北师版九年级数学上册教案教学设计

北师版九年级数学上册教案教学设计第一章特殊平行四边形1菱形的性质与判定第1课时菱形的性质教师备课素材示例●情景导入请同学们拿出准备好的纸片，对折两次，折出一个直角，剪一刀，得到一个直角三角形，再将它展开得到一个四边形．观察得到的四边形的形状，它是一个怎样的平行四边形呢？今天我们来学习这种特殊平行四边形——菱形．【教学与建议】教学：动手操作，感知菱形特征．建议：让学生“动”起来，然后提问学生学习菱形性质要从哪几个方面着手(类比平行四边形的性质).●置疑导入准备四根等长的木棒拼成平行四边形(随意)，使其一边慢慢地平移．提出问题：整个变化过程中四边形是否一直是平行四边形？直到相邻两边长度相等时，四边形与原平行四边形有什么不同？【教学与建议】教学：通过图形的变化让学生感知菱形是平行四边形中的一个特例．建议：感知菱形的两个关键点：①平行四边形，②一组邻边相等．●类比导入(1)画一个平行四边形ABCD.(2)在AD边上截取AE＝AB，过点E作EF∥AB，交BC于点F.(3)提问：四边形ABFE是平行四边形吗？它与平行四边形ABCD有什么联系，有什么区别？【教学与建议】教学：这个导入可以类比菱形与平行四边形的区别与联系．建议：教师示范画图或者至少安排一名学生在黑板上画图．命题角度1利用菱形的性质求线段长或角的度数菱形可以看成是把多边形的问题转化为三角形的问题．【例1】如图，P是菱形ABCD对角线BD上一点，PE⊥AB于点E，且PE＝4cm，则点P到BC的距离是(D)A．1cmB．2cmC．3cmD．4cm【例2】如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.(1)若∠BAO＝55°，则∠ABO＝__35__°；(2)若AB＝5，AC＝6，则BD＝__8__．

命题角度2用菱形的性质求最小值在菱形中求最短路线时，可借助“对称”将其转化成两点之间的最短距离问题，根据“两点之间，线段最短”，从而找到最短路线．【例3】如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点，点M，N分别是AB，BC边上的中点，则MP＋PN的最小值是(B)A.eq\f(1,2)B．1C．eq\r(2)D．2命题角度3利用菱形的性质进行证明解决此类问题运用全等三角形或等量代换进行证明．【例4】(1)如图，在菱形ABCD中，点E，F分别为AD，CD边上的点，DE＝DF.求证：∠1＝∠2.证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD.在△ADF和△CDE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AD＝CD，,∠D＝∠D，,DF＝DE，))∴△ADF≌△CDE(SAS).∴∠1＝∠2.(2)如图，在菱形ABCD中，F是AB上一点，DF交AC于点E，连接BE.求证：∠AFD＝∠CBE.证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥DC，DC＝BC，∠DCE＝∠BCE.又∵CE＝CE，∴△DCE≌BCE(SAS).∴∠CDE＝∠CBE.∵AB∥DC，∴∠CDE＝∠AFD，∴∠AFD＝∠CBE.高效课堂教学设计1．理解菱形的概念，了解它与平行四边形之间的关系．2．会运用菱形的性质进行简单的推理和计算．▲重点菱形的概念和性质．▲难点菱形性质的灵活应用．A积B01000101◆活动1创设情境导入新课(课件)【问题1】复习平行四边形的定义及性质．【问题2】下面的平行四边形中，有什么共同的特征吗？在教师指导下，由学生讨论回答，教师归纳评价．本节课我们一起走进菱形，去研究菱形的性质与判定．◆活动2实践探究交流新知【探究1】菱形的性质1．结合以上特殊平行四边形的性质，你能给菱形一个定义吗？归纳：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．2．(1)菱形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质，你能列举一些这样的性质吗？(2)你认为菱形还具有哪些特殊的性质？与同伴交流．3．做一做：请同学们用你手中的菱形纸片折一折，回答下列问题：(1)菱形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？(2)菱形中有哪些相等的线段？归纳：通过上面的折纸活动，我们可以发现菱形是轴对称图形，它有两条对称轴，对称轴互相垂直；它的四条边相等．【探究2】如何推理证明“菱形的四条边相等，对角线互相垂直”这两个性质呢？(多媒体出示)已知：如图，在菱形ABCD中，AB＝AD，对角线AC与BD相交于点O.求证：(1)AB＝BC＝CD＝AD；(2)AC⊥BD.思考：(1)菱形是特殊的平行四边形，你能从平行四边形的性质证明菱形的四条边相等吗？(2)可以利用什么性质来证明AC⊥BD.说出你的想法，然后小组交流．证明：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CD，AD＝BC(菱形的对边相等).又∵AB＝__AD__，∴AB＝BC＝CD＝AD；(2)∵AB＝AD，∴△ABD是__等腰__三角形．又∵四边形ABCD是菱形，∴OB＝__OD__(菱形的对角线互相平分).在等腰三角形ABD中，∵OB＝OD，∴AO⊥BD.即AC⊥BD.归纳：eq\x(\a\al(定理菱形的四条边相等．,定理菱形的对角线互相垂直．))【探究3】定理的拓展延伸通过对“菱形的对角线互相垂直”的证明过程，你还能发现菱形的对角线有什么性质？方法提示：由折叠过程或等腰三角形“三线合一”推出菱形对角线的性质．归纳：菱形的每条对角线平分一组对角．◆活动3开放训练应用举例例1(教材P3例1)如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠BAD＝60°，BD＝6，求菱形的边长AB和对角线AC的长．【方法指导】菱形性质的应用、勾股定理的应用．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝__AD__(菱形的四条边相等)，__AC__⊥__BD__(菱形的对角线互相垂直)，OB＝OD＝eq\f(1,2)__BD__＝__eq\f(1,2)×6__＝__3__(菱形的对角线互相平分).在等腰三角形ABD中，∵∠BAD＝60°，∴△ABD是__等边__三角形，∴AB＝BD＝6.在Rt△AOB中，由勾股定理，得OA2＋OB2＝AB2，∴OA＝__eq\r(AB2－OB2)__＝__eq\r(62－32)__＝__3eq\r(3)__，∴AC＝__2OA__＝__6eq\r(3)__(菱形的对角线互相平分).例2如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，DE∥AC且交BC的延长线于点E.求证：DE＝eq\f(1,2)BE.【方法指导】连接BD，由四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，易得BD⊥AC，∠DBC＝30°，又由DE∥AC，即可证得DE⊥BD，由30°所对的直角边等于斜边的一半，即可证得DE＝eq\f(1,2)BE.证明：连接BD.∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴BD⊥AC，∠DBE＝30°.∵DE∥AC，∴DE⊥BD，即∠BDE＝90°.∵在Rt△BDE中，∠DBE＝30°，∴DE＝eq\f(1,2)BE.◆活动4随堂练习1．下列性质中，菱形不一定具有的性质是(C)A．对角线互相平分B．对角线互相垂直C．对角线相等D．是轴对称图形2．教材P4随堂练习解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OB＝eq\f(1,2)BD.在Rt△AOB中，AB＝5cm，AO＝4cm，由勾股定理，得OB＝eq\r(AB2－AO2)＝eq\r(52－42)＝3(cm)，∴BD＝2OB＝6(cm).3．如图，菱形ABCD的周长为20cm，对角线AC与BD相交于点O，AC＝5cm.(1)∠BAC＝__60°__，∠ABC＝__60°__；(2)对角线BD＝__5eq\r(3)__．◆活动5课堂小结与作业学生活动：通过这节课的学习，你有哪些收获？有何感想？学会了哪些方法？先想一想，再分享给大家．教学说明：1.菱形的性质定理：①菱形的四条边相等；②菱形的对角线互相垂直．2．菱形的一条对角线把菱形分成两个全等的等腰三角形，菱形的两条对角线把菱形分成四个全等的直角三角形．