数学人教A版必修四课件第一章三角函数1.4.1

正弦函数、余弦函数的图象第一章

§1.4

三角函数的图象与性质学习目标1.了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法.2.掌握“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法，能用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线.3.理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考

知识点一正弦函数、余弦函数的概念从对应的角度如何理解正弦函数、余弦函数的概念？答案答案实数集与角的集合之间可以建立一一对应关系，而一个确定的角又对应着唯一确定的正弦(或余弦)值.这样，任意给定一个实数x，有唯一确定的值sinx(或cosx)与之对应.由这个对应法则所确定的函数y＝sinx(或y＝cosx)叫做正弦函数(或余弦函数)，其定义域是R.思考1

知识点二几何法作正弦函数、余弦函数的图象课本上是利用什么来比较精确的画出正弦函数的图象的？其基本步骤是什么？答案答案利用正弦线，这种作图方法称为“几何法”，其基本步骤如下：①作出单位圆：作直角坐标系，并在直角坐标系中y轴左侧的x轴上取一点O1，作出以O1为圆心的单位圆；②等分单位圆，作正弦线：从⊙O1与x轴的交点A起，把⊙O1分成12等份.过⊙O1上各分点作x轴的垂线，得到对应于

2π等角的正弦线；③找横坐标：把x轴上从0到2π这一段分成12等份；④找纵坐标：把角x的正弦线向右平移，使它的起点与x轴上对应的点x重合，从而得到12条正弦线的12个终点；⑤连线：用光滑的曲线将12个终点依次从左至右连接起来，即得到函数y＝sinx，x∈[0，2π]的图象，如图.因为终边相同的角有相同的三角函数值，所以函数y＝sinx，x∈[2kπ，2(k＋1)π)，k∈Z且k≠0的图象与函数y＝sinx，x∈[0，2π)的图象的形状完全一致.于是只要将函数y＝sinx，x∈[0，2π)的图象向左、向右平行移动(每次2π个单位长度)，就可以得到正弦函数y＝sinx，x∈R的图象，如图.思考2

如何由正弦函数的图象通过图形变换得到余弦函数的图象？答案梳理正弦函数的图象和余弦函数的图象分别叫做

和

.正弦曲线余弦曲线思考1

知识点三“五点法”作正弦函数、余弦函数的图象描点法作函数图象有哪几个步骤？答案答案列表、描点、连线.思考2

“五点法”作正弦函数、余弦函数在x∈[0，2π]上的图象时是哪五个点？答案答案画正弦函数图象的五点(0，0)(π，0)(2π，0)画余弦函数图象的五点(0，1)(π，－1)(2π，1)梳理“五点法”作正弦函数y＝sinx、余弦函数y＝cosx，x∈[0，2π]图象的步骤：(1)列表x0π2πsinx010－10cosx10－101(2)描点画正弦函数y＝sinx，x∈[0，2π]的图象，五个关键点是

；画余弦函数y＝cosx，x∈[0，2π]的图象，五个关键点是

.(3)用光滑曲线顺次连接这五个点，得到正弦曲线、余弦曲线的简图.题型探究解答类型一“五点法”作图的应用例1利用“五点法”作出函数y＝1－sinx(0≤x≤2π)的简图.解取值列表：x0π2πsinx010－101－sinx10121描点连线，如图所示.反思与感悟作正弦曲线要理解几何法作图，掌握五点法作图.“五点”即y＝sinx或y＝cosx的图象在[0，2π]内的最高点、最低点和与x轴的交点.“五点法”是作简图的常用方法.跟踪训练1用“五点法”作出函数y＝1－cosx(0≤x≤2π)的简图.解列表如下：解答x0π2πcosx10－1011－cosx01210描点并用光滑的曲线连接起来，如图.类型二利用正弦、余弦函数的图象求定义域解答结合图象可得x∈[－4，－π)∪(0，π).反思与感悟一些三角函数的定义域可以借助函数图象直观地观察得到，同时要注意区间端点的取舍.解答类型三与正弦、余弦函数有关的函数零点问题解答命题角度1零点个数问题例3在同一坐标系中，作函数y＝sinx和y＝lgx的图象，根据图象判断出方程sinx＝lgx的解的个数.解建立平面直角坐标系xOy，先用五点法画出函数y＝sinx，x∈[0，2π]的图象，再向右连续平移2π个单位，得到y＝sinx的图象.描出点(1，0)，(10，1)，并用光滑曲线连接得到y＝lgx的图象，如图所示.由图象可知方程sinx＝lgx的解有3个.反思与感悟三角函数的图象是研究函数的重要工具，通过图象可较简便的解决问题，这正是数形结合思想方法的应用.跟踪训练3方程x2－cosx＝0的实数解的个数是

.2答案解析解析作函数y＝cosx与y＝x2的图象，如图所示，由图象可知，原方程有两个实数解.解答命题角度2参数范围问题反思与感悟准确作出函数图象是解决此类问题的关键，同时应抓住“临界”情况进行分析.解答跟踪训练4若函数f(x)＝sinx－2m－1，x∈[0，2π]有两个零点，求m的取值范围.解由题意可知，sinx－2m－1＝0在[0，2π]上有2个根，即sinx＝2m＋1有两个根，可转化为y＝sinx与y＝2m＋1两函数的图象有2个交点.由y＝sinx图象可知，－1＜2m＋1＜1，且2m＋1≠0，当堂训练1.用“五点法”作y＝2sin2x的图象时，首先描出的五个点的横坐标是答案23451解析√2.下列图象中，y＝－sinx在[0，2π]上的图象是答案23451解析√解析由y＝sinx在[0，2π]上的图象作关于x轴的对称图形，应为D项.3.函数y＝cosx，x∈[0，2π]的图象与直线y＝

的交点有

个.答案23451解析2解析作y＝cosx，x∈[0，2π]的图象及直线y＝

(图略)，可知两函数图象有2个交点.答案23451解析解析由题意知，自变量x应满足2sinx－1≥0，解答234512345123451描点画图：规律与方法1.对“五点法”画正弦函数图象的理解(1)与前面学习函数图象的画法类似，在用描点法探究函数图象特征的前提下，若要求精度不高，只要描出函数图象的“