2023-2024九年级（上）数学期末模拟卷（1）（解析版）

第1页（共1页）2023-2024九年级（上）数学期末模拟卷（1）一．选择题（共12小题）1．下列银行标志中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．下列说法正确的是（）A．“经过有交通信号的路口遇到红灯”是必然事件 B．已知某篮球运动员投篮投中的概率为0.6，则他投10次一定可投中6次 C．“心想事成，万事如意”描述的事件是随机事件 D．天气预报显示明天为阴天，那么明天一定不会下雨3．已知圆锥的底面半径是3，母线长为6，则该圆锥侧面展开后所得扇形的圆心角为（）A．60° B．90° C．120° D．180°4．若α、β是一元二次方程x2+3x﹣6＝0的两个不相等的根，则α2﹣3β的值是（）A．3 B．15 C．﹣3 D．﹣155．将二次函数y＝（x﹣5）2﹣24的图象沿x轴向左平移2个单位长度，再沿y轴向上平移3个单位长度，得到的函数表达式是（）A．y＝（x﹣7）2﹣27 B．y＝（x﹣7）2﹣21 C．y＝（x﹣3）2﹣27 D．y＝（x﹣3）2﹣216．在如图所示的电路中，随机闭合开关S1、S2、S3中的两个，能让灯泡L1发光的概率是（）A． B． C． D．7．如图，圆与坐标轴分别交于原点O，点A（6，0）和B（0，2），点P是圆上一个动点，点C（0，﹣3），则PC长度的最小值为（）A．4﹣ B．8﹣ C．2﹣ D．5﹣8．如图，公园内有一个半径为18米的圆形草坪，从A地走到B地有观赏路（劣弧AB）和便民路（线段AB）．已知A、B是圆上的点，O为圆心，∠AOB＝120°，小强从A走到B，走便民路比走观赏路少走（）米．A．6π﹣6 B．6π﹣9 C．12π﹣9 D．12π﹣189．如图，已知∠BAC＝60°，AB＝4，AC＝6，点P在△ABC内，将△APC绕着点A逆时针方向旋转60°得到△AEF．则AE+PB+PC的最小值为（）A．2 B．8 C．5 D．610．已知m，n是方程x2﹣10x+1＝0的两根，则代数式m2﹣9m+n的值等于（）A．0 B．﹣11 C．9 D．1111．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣1，m），图象与x轴的两个交点的横坐标分别为x1，x2，且﹣3＜x1＜﹣1．下列结论：①abc＜0；②4ac﹣b2＜0；③3a+c＞0；④ax2+m＝1﹣bx﹣c无实数根．其中正确的有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个12．如图，在矩形ABCD中，点E在CD边上，连接AE，将△ADE沿AE翻折，使点D落在BC边的点F处，连接AF，在AF上取点O，以O为圆心，线段OF的长为半径作⊙O，⊙O与AB，AE分别相切于点G，H，连接FG，GH．则下列结论错误的是（）A．∠BAE＝2∠DAE B．四边形EFGH是菱形 C．AD＝3CE D．GH⊥AO二．填空题（共6小题）13．已知关于x的一元二次方程（m+2）x2﹣3x+1＝0有实数根，则m的取值范围是．14．一个三角形的两边长分别为3和5，第三边长是方程x2﹣6x+8＝0的根，则这个三角形的周长为．15．若点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）都在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，则y1，y2，y3从大到小的排列是．16．在0，1，2，3，4，5这六个数中，随机取出一个数记为a，使得关于x的一元二次方程ax2+3x+1＝0有实数解的概率是．17．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝，将△ABC绕点C逆时针旋转60°，得到△MNC，连接BM，则BM的长是．18．如图，在直角坐标系中，⊙A的圆心A的坐标为（﹣1，0），半径为1，点P为直线y＝﹣x+3上的动点，过点P作⊙A的切线，切点为Q，则切线长PQ的最小值是．三．解答题（共7小题）19．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．（1）求证：无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根．（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且k与都为整数，求k所有可能的值．20．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点C的坐标为（4，﹣1）．