因此，有关菱形的问题，往往可转化为等腰三角形或直角三角形的问题来解决．作业：课本P4习题1.1中的T2、T3、T4.本节课重在探索菱形的性质．在操作活动和观察分析过程中发展学生的审美意识，进一步体会和理解说理的基本步骤，学会菱形的实际应用．第2课时菱形的判定教师备课素材示例●情景导入如图，将两张等宽的纸条交叉，重合部分是四边形ABCD，试说明它是什么特殊平行四边形．【教学与建议】教学：动手操作增强学生的感性认识，引入课题．建议：在学生操作时，教师要引导学生进行思考、分析．●复习导入什么样的四边形是平行四边形？它有哪些判定方法？边：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．角：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．对角线：对角线互相平分的四边形是平行四边形．那么，菱形的判定有什么方法呢？【教学与建议】教学：通过复习平行四边形知识导入课题，作好知识的铺垫，激发学生对新知识的需求．建议：可以让学生先回答问题，再小组讨论菱形判定方法．●类比导入(1)如图①所示，用一长一短两根细木条，在它们的中点处固定一个小钉子，做成一个可转动的十字架，四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形．任意转动木条，围成的四边形总有什么特征？你能证明你发现的结论吗？(2)继续转动木条，如图②所示橡皮筋围成的四边形是菱形？你能证明你的猜想吗？【教学与建议】教学：类比操作感知菱形对角线的特征，引导学生得出菱形的判定方法．建议：在判定菱形的时候对角线应满足：①当确定四边形是平行四边形时，对角线互相垂直；②当不确定四边形是不是平行四边形时，对角线互相垂直平分．命题角度1先判定是平行四边形，再判定菱形判定方法：①有一组邻边相等的平行四边形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形．【例1】(1)如图，在▱ABCD中，BD⊥AC，O为垂足，求证：▱ABCD为菱形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO(平行四边形的对角线互相平分).∵BD⊥AC，∴AD＝CD(中垂线的性质).∴▱ABCD是菱形(菱形的定义).(2)如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，试问四边形AEDF是菱形吗？说明你的理由．解：四边形AEDF是菱形．理由如下：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形．∵DE∥AC，∴∠CAD＝∠ADE.∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD＝∠CAD，∴∠BAD＝∠ADE，∴AE＝DE，∴四边形AEDF是菱形．命题角度2定义判定四边形是菱形利用四边相等的四边形判定是菱形．【例2】如图，AC＝8，分别以A，C为圆心，以长度5为半径作弧，两条弧分别相交于点B和D.依次连接A，B，C，D，连接BD交AC于点O.判断四边形ABCD的形状并说明理由．解：四边形ABCD为菱形．理由如下：由作法得AB＝AD＝CB＝CD＝5，∴四边形ABCD为菱形．命题角度3补充条件证明四边形是菱形此类试题综合考查学生探索条件、倒序推理的能力．【例3】如图，在△ABC中，D是BC的中点，点E，F分别在线段AD及其延长线上，且DE＝DF.给出下列条件：①BE＝EC；②BF∥CE；③AB＝AC.从中选择一个条件使四边形BECF是菱形，你认为这个条件是__①③__(填序号)．高效课堂教学设计1．理解菱形的判定条件，掌握菱形的判定方法．2．会利用菱形的判定方法进行有关的推理和计算．▲重点菱形的判定方法．▲难点菱形判定定理的应用．◆活动1创设情境导入新课(课件)什么样的四边形是平行四边形？它有哪些判定方法？边：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．角：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．对角线：对角线互相平分的四边形是平行四边形．那么，菱形的判定有什么方法呢？◆活动2实践探究交流新知【探究1】一组邻边相等的平行四边形是菱形1．菱形的定义是什么？菱形有哪些性质？2．运用菱形的性质进行菱形的判定，应具备几个条件？两个条件：一是__平行四边形__；二是__有一组邻边__相等．【探究2】菱形的判定定理1阅读教材P5问题1：命题的证明需要哪些依据？问题2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？怎样证明？(多媒体展示)如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥BD.求证：▱ABCD是菱形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝__OC__．又∵AC⊥BD，∴直线BD是线段__AC__的__垂直平分线__，∴BA＝BC，∴四边形ABCD是菱形(菱形的定义).归纳：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．【探究3】菱形的判定定理21．已知线段AC，你能用尺规作图的方法作一个菱形ABCD，使AC为菱形的一条对角线吗？你是怎么做的？思考并独立完成后，与同伴交流．2．你所作的四边形是菱形吗？你能得到怎样的结论？你能证明这个结论吗？(多媒体展示)如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD.求证：四边形ABCD是菱形．证明：∵AB＝CD，BC＝AD，∴四边形ABCD是__平行四边形__．又∵AB＝BC，∴四边形ABCD是__菱形__．归纳：四边相等的四边形是菱形．◆活动3开放训练应用举例例1(教材P6例2)已知：如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝eq\r(5)，OA＝2，OB＝1.求证：▱ABCD是菱形．【方法指导】利用菱形的性质与判定及勾股定理的逆定理，关键是先根据勾股定理的逆定理得出△AOB为直角三角形．证明：在△AOB中，∵AB＝eq\r(5)，OA＝2，OB＝1，∴AB2＝OA2＋OB2，∴△AOB是直角三角形，∠AOB是直角，∴AC⊥BD，∴▱ABCD是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形).例2如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，AC，BD相交于点O，点E在AO上，且OE＝OC.(1)求证：∠1＝∠2；(2)连接BE，DE，判断四边形BCDE的形状，并说明理由．【方法指导】小组讨论⇒教师引导[借助全等完成(1)，借助判定定理1完成(2)]⇒学生展示⇒教师评价．解：(1)在△ABC和△ADC中，∵AB＝AD，BC＝DC，AC＝AC，∴△ABC≌△ADC，∴∠1＝∠2；(2)四边形BCDE是菱形．理由如下：连接BE，DE.∵BC＝DC，∠1＝∠2，∴OD＝OB，OC⊥BD.∵OE＝OC，∴四边形BCDE是平行四边形．又∵OC⊥BD，∴四边形BCDE是菱形．◆活动4随堂练习1．如图，长方形ABCD的对角线AC的垂直平分线与AD，AC，BC分别交于点E，O，F.求证：四边形AFCE是菱形．证明：∵EF是AC的垂直平分线，∴AO＝CO，EF⊥AC.∵四边形ABCD是长方形，∴AD∥BC，∴∠EAC＝∠FCA.在△AOE和△COF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠EAO＝∠FCO，,AO＝CO，,∠AOE＝∠COF，))∴△AOE≌△COF(ASA)，∴EO＝FO，∴四边形AFCE是平行四边形．∵EF⊥AC，∴四边形AFCE是菱形．2．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF.(1)求证：四边形BCFE是菱形；(2)若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积．解：(1)∵D，E分别是AB，AC的中点，∴DE∥BC且2DE＝BC.又∵BE＝2DE，∴BE＝BC.∵EF＝BE，∴EF＝BC，∴四边形BCFE是平行四边形．又∵EF＝BE，∴四边形BCFE是菱形；(2)∵∠BCF＝120°，∴∠EBC＝60°，又∵BE＝BC，∴△EBC是等边三角形，∴菱形的边长为4，高为2eq\r(3)，∴菱形的面积为4×2eq\r(3)＝8eq\r(3).