模型34 旋转-费马点模型-原卷版

旋转模型（三十四）——费马点模型费马点：到一个三角形三个顶点距离之和最小的点，称为三角形的费马点.当PA+PB+PC取最小值时，点P叫三角形的费马点.◎结论：如图,△ABC的三个内角均不大于120°，点P在形内，当∠BPC＝∠APC＝∠CPA＝120o时，PA+PB+PC的值最小.【证明】如图，将△ABP绕点B逆时针旋转60°，得到△A1BP1，连接PP1，则△BPP1是等边三角形，所以PB=PP1.由旋转的性质可得PA+PB+PC＝P1A1+PP1+PC≥A1C,∴当A1、P1、P、C四点共线时，PA+PB+PC的值最小，∵△BPP1是等边三角形，∠BPP1＝60º，∴∠BPC＝120º，∵∠APB＝∠A1P1B，∠BP1P＝60º，∴∠APB＝180º－60º＝120º则∠CPA＝360º－120º－120º＝120º，故∠BPC＝∠APC＝∠CPA＝120º.费马点作法：分别以AC、BC、AB为边作等边△ACD、△BCE、△ABF,连接CF,BD,AE,由手拉手可得△ACE≌△DCB，△ABE≌△FBC,∴AE＝BD，AE＝CF，∴AE＝BD＝CF旋转角：∠BPE＝∠EPC＝∠CPD＝60°eq\o\ac(○,巧)eq\o\ac(○,记)eq\o\ac(○,口)eq\o\ac(○,诀)有等边，求长度，不好求，作等边1．（2021·四川·成都实外九年级阶段练习）如图，在中，，P是内一点，求的最小值为______．2．（2021·全国·九年级专题练习）如图，四边形是菱形，B=6，且∠ABC=60°，M是菱形内任一点，连接AM，BM，CM，则AM+BM+CM的最小值为________．1．（2022·福建三明·八年级期中）【问题背景】17世纪有着“业余数学家之王”美誉的法国律师皮耶·德·费马，提出一个问题：求作三角形内的一个点，使它到三角形三个顶点的距离之和最小后来这点被称之为“费马点”．如图，点是内的一点，将绕点逆时针旋转60°到，则可以构造出等边，得，，所以的值转化为的值，当，，，四点共线时，线段的长为所求的最小值，即点为的“费马点”．(1)【拓展应用】如图1，点是等边内的一点，连接，，，将绕点逆时针旋转60°得到．①若，则点与点之间的距离是______；②当，，时，求的大小；(2)如图2，点是内的一点，且，，，求的最小值．2．（2021·江苏·苏州工业园区星湾学校八年级期中）背景资料：在已知所在平面上求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小.这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．如图1，当三个内角均小于120°时，费马点P在内部，当时，则取得最小值．(1)如图2，等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数，为了解决本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时这样就可以利用旋转变换，将三条线段、、转化到一个三角形中，从而求出_______；知识生成：怎样找三个内角均小于120°的三角形的费马点呢？为此我们只要以三角形一边在外侧作等边三角形并连接等边三角形的顶点与的另一顶点，则连线通过三角形内部的费马点．请同学们探索以下问题．(2)如图3，三个内角均小于120°，在外侧作等边三角形，连接，求证：过的费马点．(3)如图4，在中，，，，点P为的费马点，连接、、，求的值．(4)如图5，在正方形中，点E为内部任意一点，连接、、，且边长；求的最小值．3．（2021·全国·九年级专题练习）如图，△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝6，AC＝4，P为平面内一点，求最小值1．如图，在平面直角坐标系xoy中，点B的坐标为(0，2)，点在轴的正半轴上，，OE为△BOD的中线，过B、两点的抛物线与轴相交于、两点（在的左侧）.（1）求抛物线的解析式；（2）等边△的顶点M、N在线段AE上，求AE及的长；（3）点为△内的一个动点，设，请直接写出的最小值,以及取得最小值时，线段的长.2．（2022·广东广州·一模）如图，在R