理统计教学12-第一章第二节(概率统计)

第一章随机事件与概率1.2样本空间及随机事件内容简介:分析随机试验发生后产生的结果,借助于集合论的有关概念和方法,通过将日常语言与数学符号建立的对应关系,建立样本空间、随机事件、和事件、积事件、差事件、对立事件、互斥事件及其运算性质的理论体系.第一章随机事件与概率1.2样本空间及随机事件1.2.1提出问题

1.随机试验的结果可知但不确定，怎样来研究它？1.2.2预备知识1.集合与元素，全集，空集.2.集合运算及其运算性质.

2.试验结果复杂多样，如何研究他们之间的关系？1.2.3分析问题

对于随机试验,人们感兴趣的是试验结果,即每次随机试验后所发生的结果.

将随机试验的每一个可能的结果称为随机试验的一个样本点,通常记作ω.

将随机试验E的所有样本点组成的集合叫做试验E的样本空间,通常用字母Ω表示.由一个样本点ω组成的单点集{ω}叫做基本事件.

1.样本空间与随机事件

例

1.2.2

E2:

掷一颗质地均匀的骰子,观察出现的点数.“出现i点”

(i=1,2,…,6)是E2的样本点,所以样本空间可简记为Ω

={1,2,…,6}.例1.2.1

E4:一袋中装有红、白两种颜色的10只乒乓球,从袋中任意抽取1只球,观察其颜色.令ω1表示“取得红球”,ω2=“取得白球”,则样本空间Ω

={ω1,ω2}.

例1.2.3

E3:在一批灯泡中任意抽取一只,测试其寿命.

“测得灯泡寿命为t小时(0≤t＜+∞)”是E3的样本点,所以样本空间可表示为Ω

={t|0≤t＜+∞}.

例1.2.4

E5:将质地均匀的一枚硬币投掷两次,观察正面或反面朝上的情况.

试验E5的全部样本点是：(正,正),(正,反),(反,正),(反,反).其中(正,正)表示“掷第一次硬币正面朝上,掷第二次硬币正面朝上”,依此类推.则样本空间Ω

={(正,正),(正,反),),(反,正),(反,反)}.

从上面例1.2.1～例1.2.4可以看到,样本空间可以是有限集或无限集,可以是一维点集或多维点集,可以是离散点集亦可以是欧氏空间的某个区域.有时候,为了数学处理方便,还可以把样本空间作相应扩大.例如,在例1.2.3中可以取Ω

=[0,+∞),若有必要,甚至可以取成Ω=(-∞,+∞).人们常用数字或者符号来表示具有实际意义的试验结果.

在实际问题中,人们常常需要研究由样本空间中满足某些条件的样本点组成的集合,即关心于满足某些条件的样本点在试验后是否会出现.例如,在汛期,水文站关心的是江河水位是否达到或超过警戒水位H0;抽查产品时检验人员关心的是产品某些方面指标是否达到合格标准,等等.

我们称样本空间Ω中满足某些条件的样本点构成的子集为随机事件,简称事件.通常用A,B,C,…表示.若试验后的结果ω∈A,则称事件A发生,否则称事件A不发生.依上述定义，样本空间Ω也是它自己的子集,因而也是事件,它叫必然事件;

空集中不含Ω的任何元素,它叫不可能事件.

讲评:必然事件和不可能事件所反映的现象是确定性现象,并不具有“随机性”,为了研究问题的方便,我们把它们分别看作一种特殊的“随机事件”.

例如,在例1.2.2中,设A表示{掷一枚骰子,出现的点数≤6},则A=Ω是必然事件；设B表示{出现8点},则B是空子集,因而是不可能事件;设C表示{出现偶数点},则C={2,4,6},若实际掷出“2点”,我们便说事件C发生了;设D表示{出现2点},则D={2}是基本事件.2.随机事件与集合的对应

实际上，我们已经建立了集合与随机事件之间的对应关系.记号概率论中定义集合论中含义Ω必然事件或样本空间全集（全体元素构成的集合）

不可能事件空集（不含任何元素的集合）ω∈Ω样本点ω为全集Ω中的元素｛ω｝基本事件元素ω构成的单点集合A为某一随机事件A为全集Ω的某一子集ω∈A事件A发生ω为集合A中某一元素｛ω｝为事件A中所含某一基本事件｛ω｝为事件A中所含某一子集（单点集）

表1-1随机事件与集合对应关系

将不能再细分的试验基本结果看作样本点;而样本点看作集合的元素;

全部基本结果构成样本空间；而样本空间看作全集；将随机事件表示成由样本点组成的集合;或者说，看作全集的子集；

基本事件是由一个样本点组成的单元集;

必然事件看作全集，不可能事件看作空集；

将样本点(元素)属于集合表示事件发生,

这样的处理方法,不仅对研究事件的关系和运算是方便的,而且对研究随机事件发生的可能性大小的数量指标——

概率的运算也是非常科学合理的.就可以将事件间的关系和运算归结为集合之间的关系和运算.