◆活动5课堂小结与作业学生活动：这节课你的主要收获是什么？还有哪些困惑？教学说明：菱形判定定理的推导与证明．作业：课本P7习题1.2中的T1、T2、T3.经历菱形证明、猜想的过程，进一步提高学生的推理论证能力，体会证明过程中所运用的归纳概括以及转化等数学方法．在菱形的判定方法的探索与综合应用中，培养学生的观察能力、动手能力及逻辑思维能力．第3课时菱形的性质与判定的综合应用教师备课素材示例●置疑导入问题(1)菱形的对角线有什么位置关系？(2)菱形的对角线可以将菱形分割成什么样的三角形？(3)知道AC，BD的长度，能求出菱形ABCD的面积吗？【教学与建议】教学：把菱形问题转化为三角形的问题进行研究．建议：让学生明确菱形的对角线将菱形分成四个全等的三角形．●复习导入(1)菱形的概念：有一组__邻边相等__的平行四边形叫做菱形．(2)菱形的性质：①菱形的四条边都相等；②菱形的对角线互相垂直且每条对角线平分一组对角．(3)菱形的判定方法：①一组__邻边相等__的平行四边形是菱形；②对角线__互相垂直__的平行四边形是菱形；③四条边__相等__的四边形是菱形．【教学与建议】教学：复习菱形的性质与判定，导入综合应用．建议：多媒体展示答案．命题角度1菱形对称性的有关计算在菱形计算题中，可用“对称”的方法找到相等的线段或角、图形等．【例1】如图，四边形ABCD是菱形，点O是两条对角线的交点，过点O的三条直线将菱形分成阴影部分和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别是6和8时，则阴影部分的面积为__12__．命题角度2求菱形的面积菱形面积的两种计算方法：①菱形的面积＝底×高；②菱形的面积等于对角线乘积的一半．【例2】(1)如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝12，BD＝8，则菱形ABCD的面积与周长分别为(B)A．96，4eq\r(13)B．48，8eq\r(13)C．36，8eq\r(13)D．20，4eq\r(13)(2)若菱形的一个内角为60°，一条较短的对角线长为6cm，则另一条对角线长为__6eq\r(3)__cm__，这个菱形的面积为__18eq\r(3)__cm2__．命题角度3利用菱形的性质解决找规律问题一内角为60°的菱形中较短对角线长等于菱形的边长，较长对角线长等于边长的eq\r(3)倍．若将菱形旋转，则此规律循环出现．【例3】如图，在直角坐标系中放置一菱形OABC，已知∠ABC＝60°，OA＝1.现将菱形OABC沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转60°，连续翻转2024次，点B的落点依次为B1，B2，B3，B4，…，则点B2024的坐标为__(1__350，0)__．命题角度4菱形性质与判定的综合应用熟练掌握菱形的性质与判定，灵活解决菱形线段、周长、面积等问题．【例4】如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F，AE与BF相交于点O，连接EF.(1)求证：四边形ABEF是菱形；(2)若AE＝6，BF＝8，CE＝eq\f(5,2)，求▱ABCD的面积．解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.∴∠DAE＝∠AEB.∵∠BAD的平分线交BC于点E，∴∠DAE＝∠BAE.∴∠BAE＝∠BEA，∴AB＝BE.同理可得AB＝AF，∴AF＝BE，∴四边形ABEF是平行四边形．∵AB＝AF，∴四边形ABEF是菱形；(2)过点F作FG⊥BC于点G.∵四边形ABEF是菱形，AE＝6，BF＝8，∴AE⊥BF，OE＝eq\f(1,2)AE＝3，OB＝eq\f(1,2)BF＝4.∴BE＝eq\r(OB2＋OE2)＝5.∵S菱形ABEF＝eq\f(1,2)AE·BF＝BE·FG，∴FG＝eq\f(24,5).∴S▱ABCD＝BC·FG＝(BE＋EC)·FG＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5＋\f(5,2)))×eq\f(24,5)＝36.高效课堂教学设计1．能灵活运用菱形的性质定理及判定定理解决一些相关问题．2．掌握菱形面积的求法．3．经历菱形性质定理及判定定理的应用过程，体会数形结合、转化等思想方法．▲重点菱形的性质与判定的理解和掌握．▲难点菱形的性质与判定的综合应用．◆活动1创设情境导入新课(课件)提出问题：我们已经研究了一个特殊的平行四边形——菱形，它的定义是什么呢？有哪些性质呢？(多媒体投影问题和答案)问题1：菱形的定义：__有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形__问题2：菱形的性质：(边)__对边平行且四条边相等__(角)__对角相等，邻角互补__(对角线)__对角线互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角__(对称性)__既是轴对称图形，也是中心对称图形__◆活动2实践探究交流新知【探究1】如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠部分ABCD是菱形吗？为什么？【提示】先证明它是平行四边形，再证明邻边相等．【探究2】若纸条的宽度是3，∠ABC＝60°，你会求菱形的面积吗？你有几种不同的方法？与同学交流．方法一：菱形是特殊的平行四边形，可以用__底×高__求菱形的面积．解：过点A作AE⊥BC于点E，在Rt△ABE中，∠B＝__60°__，AE＝__3__，设BE＝x(x＞0)，则AB＝__2x__．由勾股定理，得AB2＝AE2＋BE2，即(2x)2＝32＋x2，解得x＝__eq\r(3)__，∴BE＝__eq\r(3)__，AB＝__2eq\r(3)__，S菱形ABCD＝BC·AE＝__2eq\r(3)×3__＝__6eq\r(3)__.方法二：菱形的对角线互相垂直，可以用__eq\f(1,2)AC·BD__，求菱形的面积．解：连接AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E.∵四边形ABCD为菱形，∠ABC＝60°，∴△ABC是__等边__三角形．由方法(1)可知AB＝2eq\r(3)，∴AB＝BC＝AC＝2eq\r(3)，∴OA＝__eq\r(3)__．在Rt△AOB中，由勾股定理，得OB＝eq\r(AB2－AO2)＝eq\r(（2\r(3)）2－（\r(3)）2)＝__3__，∴BD＝2OB＝2×__3__＝__6__．S菱形ABCD＝2S△ABC＝eq\f(1,2)AC·OB×2＝eq\f(1,2)AC·BD＝eq\f(1,2)×2eq\r(3)×__6__＝__6eq\r(3)__．归纳：菱形面积的计算公式：①如图，S菱形ABCD＝AB·DE，即菱形的面积等于底乘高；②S菱形ABCD＝eq\f(1,2)AC·BD，即菱形的面积等于两条对角线乘积的一半．◆活动3开放训练应用举例例1(教材P8例3)如图，四边形ABCD是边长为13cm的菱形，其中对角线BD长10cm.求：(1)对角线AC的长度；(2)菱形ABCD的面积．【方法指导】(1)根据菱形的性质可得BD⊥AC，BE＝DE＝eq\f(1,2)BD，然后利用勾股定理计算出AE的长，进而可得答案；(2)将菱形分割成两个三角形或四个直角三角形，进而求出整个菱形的面积．解：(1)∵四边形ABCD是菱形，AC与BD相交于点E，∴∠AED＝90°(菱形的对角线互相垂直)，DE＝eq\f(1,2)BD＝eq\f(1,2)×10＝5(cm)(菱形的对角线互相平分)，∴AE＝eq\r(AD2－DE2)＝eq\r(132－52)＝12(cm)，∴AC＝2AE＝2×12＝24(cm)(菱形的对角线互相平分)；(2)菱形ABCD的面积＝△ABD的面积＋△CBD的面积＝2×△ABD的面积＝2×eq\f(1,2)×BD×AE＝2×eq\f(1,2)×10×12＝120(cm2).例2如图，在△ABC中，AB＝BC，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点．(1)求证：四边形BDEF是菱形；(2)AB＝10cm，求菱形BDEF的周长．【方法指导】(1)根据三角形的中位线定理及菱形的定义可证出结论；(2)根据中点的定义和菱形的四条边相等可得菱形BDEF的周长．解：(1)∵E，F分别是AC，AB的中点，∴EF＝eq\f(1,2)BC，EF∥BC.同理可证DE＝eq\f(1,2)AB，DE∥AB.∴四边形BDEF是平行四边形．