黑龙江省七台河市第一中学2024-2025学年高一数学下学期4月线上考试试题含解析

PAGE18-黑龙江省七台河市第一中学2024-2025学年高一数学下学期4月线上考试试题（含解析）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．1.若，则下列不等式不能成立的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，有，A正确；因为，所以，B正确；，C正确；当时，，，不成立，D错误．故选D.2.已知数列为等差数列，若，则的值为（）A.- B. C. D.【答案】A【解析】分析】利用等差数列的性质可知,,求出,再由即可求解.【详解】∵数列为等差数列，，∴由等差数列的性质可得,，所以，即,因为,所以，∴.故选：A【点睛】本题考查等差数列的性质和三角函数的诱导公式;属于基础题.3.（2024新课标全国I理科）记为等差数列的前项和．若，，则的公差为A.1 B.2C.4 D.8【答案】C【解析】设公差为，，，联立解得，故选C.点睛:求解等差数列基本量问题时，要多多运用等差数列的性质，如为等差数列，若，则.4.已知向量,是单位向量，若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由可知；由是单位向量，知.可知，从而可求出，进而可求.【详解】解：因为，所以，由，可知，又是单位向量，则，所以，解得，又，则.故选:B.【点睛】本题考查了向量模的计算，考查了向量的数量积的定义式，考查了向量夹角的计算.本题的关键是由得关于向量夹角的方程.求向量的夹角时，一般结合数量积来求解.5.已知等差数列前项和为，且，，则此数列中肯定值最小的项为A.第5项 B.第6项 C.第7项 D.第8项【答案】C【解析】设等差数列的首项为，公差为，，则，又，则，说明数列为递减数列，前6项为正，第7项及后面的项为负，又，则，则在数列中肯定值最小的项为，选C.6.已知数列的前项和为，，，且对于随意，，满意，则的值为（）A.90 B.91 C.100 D.101【答案】B【解析】【分析】由可推出，当，时，，结合，可知从起先为等差数列，结合数列前项和的定义以及等差数列求和公式，可求出的值.【详解】解：因为，则当，时，，即，因为，则从起先为等差数列，则.故选:B.【点睛】本题考查了数列求和，考查了等差数列的定义，考查了等差数列的前项和.本题的易错点是忽视，这一条件，误认为从起先成立，即错把当等差数列.7.已知是的重心，若，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由重心可知，，即，从而可推出，进而可求出，即可得的值.【详解】解：设边上的中点为，边上的中点为,延长至，使得.因为，，所以四边形为平行四边形，由向量的加法法则可知，.作的中点为，连接，则为的中位线，即，因为，所以，又，所以，即，所以，即，则.故选:B.【点睛】本题考查了平面对量的加法运算及减法运算，考查了三角形重心的性质.本题的关键是用表达.本题的难点是重心这一条件的应用.8.记为等差数列的前n项和．已知，则A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】等差数列通项公式与前n项和公式．本题还可用解除，对B，，，解除B，对C，，解除C．对D，，解除D，故选A．【详解】由题知，，解得，∴，故选A．【点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数列通项公式与前n项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，在适当计算即可做了推断．9.已知数列满意，，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由累加法，可得，然后借助函数的单调性，即可确定的最小值.【详解】由题，得，所以，，因为双勾函数在递减，在递增，且，所以的最小值为.故选：C【点睛】本题主要考查利用累加法求通项公式以及借助函数的单调性确定数列的最小项，考查学生的分析问题与解决问题的实力.10.平面内及一点满意，则点是的（）A.重心 B.内心 C.外心 D.垂心【答案】B【解析】【分析】由可得，，从而可知，是角平分线，即可得点的性质.【详解】解：由知，，即，即，则是的角平分线，同理，即，则是的角平分线，则点是的内心.故选:B.【点睛】本题考查了平面对量的数量积运算，考查了向量的夹角，考查了三角形的“三心”.本题的关键是结合数量积运算得到，.在三角形中，中线的交点为重心，角平分线的交点为内心，高的交点为垂心，三边垂直平分线的交点为外心.11.在中，边上的高，点在线段上，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】以所在边为轴，所在边为轴，建立直角坐标系，将坐标化，利用配方法求范围即可.【详解】以所在边为轴，所在边为轴，建立直角坐标系，（如图所示），故故选B.【点睛】本题考查向量数量积的坐标运算，二次函数求范围，是中档题.平面对量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量的模（平方后需求）.12.