（1）把△ABC向上平移5个单位后得到对应的△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出点B1的坐标；（2）以原点O为对称中心，画出△A1B1C1，关于原点O对称的△A2B2C2，并写出B2的坐标．21．为弘扬中华民族传统文化，某市举办了中小学生“国学经典大赛”，比赛项目为：A．唐诗；B．宋词；C．论语；D．三字经．比赛形式分“单人组”和“双人组”．（1）小华参加“单人组”，他从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“论语”的概率是多少？（2）小明和小红组成一个小组参加“双人组”比赛，比赛规则是：同一小组的两名队员的比赛项目不能相同，且每人只能随机抽取一次．则恰好小明抽中“唐诗”且小红抽中“宋词”的概率是多少？小明和小红都没有抽到“三字经”的概率是多少？请用画树状图或列表的方法进行说明．22．如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴相交于点M（3，0），与y轴相交于点N（0，4），点A为MN的中点，反比例函数y＝（x＞0）的图象过点A．（1）求直线l和反比例函数的解析式；（2）在函数y＝（x＞0）的图象上取异于点A的一点C，作CB⊥x轴于点B，连接OC交直线l于点P，若△ONP的面积是△OBC面积的3倍，求点P的坐标．23．我市2015年为做好“精准扶贫”，投入资金1500万元用于某镇的异地安置，并规划投入资金逐年增加，2017年在2015年的基础上增加投入资金1875万元．（1）从2015年到2017年，该镇投入异地安置资金的年平均增长率为多少？（2）在2017年的具体实施中，该镇计划投入资金不高于500万元用于优先搬迁户的奖励，规定前100户（含第100户）每户奖励2万元，100户以后每户奖励5000元，试求今年该镇最多有多少户享受到优先搬迁奖励？24．如图，AB是⊙O的直径，点D，E在⊙O上，四边形BDEO是平行四边形，过点D作DC⊥AE交AE的延长线于点C．（1）求证：CD是⊙O的切线．（2）若AC＝9，求阴影部分的面积．25．如图，抛物线的开口向下，与x轴交于A，B两点（A在B左侧），与y轴交于点C．已知C（0，4），顶点D的横坐标为﹣，B（1，0）．对称轴与x轴交于点E，点P是对称轴上位于顶点下方的一个动点，将线段PA绕着点P顺时针方向旋转90°得到线段PM．（1）求抛物线的解析式；（2）当点M落在抛物线上时，求点M的坐标；（3）连接BP并延长交抛物线于点Q，连接CQ．与对称轴交于点N．当△QPN的面积等于△QBC面积的一半时，求点Q的横坐标．

2023-2024九年级（上）数学期末模拟卷（1）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．下列银行标志中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据中心对称图形以及轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不合题意；B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项符合题意；D．既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故本选项不合题意．故选：C．【点评】本题考查了中心对称图形以及轴对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后和原图形重合．2．下列说法正确的是（）A．“经过有交通信号的路口遇到红灯”是必然事件 B．已知某篮球运动员投篮投中的概率为0.6，则他投10次一定可投中6次 C．“心想事成，万事如意”描述的事件是随机事件 D．天气预报显示明天为阴天，那么明天一定不会下雨【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，概率的意义判断即可．【解答】解：A．“经过有交通信号的路口遇到红灯”是随机事件，故A不符合题意；B．已知某篮球运动员投篮投中的概率为0.6，则他投10次不一定投中6次，故B不符合题意；C．“心想事成，万事如意”描述的事件是随机事件，故C符合题意；D．天气预报显示明天为阴天，那么明天也可能会下雨，故D不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了随机事件，概率的意义，概率的公式，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．3．已知圆锥的底面半径是3，母线长为6，则该圆锥侧面展开后所得扇形的圆心角为（）A．60° B．90° C．120° D．180°【分析】求得圆锥的底面周长即为侧面扇形的弧长，利用弧长公式即可求得扇形的圆心角．