∵AB＝BC，∴EF＝DE，∴四边形BDEF是菱形；(2)∵F是AB的中点，∴BF＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)×10＝5(cm)，∵四边形BDEF是菱形，∴BD＝DE＝EF＝BF，∴菱形BDEF的周长为4×5＝20(cm).◆活动4随堂练习1．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于点O，AC＝2cm，BD＝4cm，则菱形ABCD的面积是__4__cm2.eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第1题图）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第2题图）))2．如图，菱形ABCD的边长是4cm，E是AB的中点，且DE⊥AB，则S菱形ABCD＝__8eq\r(3)__cm2.3．如图，在菱形ABCD中，∠ABC与∠BAD的度数比为1∶2，周长是8cm.求：(1)两条对角线的长度；(2)菱形的面积．解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AD∥BC.∴∠ABC＋∠BAD＝180°.∵∠ABC与∠BAD的度数比为1∶2，∴∠ABC＝eq\f(1,3)×180°＝60°，∴∠ABO＝eq\f(1,2)∠ABC＝30°.∵菱形ABCD的周长是8cm，∴AB＝2cm，∴OA＝eq\f(1,2)AB＝1(cm).∴OB＝eq\r(AB2－OA2)＝eq\r(22－12)＝eq\r(3)(cm)，AC＝2OA＝2×1＝2(cm).∴BD＝2OB＝2eq\r(3)(cm)；(2)S菱形ABCD＝eq\f(1,2)AC·BD＝eq\f(1,2)×2×2eq\r(3)＝2eq\r(3)(cm2).◆活动5课堂小结与作业学生活动：这节课的主要收获是什么？教学说明：菱形性质与判定的应用，要注意两者的区别与联系．作业：课本P9随堂练习T1、T2习题1.3中的T1、T3.通过复习回顾菱形的性质和判定，唤醒学生的记忆，然后给学生设置好一个个有梯度的问题，调动学生的求知欲，树立勇于战胜自我的信念．2矩形的性质与判定第1课时矩形的性质教师备课素材示例●情景导入利用多媒体展示一组生活中的图片，观察图中有哪些常见的平面图形，从而引出矩形，进而探究矩形的定义及性质．【教学与建议】教学：从生活实例入手，感受生活中的矩形图案．建议：选择学生熟悉的图片，也可以利用教室中可以看到的实物，比如黑板、门、窗等．●类比导入观察思考，如图(1)将两长两短的四根木条用小钉铰合在一起，使等长的木条成为对边，这样就得到一个平行四边形，即▱ABCD；转动这个四边形使A′B′⊥B′C′时如图(2)，就得到一个特殊的平行四边形，你能说出这时平行四边形A′B′C′D′是什么图形吗？有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，它具有平行四边形所有的性质，这节课来探究它的特殊性质．【教学与建议】教学：通过平行四边形教具类比到矩形，体会矩形与平行四边形的区别和联系．建议：在展示平行四边形教具的变化情况后让学生说出矩形的特征．命题角度1利用矩形的性质计算线段的长或角的度数矩形的对角线相等且互相平分．【例1】(1)如图，矩形ABCD对角线AC＝8cm，∠AOD＝120°，则AB的长为__4__cm；eq\o(\s\up7(),\s\do5([第（1）题图]))eq\o(\s\up7(),\s\do5([第（2）题图]))(2)如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC＝12，P，Q分别为AO，AD的中点，则PQ的长度为__3__．命题角度2直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半利用直角三角形中线的性质计算线段长度或面积等．【例2】(1)如图，一根长am的木棍(AB)，斜靠在与地面(OM)垂直的墙(ON)上，设木棍的中点为P，若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行，请判断木棍滑动的过程中，点P到点O的距离__不发生__(选填“发生”或“不发生”)变化．eq\o(\s\up7(),\s\do5([第（1）题图]))eq\o(\s\up7(),\s\do5([第（2）题图]))(2)如图，CD⊥AB于点D，E是AC的中点，若AD＝6，DE＝5，则CD＝__8__．命题角度3利用矩形的性质构造全等三角形利用矩形的性质构造全等三角形，从而得到新的线段相等、角相等．【例3】(1)如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在边AD，BC上，且DE＝CF，连接OE，OF.求证：OE＝OF.证明：四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝∠BCD＝90°，OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD.∴∠ADC－∠ODC＝∠BCD－∠OCD，即∠EDO＝∠FCO.在△ODE和△OCF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(DE＝CF，,∠EDO＝∠FCO，,OD＝OC，))∴△ODE≌△OCF(SAS)，∴OE＝OF.(2)如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边BC，AB上的点，且EF＝ED，EF⊥ED.求证：AE平分∠BAD.证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝∠BAD＝90°，AB＝CD，∴∠BEF＋∠BFE＝90°.∵EF⊥ED，∴∠BEF＋∠CED＝90°，∴∠BFE＝∠CED，∴∠BEF＝∠EDC.在△EBF和△DCE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠BFE＝∠CED，,EF＝DE，,∠BEF＝∠CDE，))∴△EBF≌△DCE(ASA)，∴BE＝CD，∴BE＝AB，∴∠BAE＝∠BEA＝45°，∴∠EAD＝45°，∴∠BAE＝∠EAD，∴AE平分∠BAD.高效课堂教学设计1．了解矩形的定义，理解矩形与平行四边形的区别与联系．2．发现直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，并能运用矩形的性质．▲重点矩形的概念及性质．▲难点矩形的性质在解决问题中的应用．◆活动1创设情境导入新课(课件)1．平行四边形具有哪些性质？2．菱形是特殊的平行四边形，它具有哪些性质？3．今天我们继续学习另一种特殊的平行四边形——矩形，先来观看平行四边形角度变化的动画．◆活动2实践探究交流新知【探究1】矩形的定义教师：同学们知道矩形特殊在什么地方吗？我们来看一下矩形的定义：(课件展示变化的过程)归纳：有一个角是__直角__的__平行四边形__叫做矩形(通常也叫长方形)．【探究2】矩形的性质定理教师：同学们还有什么发现？学生：矩形是特殊的平行四边形．教师：所以矩形具有一般平行四边形的所有性质．请同学们画一个矩形，结合图形探究一下，矩形除了具有一般平行四边形的性质外还有哪些特殊的性质呢？学生动手画图，结合图形思考并给出结论．教师结合学生给出的结论引导学生分别从边、角、对角线三个方面来探究．我们说矩形是特殊的平行四边形，那么它特殊在什么地方？(展示矩形图形)学生猜想：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等．教师：同学们给出了两个特殊的性质，对不对呢？我们一起来验证一下：(课件展示)矩形的四个角都是直角．已知：如图，四边形ABCD是矩形，∠ABC＝90°，对角线AC与DB相交于点O.求证：(1)∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°；(2)AC＝DB.证明：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠CDA，∠BCD＝∠DAB(矩形的对角相等)，AB∥DC(矩形的对边平行).∴∠ABC＋∠BCD＝180°.又∵∠ABC＝90°，∴∠BCD＝90°.∴∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°；(2)∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝DC(矩形的对边相等).