已知数列与前项和分别为，，且,，对随意的恒成立，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由可得，两式相减整理后可知，则首项为1，公差为1的等差数列，从而可得，进而可以确定，则可求出，进而可求出的最小值.【详解】解：因为，所以当时，，两式相减得，整理得，，由知，，从而，即当时，，当时，，解得或（舍），则首项为1，公差为1的等差数列，则.所以，则，所以.则的最小值是.故选:A【点睛】本题考查了由递推数列求数列通项公式，考查了等差数列的定义，考查了裂项相消法求数列的和.一般假如已知了的关系式，一般地代入进行整理运算.求数列的和常见的方法有，公式法、分组求和法、错位相减法、裂项相消法等.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分）13.已知，，与的夹角为，则在上的投影为．【答案】【解析】试题分析：因为，所以在上的投影为.所以答案应填：．考点：向量的数量积的几何意义．14.已知向量与向量的夹角为120°，若向量且，则的值为_______.【答案】【解析】【分析】由向量垂直入手，利用数量积，转化与之间的关系式，求解的值.【详解】，即再由数量积公式，得，．所以故答案为【点睛】向量垂直．数量积的乘法安排律．数量积定义.15.在数列中，，，记为的前项和,则________．【答案】.【解析】【分析】由可知，，，从而，，利用分组求和法即可得.【详解】解：因为，所以，，即则，，则，，所以.故答案为:.【点睛】本题考查了数列递推关系，考查了分组求和，考查了推理实力和计算实力.本题的关键是由递推公式得，.16.已知数列的前项和是，，且，则数列的通项公式______.【答案】【解析】【分析】由可得,两边同除可得,即是首项为,公差为的等差数列,可求得,进而由求解即可,留意检验时的状况.【详解】由题,因为,所以,两边同除可得,因为,所以数列是首项为,公差为的等差数列,所以,所以,当时,,当时,,检验,不符合,所以,故答案为:【点睛】本题考查构造法求通项公式,考查由与的关系求通项公式.三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答过程拍照上传）17.已知.(1)求与的夹角；(2)求.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由得到，又代入夹角公式，求出的值；（2）利用公式进行模求值.【详解】（1）因为，所以，因为，因为，所以.（2）.【点睛】本题考查数量积的运算及其变形运用，特殊留意之间关系的运用与转化，考查基本运算实力.18.已知等差数列满意：，且，，成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）记为数列的前项和，是否存在正整数，使得？若存在，求的最小值；若不存在，说明理由.【答案】(1)通项公式为或;(2)当时，不存在满意题意正整数；当时，存在满意题意的正整数，其最小值为.【解析】【详解】（1）依题意，成等比数列，故有，∴，解得或.∴或.（2）当时，不存在满意题意的正整数；当，∴.令，即，解得或（舍去），∴最小正整数.19.已知中，角所对的边分别是，向量，，.（1）求的大小；（2）若向量与共线，且,求的值.【答案】（1）；（2）,【解析】【分析】（1）将整理为，从而解方程得到；（2）利用与共线得到，利用进行整理，可求得；再利用正弦定理求解.【详解】（1）（2）与共线又由正弦定理可得：；【点睛】本题考查平面对量与三角函数、解三角形的综合问题，包括：向量数量积、向量共线定理、三角函数化简、两角和差公式应用、正余弦定理解三角形的学问；综合的学问点较多，但都属于基础学问点，难度适中.20.已知数列前项和,满意，（1）求数列的通项公式.（2）若，且数列的前项和为，求的取值范围.【答案】（1）;（2）【解析】【分析】（1）由可得，当时，，两式相减整理得，结合累乘法可求出通项公式.（2）由（1）可知，进而可求出，结合函数的单调性可知，当增大时，也增大，进而可求的取值范围.【详解】（1）解：因为，则当时，，两式相减得，，整理得，，即，所以，各式相乘得.当时，，解得，则，当时，，则.（2）因为，所以，则对于在单调递增，则当增大时，也增大，则当时，取最小值为；当时，，则，则.【点睛】本题考查了累乘法求数列的通项公式，考查了裂项相消法求数列的和，考查了最值的求解.求数列的通项公式时，常用的方法有公式法、累加法、累乘法、构造新数列法；求数列的和时，常用的方法有公式法、错位相减法、裂项相消法、分组求和法等.21.已知数列的前项和为，且（1）求的通项公式；（2）记,若数列是递增数列，求实数的取值范围.【答案】（1）;（2）.【解析】【分析】（1）由可知，当时，，通过验证可知，；（2）由（1）知，，结合是递增数列可知，，即，分成为奇数和偶数，分别求的最小值，从而可求出实数的取值范围.【详解】解：（1）当时，，则整理得，.当时，，所以.（2）由题意知，，则，则，则，设，则，则在单调递增.当为奇数时，，当时，取最小值为，即，解得；当为偶数时，，当时，取最小值为，则，解得.综上所述，.【点睛】本题考查了数列通项公式的求解，考查了数列的增减性，考查了最值的求解.已知求数列的通项公式时，代入求解即可.本题的易错点是忽视了成立的条件是.22.已知数列中，，前项和．（1）求数列的通项公式；（2）记，证明：，【答案】（1）;（2）见解析.【解析】【分析】（1）由，可知，即，通过累乘法可求