【解答】解：圆锥的底面周长为：2π×3＝6π，那么＝6π，解得n＝180°．故选：D．【点评】考查了扇形的弧长公式；圆的周长公式；用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长．4．若α、β是一元二次方程x2+3x﹣6＝0的两个不相等的根，则α2﹣3β的值是（）A．3 B．15 C．﹣3 D．﹣15【分析】由根与系数的关系即可求出答案．【解答】解：∵α、β是一元二次方程x2+3x﹣6＝0的两个不相等的根，∴α2+3α＝6，由根系数的关系可知：α+β＝﹣3，∴α2﹣3β＝α2+3α﹣3α﹣3β＝α2+3α﹣3（α+β）＝6﹣3×（﹣3）＝15故选：B．【点评】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型．5．将二次函数y＝（x﹣5）2﹣24的图象沿x轴向左平移2个单位长度，再沿y轴向上平移3个单位长度，得到的函数表达式是（）A．y＝（x﹣7）2﹣27 B．y＝（x﹣7）2﹣21 C．y＝（x﹣3）2﹣27 D．y＝（x﹣3）2﹣21【分析】根据抛物线平移规律：左加右减，上加下减即可得到答案．【解答】解：将二次函数y＝（x﹣5）2﹣24的图象沿x轴向左平移2个单位长度，再沿y轴向上平移3个单位长度，得到的函数表达式是y＝（x﹣5+2）2﹣24+3，即y＝（x﹣3）2﹣21，故选：D．【点评】本题考查抛物线的平移变换，解题的关键是掌握抛物线平移规律：左加右减，上加下减．6．在如图所示的电路中，随机闭合开关S1、S2、S3中的两个，能让灯泡L1发光的概率是（）A． B． C． D．【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与能让灯泡L1发光的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：画树状图得：∵共有6种等可能的结果，能让灯泡L1发光的有2种情况，∴能让灯泡L1发光的概率为＝．故选：B．【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率＝所求情况数与总情况数之比．7．如图，圆与坐标轴分别交于原点O，点A（6，0）和B（0，2），点P是圆上一个动点，点C（0，﹣3），则PC长度的最小值为（）A．4﹣ B．8﹣ C．2﹣ D．5﹣【分析】连接AB，取AB的中点T，连接CT，PT．求出CT，PT，可得结论．【解答】解：连接AB，取AB的中点T，连接CT，PT．∵A（6，0），B（0，2），∴OA＝6，OB＝2，∴AB＝＝2，∴TB＝AT＝PT＝，∴T（3，1），∵C（0，﹣3），∴CT＝＝5，∴PC≥CT﹣PT＝5﹣，∴PC的最小值为5﹣．故选：D．【点评】本题考查勾股定理，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．8．如图，公园内有一个半径为18米的圆形草坪，从A地走到B地有观赏路（劣弧AB）和便民路（线段AB）．已知A、B是圆上的点，O为圆心，∠AOB＝120°，小强从A走到B，走便民路比走观赏路少走（）米．A．6π﹣6 B．6π﹣9 C．12π﹣9 D．12π﹣18【分析】作OC⊥AB于C，如图，根据垂径定理得到AC＝BC，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠A，从而得到OC和AC，可得AB，然后利用弧长公式计算出的长，最后求它们的差即可．【解答】解：作OC⊥AB于C，如图，则AC＝BC，∵OA＝OB，∠AOB＝120°，∴∠A＝∠B＝（180°﹣∠AOB）＝30°，在Rt△AOC中，OC＝OA＝9米，AC＝＝米，∴AB＝2AC＝米，又∵的长＝米，∴走便民路比走观赏路少走（）米，故选：D．【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．9．如图，已知∠BAC＝60°，AB＝4，AC＝6，点P在△ABC内，将△APC绕着点A逆时针方向旋转60°得到△AEF．则AE+PB+PC的最小值为（）A．2 B．8 C．5 D．6【分析】连接PE，BF，过B作AF垂线交FA延长线于G，由旋转性质得AP＝AE，∠PAE＝∠CAF＝60°，PC＝EF，再证明△APE为等边三角形，将AE+PB+PC转化为PB+PE+EF≥BF，再在直角△BGF中由勾股定理求出BF即可．【解答】解：如图，连接PE，BF，过B作AF垂线交FA延长线于G，∵△APC绕着点A逆时针方向旋转60°得到△AEF，∴AP＝AE，∠PAE＝∠CAF＝60°，PC＝EF，∴△APE为等边三角形，即AE＝PE，∴AE+PB+PC＝PB+PE+EF≥BF，∵∠BAC＝60°，∴∠BAF＝120°，∴∠BAG＝60°，∴AG＝AB＝2，GF＝2+6＝8，∴BG＝＝＝2，∴BF＝＝＝2．