在△ABC和△DCB中，∵AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，BC＝CB，∴△ABC≌△DCB.∴AC＝DB.归纳：eq\x(\a\al(定理矩形的四个角都是直角．,定理矩形的对角线相等．))【探究3】直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．教师：下面请同学们结合矩形的性质来填空．(课件展示)练一练：如图，在矩形ABCD中：①AB∥__CD__，AB＝__CD__，AD∥__BC__，AD＝__BC__；②∠BAD＝∠__ADC__＝∠__BCD__＝∠__ABC__＝90°；③AC＝__BD__＝2__OA__＝2__OB__＝2__OC__＝2__OD__．教师：请同学们看图并思考：在Rt△ABC中，斜边AC上的中线是__OB__，它与斜边的关系是OB＝__eq\f(1,2)__AC.学生：斜边AC上的中线是OB，它与斜边的关系是OB＝eq\f(1,2)AC.归纳：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．◆活动3开放训练应用举例例1(教材P13例1)如图，在矩形ABCD中，两条对角线相交于点O，∠AOD＝120°，AB＝2.5，求这个矩形对角线的长．【方法指导】矩形性质的应用．解：方法一：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝__BD__(矩形的对角线相等)，OA＝OC＝eq\f(1,2)__AC__，OB＝OD＝eq\f(1,2)__BD__(矩形的对角线互相平分)，∴OA＝__OD__．∵∠AOD＝120°，∴∠ODA＝∠OAD＝eq\f(1,2)×(180°－120°)＝30°.又∵∠DAB＝90°(矩形的四个角都是直角)，∴BD＝2__AB__＝2×__2.5__＝5.故这个矩形的对角线的长为5.方法二：∠AOD＝120°→∠AOB＝60°→OA＝OB＝AB→AC＝2OA＝2×2.5＝5.例2如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，DF⊥AE于F，AE＝BC.求证：CE＝EF.【方法指导】CE，EF分别是BC，AE线段上的一部分，若AF＝BE，则问题得以解决，而证明AF＝BE，只要证明△ABE≌△DFA即可．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，且AD∥BC，AD＝BC，∴∠1＝∠2.∵DF⊥AE，∴∠AFD＝90°.∴∠B＝∠AFD.又∵AE＝BC，AD＝BC，∴AD＝AE，∴△ABE≌△DFA(AAS)，∴AF＝BE.∵EF＝AE－AF，EC＝BC－BE，∴EF＝EC.此题还可以连接DE，证明Rt△DEF≌Rt△DEC，得到EF＝EC.◆活动4随堂练习1．如图，在矩形ABCD中，AD＝3AB，点G，H分别在AD，BC上，连接BG，DH，且BG∥DH，当eq\f(AG,AD)等于多少时，四边形BHDG为菱形(C)A．eq\f(4,5)B．eq\f(3,5)C．eq\f(4,9)D．eq\f(3,8)eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第1题图）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第2题图）))2．如图，矩形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点E，AD＝8，AB＝4，则DE的长为__5__．3．教材P13随堂练习．解：∵OA＝4，∴BD＝AC＝2OA＝8，AD＝BC＝eq\r(AC2－AB2)＝eq\r(82－62)＝2eq\r(7).◆活动5课堂小结与作业学生活动：这节课你学到了什么？还有什么困惑吗？教学说明：本节课学习了矩形的概念和性质定理，知道矩形的对角线互相平分且相等，并会灵活应用．作业：课本P13习题1.4中的T1、T2、T3.本节课在平行四边形及菱形的教学后，学生已经学会自主探索的方法，自己动手猜想验证矩形的一些特殊性质，对于一些相关矩形的计算也学会应用转化为直角三角形的方法来解决．通过本节课的学习，学生能够接受有关矩形的知识．但是学生的动手操作能力还有待提高．第2课时矩形的判定教师备课素材示例●情景导入小华想做一个矩形相框送给妈妈做生日礼物，于是他用两根长度相等的短木条和两根长度相等的长木条制作成矩形，你有什么办法可以验证他做的是矩形相框？看看谁的方法可行．【教学与建议】教学：通过提出问题引发学生的思考，同时让学生感受在实际生活中矩形判定的应用．建议：先让学生提前完成相框的制作．●置疑导入(1)有一个角是__直角__的__平行四边形__是矩形．(2)矩形的性质：①矩形的四个角都是__直角__，②矩形的对角线__相等__．(3)提问：①对角线相等的平行四边形是矩形吗？②有三个角是直角的四边形是矩形吗？【教学与建议】教学：通过对矩形定义的复习进一步感受什么是矩形，导入条件证明矩形的方法．建议：问题提出后给学生一定的思考时间，可以给出适当的引导．命题角度1补充条件判定矩形如果给定平行四边形，那么补充的条件应是一个直角或对角线相等．【例1】(1)如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB.添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是(B)A．AB＝BEB．BE⊥DCC．DC＝BED．CE⊥DEeq\o(\s\up7(),\s\do5([第（1）题图]))eq\o(\s\up7(),\s\do5([第（2）题图]))(2)如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA＝2，若要使▱ABCD为矩形，则DB的长应该为__4__．命题角度2利用三个角是直角的四边形判定矩形证明三个角是直角就可以判定四边形是矩形．【例2】如图，▱ABCD的四个内角的平分线是分别相交于E，F，G，H，试说明四边形EFGH是矩形．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAB＋∠ABC＝180°.∵AH，BH分别是∠DAB，∠ABC的平分线，∴∠HAB＝eq\f(1,2)∠DAB，∠HBA＝eq\f(1,2)∠ABC，∴∠HAB＋∠HBA＝90°，∴∠H＝90°.同理可求得∠HEF＝∠F＝∠FGH＝90°，∴四边形EFGH是矩形．命题角度3定义法判定矩形先证明是平行四边形，再证明有一个角是直角就可以得到矩形．【例3】如图，▱ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，连接AF，CE，AC，若CA＝CB，求证：四边形AECF是矩形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB綊CD.∵E，F分别是AB，CD的中点，∴AE＝eq\f(1,2)AB，CF＝eq\f(1,2)CD，∴AE∥CF，且AE＝CF，∴四边形AECF是平行四边形．∵CA＝CB，E为AB的中点，∴CE⊥AB，即∠AEC＝90°，∴四边形AECF是矩形．命题角度4根据对角线判定矩形利用对角线相等的平行四边形证明矩形．【例4】如图，E为▱ABCD外一点，AE⊥EC，BE⊥ED，对角线AC，BD交于点O，试说明▱ABCD是矩形．解：连接OE.∵AE⊥EC，∴∠AEC＝90°.又∵O为AC的中点，在Rt△ACE中，得OE＝eq\f(1,2)AC，同理OE＝eq\f(1,2)BD，∴AC＝BD，∴▱ABCD为矩形．高效课堂教学设计1．理解并掌握矩形的判定方法．2．通过矩形定义、判定等知识解决简单的证明题和计算题．▲重点能够用综合法证明矩形的判定定理并利用定义和定理进行证明．▲难点矩形的判定证明方法及运用．◆活动1创设情境导入新课(课件)事例引入：小华想做一个矩形相框送给妈妈做生日礼物，于是他用两根长度相等的短木条和两根长度相等的长木条制成矩形，你有什么办法可以验证他做的是矩形相框吗？看看谁的方法可行？◆活动2实践探究交流新知【探究1】定义证明教师：矩形的定义是什么？学生：有一个角是直角的平行四边形是矩形．归纳：用矩形的定义判定：一个平行四边形有一个角是直角，这个图形是矩形．【探究2】对角线相等的平行四边形是矩形．(课件展示)如图，在▱ABCD中，AC，DB是它的两条对角线，AC＝DB.求证：▱ABCD是矩形．注意：学生思考、交流后，教师可以适当地引导：给出的条件与矩形的定义相比，少了哪个条件？