平面矩形区域表示样本空间Ω,圆形区域A表示事件A.文氏图

(Venndiagram)

AΩ

设试验E的样本空间为Ω,A1,A2,…,Ak

(k=1,2,…)是Ω的一些事件,它们都是Ω的子集.

与集合论类似,我们习惯地用文氏图形像地描述事件间的关系.1.事件之间的关系与运算

在一个样本空间Ω中,可以包含许多的随机事件.研究随机事件的规律,往往是通过对简单事件规律的研究去发现更为复杂事件的规律.

为此,我们引进事件之间的一些重要关系和运算.由于任一随机事件是样本空间的子集,所以事件之间的关系及运算与集合之间的关系及运算是完全类似的.1.2.4建立理论

若“事件A发生必然导致事件B发生”,亦即A的样本点都是B的样本点,则称A包含于B或B包含A,也称A是B的子事件

.BS

(1)事件的包含与相等如果有且

注意

对任一事件A,

都有子事件关系

记做则称事件A与事件B相等,记做

“事件A与事件B至少有一个发生”

的事件叫做A与B的和事件.的和事件

的和事件

(2)事件的和(并)可见,A∪B是由所有属于A中的或属于B中的样本点组成.

或BA记做B.A+

“事件A与事件B

同时发生”，这样的事件称为A与B的积事件.的积事件

——

(3)事件的交(积)

AB由既属于在A中又属于在B的样本点组成.

的积事件

——

或记作

“事件A发生但事件B不发生”，这样的事件称为A与B的差事件.

（4）事件的差记为A–B.

A-B是由所有属于在A中而不属于B的样本点组成.

例如,若A={2,4,6,8,10},B={1,2,3,4},则A-B={6,8,10},B-A={1,3}.——A与B互斥A、B不可能同时发生.两两互斥两两互斥

(5)事件的互不相容(互斥)

——A与B互相对立称B为A的对立事件(or逆事件)，记为

注意“A与B

互相对立”与“A与B

互斥”是不同的概念.(6)对立事件(逆事件)每次试验，A，B中有且只有一个发生.

(7)完备事件组或称

为Ω的一个划分(或剖分).若

两两互斥,且

,则称

为完备事件组.

讲评

完备事件组A1,A2,…,An概念说明:在每次试验中,事件A1,A2,…,An中有一个发生,并且只有一个发生.建立这个概念的目的是,把错综复杂的关系分解成彼此没有影响的各种基本因素之和.概念的关键是:事件交为不可能事件，同时，事件和为必然事件.有限样本空间的所有基本事件构成一个完备事件组,即是样本空间的一个划分.2.事件运算法则对应事件运算集合运算

(1)交换律(2)结合律(3)分配律B

CAA

CBA

分配律图示A

讲评对偶律通常叫做德·摩根律.在处理关于和事件、积事件和对立事件三种关系时经常会使用到.(5)对偶律

(4)互反律1.2.5理论应用例1.2.5

设A,B,C是三个事件,用A,B,C的运算关系表示下列事件：(1)B,C都发生,而A不发生；(2)A,B,C中至少有一个发生；(3)A,B,C中恰有一个发生；(4)A,B,C中恰有两个发生；(5)A,B,C中不多于一个发生；(6)A,B,C中不多于两个发生.

讲评

本例旨在在基本概念方面考查事件的文字表述与数学符号描写的对应关系.1.2.6内容小结

本节课介绍了随机试验、随机事件、样本空间等概念.

在讲解顺序上,按照“提出问题—分析题—建立理论”的研究思路展开：首先,我们看到了客观存在的两类现象——确定性现象和随机现象,分析了随机现象出现的试验结果,把基本的试验结果定义为样本点,由一个样本点组成的单元素集合叫做基本事件,为进一步研究问题,我们定义了和事件、差事件、积事件、对立事件等概念.在教学方法方面,通过把随机事件

看作“集合”,就可以用我们比较熟悉的

集合论的知识来研究随机事件.这就是

我们称为“映射—反演”的研究问题的科学方法.这种分析问题、解决问题的处理方法,希望大家要熟悉,并在今后学习中注意积累.当正面分析问题有困难时,常常考虑这个问题的反面——“对立事件”,这种思维方式在今后学习时要经常用到.1.2.7习题布置习题1.22、3、4.参考文献与联系方式[1]郑一,王玉敏,冯宝成.概率论与数理统计.大连