故选：A．【点评】本题主要考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理，将AE+PB+PC转化为PB+PE+EF≥BF是解决本题的关键．10．已知m，n是方程x2﹣10x+1＝0的两根，则代数式m2﹣9m+n的值等于（）A．0 B．﹣11 C．9 D．11【分析】先根据一元二次方程根的定义得到m2＝10m﹣1，则m2﹣9m+n可化为m+n﹣1，再根据根与系数的关系得到m+n＝10，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：∵m是方程x2﹣10x+1＝0的两根，∴m2﹣10m+1＝0，∴m2＝10m﹣1，∴m2﹣9m+n＝10m﹣1﹣9m+n＝m+n﹣1，∵m，n是方程x2﹣10x+1＝0的两根，∴m+n＝10，∴m2﹣9m+n＝10﹣1＝9．故选：C．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则x1+x2＝﹣，x1x2＝．11．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣1，m），图象与x轴的两个交点的横坐标分别为x1，x2，且﹣3＜x1＜﹣1．下列结论：①abc＜0；②4ac﹣b2＜0；③3a+c＞0；④ax2+m＝1﹣bx﹣c无实数根．其中正确的有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性，以及二次函数与一元二次方程的关系逐个进行判断即可．【解答】解：由图象知，a＞0，c＜0，b＞0，∴abc＜0，故①正确；∵图象与x轴的两个交点，∴b2﹣4ac＞0，∴4ac﹣b2＜0，故②正确；∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣1，m），图象与x轴的两个交点的横坐标分别为x1，x2，且﹣3＜x1＜﹣1，∴﹣1＜x2＜1，﹣＝﹣1，∴b＝2a，当x＝1是，y＞0，∴a+b+c＞0，∴3a+c＞0，故③正确；一元二次方程ax2+m＝1﹣bx﹣c可以看作函数y＝ax2+bx+c与y＝1﹣m的交点，当1﹣m＜m，即m＞时，由图象可知函数y＝ax2+bx+c与y＝1﹣m没有交点，此时一元二次方程ax2+m＝1﹣bx﹣c无实数根；当1﹣m＝m，即m＝时，由图象可知函数y＝ax2+bx+c与y＝1﹣m有一个交点，此时一元二次方程ax2+m＝1﹣bx﹣c有两个相等的实数根；当1﹣m＞m，即m＜时，由图象可知函数y＝ax2+bx+c与y＝1﹣m有两个交点，此时一元二次方程ax2+m＝1﹣bx﹣c有两个不相等的实数根；∴④错误；故选：B．【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，能够从图象中获取信息进行准确的分析是解题的关键．12．如图，在矩形ABCD中，点E在CD边上，连接AE，将△ADE沿AE翻折，使点D落在BC边的点F处，连接AF，在AF上取点O，以O为圆心，线段OF的长为半径作⊙O，⊙O与AB，AE分别相切于点G，H，连接FG，GH．则下列结论错误的是（）A．∠BAE＝2∠DAE B．四边形EFGH是菱形 C．AD＝3CE D．GH⊥AO【分析】由折叠和切线的性质可证∠GAF＝∠HAF＝∠DAE＝30°，得∠BAE＝2∠DAE，故A正确，不符合题意；延长EF交AB于点N，可证四边形EFGH是平行四边形，∠FEC＝60°，又HE＝EF，得四边形EFGH是菱形，故B正确，不符合题意；由等腰三角形的性质AG＝AH，∠GAF＝∠HAF，得GH⊥AO，故D正确，不符合题意；根据30°角的直角三角形的性质可证C错误．【解答】解：由折叠可得∠DAE＝∠FAE，∠D＝∠AFE＝90°，EF＝ED，∵AB和AE都是⊙O的切线，点G，H分别是切点，∴AG＝AH，∠GAF＝∠HAF，∴∠GAF＝∠HAF＝∠DAE＝30°，∴∠BAE＝2∠DAE，故A正确，不符合题意；如图，延长EF交AB于点N，∵OF⊥EF，OF是⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线，∴HE＝EF，NF＝NG，∴△ANE是等边三角形，∴FG∥HE，FG＝HE，∠AEF＝60°，∴四边形EFGH是平行四边形，∠FEC＝60°，又∵HE＝EF，∴四边形EFGH是菱形，故B正确，不符合题意；∵AG＝AH，∠GAF＝∠HAF，∴GH⊥AO，故D正确，不符合题意；在Rt△EFC中，∠C＝90°，∠FEC＝60°，∴∠EFC＝30°，∴EF＝2CE，∴DE＝2CE，∵∠AED＝60°，∴AD＝DE，∴AD＝2CE，故C错误，故选：C．