怎么办？教师：分析后课件展示过程．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC，AB∥DC.又∵BC＝CB，AC＝DB，∴△ABC≌△DCB(SSS)，∴∠ABC＝∠DCB.∵AB∥DC，∴∠ABC＋∠DCB＝180°，∴∠ABC＝∠DCB＝eq\f(1,2)×180°＝90°，∴▱ABCD是矩形．归纳：对角线相等的平行四边形是矩形．【探究3】有三个角是直角的四边形是矩形如图，已知∠A＝∠B＝∠C＝90°，则四边形ABCD是矩形吗？学生：思考、交流后尝试给出证明过程．教师：学生展示过程后点评、规范相应的步骤．证明：在四边形ABCD中，∵∠A＝∠B＝∠C＝90°，∴∠A＋∠B＝180°，∠B＋∠C＝180°，∴AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形．又∵∠A＝90°，∴四边形ABCD是矩形．归纳：有三个角是直角的四边形是矩形．试一试：一位工人师傅在修理一个矩形桌面时，手上只有一把刻度尺，他怎样才能判断该桌面是个矩形？请说明如何操作，并画图写出证明过程．如果允许换工具，你还有其他方法吗？学生1：用刻度尺测量对角线，如果相等则说明桌面是矩形．学生2：也可以用角尺，测量有三个角是直角，即可说明桌面是矩形．◆活动3开放训练应用举例例1(教材P15例2)如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，△ABO是等边三角形，AB＝4，求▱ABCD的面积．【方法指导】先根据“对角线相等的平行四边形是矩形”判定▱ABCD是矩形，再求出BC的长，从而可得▱ABCD的面积．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD.又∵△ABO是等边三角形，∴OA＝OB＝AB＝4，∠BAC＝60°.∴OA＝OB＝OC＝OD＝4，∴AC＝BD＝2OA＝2×4＝8.∴▱ABCD是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形)，∴∠ABC＝90°(矩形的四个角都是直角).在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB2＋BC2＝AC2，∴BC＝eq\r(AC2－AB2)＝eq\r(82－42)＝4eq\r(3)，∴S▱ABCD＝AB·BC＝4×4eq\r(3)＝16eq\r(3).例2如图，BD，BE分别是∠ABC与它的邻补角∠ABP的平分线，AE⊥BE，AD⊥BD，垂足分别为点E，D.求证：四边形AEBD是矩形．【方法指导】根据角平分线的性质和平角的定义，得到∠EBD＝90°，再结合AE⊥BE，AD⊥BD，可以确定四边形的三个内角都是直角，根据“有三个角是直角的四边形是矩形”就可以证明此四边形是矩形．证明：∵BD，BE分别是∠ABC，∠ABP的平分线，∴∠ABD＋∠ABE＝eq\f(1,2)(∠ABC＋∠ABP)＝90°，即∠EBD＝90°.又∵AE⊥BE，AD⊥BD，∴∠AEB＝∠ADB＝90°，∴四边形AEBD是矩形(有三个角都是直角的四边形是矩形).◆活动4随堂练习1．下列说法正确的是(D)A．一组对边平行且相等的四边形是矩形B．一组对边平行且有一个角是直角的四边形是矩形C．对角线互相垂直的平行四边形是矩形D．一个角是直角且对角线互相平分的四边形是矩形2．如图，▱ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件__AC＝BD(答案不唯一)__(只添加一个即可)，使▱ABCD是矩形．3．如图，▱ABCD的四个内角的平分线分别相交于E，F，G，H四点．求证：四边形EFGH是矩形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAB＋∠ABC＝180°.∵▱ABCD的四个内角平分线分别相交于E，F，G，H四点，由角平分线性质，得∠HAB＝eq\f(1,2)∠DAB，∠ABH＝eq\f(1,2)∠ABC，∴∠HAB＋∠ABH＝eq\f(1,2)(∠DAB＋∠ABC)＝90°，∴∠H＝90°.同理可求得∠HEF＝∠F＝90°，∴四边形EFGH是矩形．◆活动5课堂小结与作业学生活动：你这节课的主要收获是什么？学习了几种矩形的判定方法？教学说明：有一个角是直角的平行四边形是定义判定．定理判定：1.对角线相等的平行四边形是矩形．2．有三个角是直角的四边形是矩形．作业：课本P16随堂练习、习题1.5中的T1、T3.本节课是以体现学生主体地位，培养学生的探索——猜想——证明的思维能力和综合论证能力，提高学生的归纳、概括及转化的思维能力为目的设计的，在教学中调动了学生学习的积极性，学生能够在老师的启发、引导下积极地去探求——思考——归纳总结，合作交流完成学习目标．第3课时矩形的性质与判定的综合应用教师备课素材示例●归纳导入分小组归纳平行四边形、菱形和矩形的性质定理和判定定理．它们都有一些特殊的性质，每一种图形都有对应的线段相等、对应的角相等．线段和角之间的关系不是孤立的，它们可以相互转化．因此，我们要学会灵活地运用这些知识，利用它们不断的化未知为已知，进而解决相应的问题．下面我们就来试一试．【教学与建议】教学：从知识的作用入手，让学生感受到所给特殊图形中隐含的条件．建议：结合具体问题教学生去思考、分析问题．●复习导入(1)矩形的定义：(2)矩形的性质：①对边平行且相等；②四个角都是直角；③对角线互相平分且相等；④既是轴对称图形，又是中心对称图形．推理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．(3)矩形的判定方法：学习数学除了要记住这些概念和定理，更重要的是能灵活地运用它们解决实际问题．【教学与建议】教学：通过对矩形定义、性质和判定的复习，让学生对知识及其生成的过程进行回忆、巩固．建议：给学生一定时间思考相关定理的生成过程．命题角度1利用矩形的性质进行相关的计算和证明由矩形的性质得到相等的线段或角．【例1】如图，在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF.(1)求证：四边形BFDE是矩形；(2)若CF＝3，BF＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB.证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，即DF∥BE，又∵DF＝BE，∴四边形BFDE为平行四边形．又∵DE⊥AB，即∠DEB＝90°，∴四边形BFDE是矩形；(2)∵四边形BFDE是矩形，∴∠BFC＝90°.∵CF＝3，BF＝4，∴BC＝eq\r(32＋42)＝5.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝5，∴AD＝DF＝5，∴∠DAF＝∠DFA.又∵DC∥AB，∴∠DFA＝∠FAB，∴∠DAF＝∠FAB，即AF平分∠DAB.命题角度2矩形中的折叠问题矩形中折叠问题的本质：(1)折叠前后两部分是全等的；(2)利用轴对称的性质；(3)找出隐含的折叠前后的位置关系和数量关系．【例2】(1)如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为EF.若AB＝4，BC＝8，则D′F的长为(C)A．2eq\r(5)B．4C．3D．2eq\o(\s\up7(),\s\do5([第（1）题图]))eq\o(\s\up7(),\s\do5([第（2）题图]))(2)如图，将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点F处，FC交AD于点E.若AB＝4，BC＝8，求图中阴影部分的面积是__10__．命题角度3矩形中最值问题通常利用矩形的轴对称性作对称点，将不同线段转化到同一直线或同一三角形中．【例3】如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点P是矩形ABCD内一动点，且S△PAB＝eq\f(1,2)S△PCD，则PC＋PD的最小值为__4eq\r(5)__．高效课堂教学设计1．运用矩形的性质进行相关计算和证明．2．运用矩形的判定定理解决相关数学问题．▲重点矩形的性质及判定的运用．▲难点综合运用矩形的性质及判定定理．◆活动1创设情境导入新课(课件)(出示课件)问题1：矩形的性质及判定有哪些？问题2：如图，一个矩形纸片，剪去部分后得到一个三角形，则图中∠1＋∠2的度数是__90°__．问题3：在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB＝30°，则∠AOB＝__60°__，若OA＝3cm，则CD＝__3__cm__．◆活动2实践探究交流新知(多媒体出示)如图，在矩形ABCD中，AD＝6，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，ED＝3BE.求AE的长．展示问题：问题1：矩形有几个性质？问题2：矩形的对角线__相等__．问题3：AE，AD在Rt△AED中，且AD＝6，可以找__∠ADB__＝30°.解：∵四边形ABCD是矩形，∴AO＝BO＝DO＝eq\f(1,2)__BD__(矩形的对角线相等且互相平分)，∠BAD＝90°(矩形的四个角都是__直角__).∵ED＝3BE，∴BE＝__OE__．又∵AE⊥BD，∴AB＝__AO__，∴__AB__＝__AO__＝__BO__，即△ABO是__等边__三角形，∴∠__ABO__＝60°，∴∠ADB＝90°－__∠ABO__＝90°－60°＝30°.在Rt△AED中，∵∠ADE＝30°，∴AE＝eq\f(1,2)__AD__＝eq\f(1,2)×__6__＝__3__．归纳：综合应用矩形的性质定理，要注意根据题意灵活选择性质定理．◆活动3开放训练应用举例例1(教材P17例4)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的一条角平分线，AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E.求证：四边形ADCE是矩形．【方法指导】矩形的判定定理、等腰三角形的性质的综合应用．证明：∵AD平分∠BAC，AN平分∠CAM，∴∠CAD＝eq\f(1,2)∠BAC，∠CAN＝eq\f(1,2)∠CAM，∴∠DAE＝∠CAD＋∠CAN＝eq\f(1,2)(∠BAC＋∠CAM)＝eq\f(1,2)×180°＝90°.在△ABC中，∵AB＝AC，AD为∠BAC的平分线，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°.又∵CE⊥AN，∴∠CEA＝90°，∴四边形ADCE是矩形(有三个角是直角的四边形是矩形).例2如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD是BC边上的中线，四边形ADBE是平行四边形．(1)求证：四边形ADBE是矩形；(2)求矩形ADBE的面积．【方法指导】矩形的性质与判定的综合应用．解：(1)∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°.∵四边形ADBE是平行四边形，∴四边形ADBE是矩形；(2)∵BC＝6，AD是BC边上的中线，∴BD＝eq\f(1,2)BC＝3.在Rt△ABD中，AB＝5，BD＝3，由勾股定理，得AD＝eq\r(AB2－BD2)＝eq\r(52－32)＝4.∴S矩形ADBE＝BD·AD＝3×4＝12.◆活动4随堂练习1．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD＝60°，AD＝3，则AC的长是(C)A．2B．4C．6D．8eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第1题图）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第2题图）))2．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在AD，BC上，且DE＝CF，连接OE，OF.若OE＝5，则OF＝__5__．3．如图，在四边形ABCD中，H是BC的中点，作射线AH，在线段AH及其延长线上分别取点E，F，连接BE，CF.(1)请你添加一个条件，使得△BEH≌△CFH，你添加的条件是__BE∥CF(答案不唯一)__(添加一个即可)，并证明；(2)在问题(1)中，当BH与EH满足什么关系时，四边形BFCE是矩形？请说明理由．解：(1)∵H是BC的中点，∴BH＝CH.∵BE∥CF，∴∠EBH＝∠BCF.又∵∠BHE＝∠CHF，∴△BEH≌△CFH(ASA)；(2)BH＝EH.理由如下：连接EC，BF.∵△BEH≌△CFH，∴BH＝CH，EH＝FH，∴四边形BFCE是平行四边形，又∵BH＝EH，∴EF＝BC，∴四边形BFCE是矩形．◆活动5课堂小结与作业学生活动：这节课你的主要收获是什么？教学说明：综合运用矩形的性质和判定解决数学问题．作业：课本P18随堂练习、P19习题1.6中的T3、T4、T5.本节课在复习前一节课内容的基础上，利用矩形的性质和判定解决具体问题，在例题的选择和设计上，注重知识向能力的转化，让学生主动尝试从数学的角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略，同时训练学生清晰、有条理地表达自己的思考过程，从而培养学生的推理能力和分析问题的能力．3正方形的性质与判定第1课时正方形的性质教师备课素材示例●归纳导入在小学学过有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．正方形既是矩形又是菱形，它都有什么性质呢？(1)边的性质：__正方形的四条边都相等__；(2)角的性质：__正方形的四个角都是直角__；(3)对角线的性质：__正方形的两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角__；(4)对称性：__轴对称、中心对称__．【教学与建议】教学：归纳矩形、菱形的性质探求正方形的性质．建议：通过演示操作，发现正方形与矩形、菱形之间存在的特殊与一般的关系．●情景导入做一做：用一张长方形的纸片(如图所示)折出一个正方形．学生在动手中对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形的关系．今天我们先来学习正方形的有关知识．【教学与建议】教学：实际操作从矩形中折叠出正方形，感知正方形．建议：借助图形的特征从边、角、对角线、对称性上分析．命题角度1利用正方形的性质解决线段、角度的问题正方形的四条边都相等，正方形的四个角都是直角，对角线相等且互相垂直平分．【例1】(1)如图，正方形ABCD中，E是BD上一点，BE＝BC，则∠BEC为(C)A．45°B．60°C．67.5°D．82.5°eq\o(\s\up7(),\s\do5([第（1）题图]))eq\o(\s\up7(),\s\do5([第（2）题图]))(2)如图，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别于正方形的顶点B，D作BF⊥a于点F，DE⊥a于点E.若DE＝8，BF＝5，则EF的长为__13__．命题角度2利用正方形的性质求解与面积有关的问题利用正方形轴对称性可以将不规则图形的面积转化为规则图形的面积．【例2】(1)用两条直线四等分正方形的面积，不同的画法有(D)A．一种B．两种C．三种D．无数种(2)如图，正方形ABCD的边长为1，E，F是对角线AC上的两点，EG⊥AB，EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J.则图中阴影部分的面积等于(B)A．1B．eq\f(1,2)C．eq\f(1,3)D．eq\f(1,4)命题角度3利用正方形的性质求最小值在矩形或正方形中，可以根据垂线段最短或根据两点之间线段最短求最小值．【例3】(1)如图，在边长为4的正方形ABCD中，点M为对角线BD上一动点，ME⊥BC于E，MF⊥CD于F，则EF的最小值为(B)A．4eq\r(2)B．2eq\r(2)C．2D．1eq\o(\s\up7(),\s\do5([第（1）题图]))eq\o(\s\up7(),\s\do5([第（2）题图]))(2)如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上的一点，BE＝1，F为AB的中点，P为AC上的一个动点，PF＋PE的最小值是__eq\r(17)__．命题角度4正方形与其他图形的组合综合运用正方形、矩形、三角形等图形的性质，考查综合运用所学知识推理论证的能力．【例4】(1)如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点的连线EF为边的正方形EFGH的周长为(B)A．eq\r(2)B．2eq\r(2)C．eq\r(2)＋1D．2eq\r(2)＋1(2)以正方形ABCD的边AD作等边△ADE，则∠BEC的度数是__30°或150°__．高效课堂教学设计1．了解正方形的有关概念，理解并掌握正方形的性质定理．