【点评】本题主要考查了矩形的性质，翻折的性质，圆的切线的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，综合性较强，要求学生有较强的逻辑推理能力，属于考试压轴题．二．填空题（共6小题）13．已知关于x的一元二次方程（m+2）x2﹣3x+1＝0有实数根，则m的取值范围是m≤且m≠﹣2．【分析】根据方程根的情况，利用根的判别式及一元二次方程的定义列出关于m的不等式，解之可得．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m+2）x2﹣3x+1＝0有实数根，∴Δ＝（﹣3）2﹣4×（m+2）×1≥0且m+2≠0，解得m≤且m≠﹣2．故答案为：m≤且m≠﹣2．【点评】本题主要考查根的判别式和一元二次方程的定义，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根．14．一个三角形的两边长分别为3和5，第三边长是方程x2﹣6x+8＝0的根，则这个三角形的周长为12．【分析】先利用因式分解法解方程得到x1＝2，x2＝4，然后利用三角形三边的关系得到三角形第三边的长为4，从而得到计算三角形的周长．【解答】解：x2﹣6x+8＝0，（x﹣2）（x﹣4）＝0，x﹣2＝0或x﹣4＝0，所以x1＝2，x2＝4，若三角形第三边长为2，而2+3＝5，不符合三角形三边的关系舍去；若三角形第三边长为3，而4+3＞5，符合三角形三边的关系舍去；所以三角形第三边的长为4，所以三角形的周长为3+4+5＝12．故答案为12．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了三角形三边的关系．15．若点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）都在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，则y1，y2，y3从大到小的排列是y2＞y1＞y3．【分析】先根据反比例函数中k＜0判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论．【解答】解：∵反比例函数y＝中k＜0，∴函数图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大．∵﹣3＜0，﹣1＜0，∴点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2）位于第二象限，∴y1＞0，y2＞0，∵﹣3＜﹣1＜0，∴0＜y1＜y2．∵2＞0，∴点C（2，y3）位于第四象限，∴y3＜0，∴y3＜y1＜y2．故答案为：y2＞y1＞y3．【点评】此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及平面直角坐标系中各象限内点的坐标特点，比较简单．16．在0，1，2，3，4，5这六个数中，随机取出一个数记为a，使得关于x的一元二次方程ax2+3x+1＝0有实数解的概率是．【分析】根据方程无解可得Δ≥0，求出a的取值范围，再根据概率公式计算即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+3x+1＝0有实数解，∴Δ＝32﹣4×a×1＝9﹣4a≥0，解得a≤且a≠0，∴在0，1，2，3，4，5这六个数中，满足题意的有：1，2，∴随机取出一个数记为a，使得关于x的一元二次方程ax2+3x+1＝0有实数解的概率是．故答案为：【点评】本题主要考查一元二次方程根的判别式，根据题意找到实数a需要满足的条件是解题的关键．17．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝，将△ABC绕点C逆时针旋转60°，得到△MNC，连接BM，则BM的长是+1．【分析】如图，连接AM，由题意得：CA＝CM，∠ACM＝60°，得到△ACM为等边三角形根据AB＝BC，CM＝AM，得出BM垂直平分AC，于是求出BO＝AC＝1，OM＝CM•sin60°＝，最终得到答案BM＝BO+OM＝1+．【解答】解：如图，连接AM，由题意得：CA＝CM，∠ACM＝60°，∴△ACM为等边三角形，∴AM＝CM，∠MAC＝∠MCA＝∠AMC＝60°；∵∠ABC＝90°，AB＝BC＝，∴AC＝2＝CM＝2，∵AB＝BC，CM＝AM，∴BM垂直平分AC，∴BO＝AC＝1，OM＝CM•sin60°＝，∴BM＝BO+OM＝1+，故答案为：1+．【点评】本题考查了图形的变换﹣旋转，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质，准确把握旋转的性质是解题的关键．18．如图，在直角坐标系中，⊙A的圆心A的坐标为（﹣1，0），半径为1，点P为直线y＝﹣x+3上的动点，过点P作⊙A的切线，切点为Q，则切线长PQ的最小值是2．【分析】连接AP，PQ，当AP最小时，PQ最小，当AP⊥直线y＝﹣x+3时，PQ最小，根据全等三角形的性质得到AP＝3，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：如图，作AP⊥直线y＝﹣x+3，垂足为P，作⊙A的切线PQ，切点为Q，此时切线长PQ最小，∵A的坐标为（﹣1，0），设直线与x轴，y轴分别交于C，B，∴B（0，3），C（4，0），∴OB＝3，AC＝5，∴BC＝＝5，∴AC＝BC，在△APC与△BOC中，，∴△APC≌△BOC（AAS），∴AP＝OB＝3，∴PQ＝＝2．∵PQ2＝PA2﹣1，此时PA最小，所以此时切线长PQ也最小，最小值为2．【点评】本题主要考查切线的性质，掌握过切点的半径与切线垂直是解题的关键，用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．三．解答题（共7小题）19．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．（1）求证：无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根．（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且k与都为整数，求k所有可能的值．【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出Δ＝1＞0，进而可证出方程有两个不相等的实数根；（2）解方程求出方程的两根为k，k+1，得出＝1+或＝1﹣，然后利用有理数的整除性确定k的整数值；【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（2k+1）]2﹣4×（k2+k）＝1＞0，∴无论k取何值，方程有两个不相等的实数根．（2）解：∵x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0，即（x﹣k）[x﹣（k+1）]＝0，解得：x＝k或x＝k+1．∴一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0的两根为k，k+1，∴或，如果1+为整数，则k为1的约数，∴k＝±1，如果1﹣为整数，则k+1为1的约数，∴k+1＝±1，则k为0或﹣2．∴整数k的所有可能的值为±1，0或﹣2．【点评】本题考查了根的判别式、解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）利用解方程求出k的整数值．20．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点C的坐标为（4，﹣1）．（1）把△ABC向上平移5个单位后得到对应的△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出点B1的坐标；（2）以原点O为对称中心，画出△A1B1C1，关于原点O对称的△A2B2C2，并写出B2的坐标．【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）直接利用关于原点对称点的性质进而得出答案．【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求，点B1的坐标为：（5，1）；（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求，点B2的坐标为：（﹣5，﹣1）．【点评】此题主要考查了旋转变换以及平移变换，正确得出对应点位置是解题关键．21．为弘扬中华民族传统文化，某市举办了中小学生“国学经典大赛”，比赛项目为：A．唐诗；B．宋词；C．论语；D．三字经．比赛形式分“单人组”和“双人组”．（1）小华参加“单人组”，他从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“论语”的概率是多少？（2）小明和小红组成一个小组参加“双人组”比赛，比赛规则是：同一小组的两名队员的比赛项目不能相同，且每人只能随机抽取一次．则恰好小明抽中“唐诗”且小红抽中“宋词”的概率是多少？小明和小红都没有抽到“三字经”的概率是多少？请用画树状图或列表的方法进行说明．【分析】（1）直接利用概率公式求解；（2）先画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：（1）他从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“三字经”的概率＝．