2．会利用正方形的性质进行相关计算和证明．▲重点探索正方形的性质定理．▲难点正方形的性质的应用方法．◆活动1创设情境导入新课(课件)显示投影片：展示生活中有关正方形的图片(多幅幻灯片)．教师活动：操作投影仪，边展示图片，边提出下面的问题：1．同学们观察显示的图片后，有什么联想？正方形的四条边有什么关系？四个角呢？2．正方形是矩形吗？是菱形吗？为什么？3．正方形具有哪些性质呢？学生活动：观察屏幕上所展示的生活中的正方形图片，进行联想．易知：正方形的四条边都相等(小学已学过)；正方形的四个角都是直角(小学已学过)．试验活动：教师拿出矩形按下图折叠，然后展示，让学生发现：只要矩形有一组邻边相等，这样的矩形就是正方形；同样，教师拿出活动菱形框架，框架变形过程中让学生发现：只要菱形有一个内角为90°，这样的特殊菱形也是正方形．◆活动2实践探究交流新知【探究1】正方形的概念问题：什么样的图形叫做正方形？归纳：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．有一个角是直角的__菱形__是正方形．有一组__邻边相等__的矩形是正方形．【探究2】正方形的性质组织学生联想正方形还具有哪些性质，板书画出一个正方形，如下图：学生活动：观察、联想到它是矩形，所以具有矩形的所有性质；它又是菱形，所以具有菱形的一切性质．归纳：正方形的性质：(1)边的性质：对边__平行且相等__，四条边都__相等__．(2)角的性质：四个角都是__直角__．(3)对角线的性质：两条对角线__互相垂直平分__且__相等__，每条对角线__平分一组对角__．(4)对称性：是__轴对称图形__，有__四__条对称轴，也是__中心__对称图形．◆活动3开放训练应用举例例1(教材P21例1)如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，且CE＝CF.BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由．【方法指导】正方形的性质及三角形全等的应用．解：BE＝DF，且BE⊥DF.理由如下：(1)∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝DC，∠BCE＝90°(正方形的四条边相等，四个角都是直角)，∴∠DCF＝180°－∠BCE＝180°－90°＝90°，∴∠BCE＝∠DCF.又∵CE＝CF，∴△BCE≌△DCF(SAS)，∴BE＝DF；(2)延长BE交DF于点M，∵△BCE≌△DCF，∴∠CBE＝∠CDF.∵∠DCF＝90°，∴∠CDF＋∠F＝90°，∴∠CBE＋∠F＝90°，∴∠BMF＝90°，∴BE⊥DF.例2如图，已知正方形ABCD的边长为1，连接AC，BD相交于点O，CE平分∠ACD交BD于点E，求DE的长．【方法指导】过点E作EF⊥DC于F，根据正方形的性质和角平分线的性质以及勾股定理即可求出DE的长．解：过点E作EF⊥CD于F.∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∠BDC＝45°，∴∠EDF＝45°，∴EF＝DF.∵CE平分∠ACD交BD于点E，∴EO＝EF.又∵∠EOC＝∠EFC＝90°，EC＝EC，∴Rt△CEO≌Rt△CEF.∵正方形ABCD的边长为1，∴AC＝eq\r(2)，∴CO＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(\r(2),2)，∴CF＝CO＝eq\f(\r(2),2)，∴DF＝DC－CF＝1－eq\f(\r(2),2)，在Rt△DEF中，由勾股定理，得DE＝eq\r(EF2＋DF2)＝eq\r(2)－1.◆活动4随堂练习1．平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是(A)A．对角线互相平分B．对角线相互垂直C．对角线相等D．对角线互相垂直平分且相等2．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为(C)A．14B．15C．12D．173．已知正方形ABCD在直角坐标系内，点A的坐标为(0，1)，点B的坐标为(0，0)，则点C，D的坐标分别为__(1，0)__和__(1，1)__．(只写一组)4．如图，点E，F分别在正方形ABCD的边DC，BC上，AG⊥EF，垂足为G，且AG＝AB，求∠EAF的度数．解：在Rt△ABF和Rt△AGF中，AB＝AG，AF＝AF，∴Rt△ABF≌Rt△AGF(HL)，∴∠BAF＝∠FAG.同理可证：∠GAE＝∠DAE，∵∠BAD＝90°＝∠BAG＋∠GAD＝2∠FAG＋2∠GAE，∴∠FAG＋∠GAE＝45°，即∠EAF＝45°.◆活动5课堂小结与作业学生活动：你这节课的收获是什么？教学说明：正方形的性质：四个角都是直角、四条边都相等，对角线互相垂直平分且相等，灵活运用其性质和定义解决数学问题．作业：课本P22习题1.7中的T1、T2、T3、T4.本节课让学生在知道正方形是特殊的菱形和矩形的基础上，小组讨论得出正方形的性质，有利于学生的自主学习．通过学生的动手操作，讨论如何剪成正方形，培养学生的动手能力和思维能力．第2课时正方形的判定教师备课素材示例●复习导入(1)正方形的定义：有一组邻边相等，且有一个角为直角的__平行四边形__叫正方形．(2)正方形的性质：①__四__条边都__相等__；②__四__个角都是__直角__；③对角线__相等__，并且互相__垂直平分__，每条对角线__平分__一组对角；④是__轴对称__图形，且有__四条__对称轴．(3)正方形是特殊的__矩形__，特殊的__菱形__，也是特殊的__平行四边形__，因而正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质．(4)讨论：正方形的判定方法有哪些？正方形的判定既判定四边形是__矩形__，又判定四边形是__菱形__．【教学与建议】教学：通过复习正方形的定义和性质，导入学习正方形的判定．●类比导入我们学习了平行四边形、矩形、菱形、正方形，那么思考一下，它们之间有怎样的包含关系？请填入下图中．【教学与建议】教学：通过填写，让学生理解正方形、矩形、菱形都是特殊的平行四边形．建议：类比平行四边形、矩形、菱形与正方形的联系与区别．命题角度1添加条件判定正方形结合四边形已知条件进行推理判定正方形．【例1】(1)已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，下列四种选法错误的是(B)A．①②B．②③C．①③D．③④(2)如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，对角线AC与BD相交于点O，若不增加任何字母与辅助线，要使四边形ABCD是正方形，则还需要增加一个条件是__AC＝BD(或AB⊥BC等)__(填一个即可)．命题角度2利用矩形判定四边形是正方形在判定一个矩形是正方形时，找到对角线互相垂直或有一组邻边相等即可．【例2】如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N.(1)求证：∠ADB＝∠CDB；(2)若∠ADC＝90°，求证：四边形MPND是正方形．证明：(1)∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD.又∵BA＝BC，BD＝BD，∴△ABD≌△CBD(SAS)，∴∠ADB＝∠CBD；(2)∵PM⊥AD，PN⊥CD，∴∠PMD＝∠PND＝90°.又∵∠ADC＝90°，∴四边形MPND是矩形．∵∠ADB＝∠CDB，PM⊥AD，PN⊥CD，∴PM＝PN，∴四边形MPND是正方形．命题角度3利用菱形判定四边形是正方形在判定一个菱形是正方形的时候，证明有一个直角或对角线相等即可．【例3】如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别是A(－2，0)，B(0，－2)，C(2，0)，D(0，2)，求证：四边形ABCD是正方形．证明：∵A(－2，0)，B(0，－2)，∴OA＝2，OB＝2.∴AB＝eq\r(OA2＋OB2)＝2eq\r(2).同理可求得AD＝2eq\r(2)，BC＝2eq\r(2)，DC＝2eq\r(2).∴AB＝BC＝CD＝DA.∴四边形ABCD为菱形．∵BD＝AC＝4，∴四边形ABCD为正方形．命题角度4特殊四边形的综合应用正方形是一种特殊的四边形，利用正方形的性质探索线段、角之间的问题．【例4】如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一