（2）画树状图为：共有12种等可能的结果数；其中恰好小明抽中“唐诗”且小红抽中“宋词”的结果数为1，小明和小红都没有抽到“三字经”的结果数为6；所以恰好小明抽中“唐诗”且小红抽中“宋词”的概率＝小明和小红都没有抽到“三字经”的概率＝＝【点评】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．22．如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴相交于点M（3，0），与y轴相交于点N（0，4），点A为MN的中点，反比例函数y＝（x＞0）的图象过点A．（1）求直线l和反比例函数的解析式；（2）在函数y＝（x＞0）的图象上取异于点A的一点C，作CB⊥x轴于点B，连接OC交直线l于点P，若△ONP的面积是△OBC面积的3倍，求点P的坐标．【分析】（1）根据点M、N的坐标利用待定系数法可求出直线l的解析式，根据点A为线段MN的中点可得出点A的坐标，根据点A的坐标利用待定系数法可求出反比例函数解析式；（2）根据反比例函数系数k的几何意义可求出S△OBC的面积，设点P的坐标为（a，﹣a+4），根据三角形的面积公式结合S△ONP的面积即可求出a值，进而即可得出点P的坐标．【解答】解：（1）设直线l的解析式为y＝mx+n（m≠0），将（3，0）、（0，4）代入y＝mx+n，得，解得：，∴直线l的解析式为y＝﹣x+4．∵点A为线段MN的中点，∴点A的坐标为（，2）．将A（，2）代入y＝，得k＝×2＝3，∴反比例函数解析式为y＝；（2）∵S△OBC＝|k|＝，∴S△ONP＝3S△OBC＝．∵点N（0，4），∴ON＝4．设点P的坐标为（a，﹣a+4），则a＞0，∴S△ONP＝ON•a＝2a，∴a＝，则﹣a+4＝﹣×+4＝1，∴点P的坐标为（，1）．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键．23．我市2015年为做好“精准扶贫”，投入资金1500万元用于某镇的异地安置，并规划投入资金逐年增加，2017年在2015年的基础上增加投入资金1875万元．（1）从2015年到2017年，该镇投入异地安置资金的年平均增长率为多少？（2）在2017年的具体实施中，该镇计划投入资金不高于500万元用于优先搬迁户的奖励，规定前100户（含第100户）每户奖励2万元，100户以后每户奖励5000元，试求今年该镇最多有多少户享受到优先搬迁奖励？【分析】（1）设从2015年到2017年，该镇投入异地安置资金的年平均增长率为x，根据2015年及2017年投入的异地安置资金，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）设今年该镇有y户享受到优先搬迁奖励，根据100×20000+超出100户的数量×5000≤投入资金，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．【解答】解：（1）设从2015年到2017年，该镇投入异地安置资金的年平均增长率为x，根据题意得：1500（1+x）2＝1500+1875，解得：x1＝0.5＝50%，x2＝﹣2.5（不合题意，舍去）．答：从2015年到2017年，该镇投入异地安置资金的年平均增长率为50%．（2）设今年该镇有y户享受到优先搬迁奖励，根据题意得：100×20000+（y﹣100）×5000≤5000000，解得：y≤700．答：今年该镇最多有700户享受到优先搬迁奖励．【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量间的关系，正确列出一元一次不等式．24．如图，AB是⊙O的直径，点D，E在⊙O上，四边形BDEO是平行四边形，过点D作DC⊥AE交AE的延长线于点C．（1）求证：CD是⊙O的切线．（2）若AC＝9，求阴影部分的面积．【分析】（1）要证明CD是⊙O的切线，所以想到连接OD，只要证明∠CDO＝90°，根据已知易证OD∥AC，即可解答；（2）利用已知可得四边形ODEA是菱形，△ODE是等边三角形，然后求出EC与DE的长，再在Rt△DCE中利用锐角三角函数求出CD的长，最后利用梯形CEOD的面积减去扇形DOE的面积即可解答．【解答】（1）证明：连接OD，∵DC⊥AE，∴∠C＝90°，∵四边形BDEO是平行四边形，∴DE＝OB，DE∥OB，∵OA＝OB，∴DE＝OA，∴四边形ODEA是平行四边形，∴AE∥OD，∴∠C+∠ODC＝180°，∴∠ODC＝180°﹣∠C＝90°，∵OD是圆O的半径，∴CD是⊙O的切线；（2）解：由（1）得：四边形ODEA是平行四边形，∵OD＝OA，∴四边形ODEA是菱形，∴AE＝DE＝OD＝OA，∵OD＝OE＝DE，∴△ODE是等边三角形，∴∠ODE＝∠DOE＝60°，∴∠CDE＝∠ODC﹣∠ODE＝90°﹣60°＝30°，∴DE＝2CE，