广东省广州市番禺区洛溪新城中学2024-2025学年高二数学下学期4月月考试题

PAGEPAGE15广东省广州市番禺区洛溪新城中学2024-2025学年高二数学下学期4月月考试题本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,满分150分.考试用时120分钟。留意事项：1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自已的姓名、学校和考号等信息填写在答题卡上和其次卷的密封线内，在其次卷的右上角座位号栏内填上所处试室的座位号。2.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡对应的答案符号涂黑；如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案；不能答在试卷上。3.考生必需保持答题卡的整齐,考试结束后,将答题卡和第II卷答卷交给监考老师。4.考生考试期间不准运用计算器。第Ⅰ卷选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（）（A）第一象限（B）其次象限（C）第三象限 （D）第四象限2、曲线在点（1，2）处的瞬时改变率为()A2B4C5D63．曲线y＝4x－x3在点(－1，－3)处的切线方程是()A．y＝7x＋4B．y＝x－4C．y＝7x＋2 D．y＝x－24．下列函数中，x＝0是其极值点的函数是()A．f(x)＝－x3 B．f(x)＝－cosxC．f(x)＝sinx－x D．f(x)＝eq\f(1,x)5．已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则()A．函数f(x)有1个极大值点，1个微小值点B．函数f(x)有2个极大值点，2个微小值点C．函数f(x)有3个极大值点，1个微小值点D．函数f(x)有1个大值点，3个微小值点6．用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字且大于3000的四位数，这样的四位数有()A.250个 B.249个C.48个 D.24个7．函数f(x)在其定义域内可导，其图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能为()8．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－eq\r(3))∪(eq\r(3)，＋∞) B．(－eq\r(3)，eq\r(3))C．(－∞，－eq\r(3)]∪[eq\r(3)，＋∞) D．[－eq\r(3)，eq\r(3)]9．曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离为()A．eq\r(5) B．2eq\r(5)C．3eq\r(5) D．210．某学校获得5个高校自主招生举荐名额，其中甲高校2个，乙高校2个，丙高校1个，并且甲高校和乙高校都要求必需有男生参与，学校通过选拔定下3男2女共5个举荐对象，则不同的举荐方法共有()A.36种 B.24种C.22种 D.20种11．已知y＝f(x)是定义在R上的函数，且f(1)＝1，f′(x)>1，则f(x)>x的解集是()A．(0,1) B．(－1,0)∪(0,1)C．(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)12．把一个周长为12cm的长方形围成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱底面周长与高的比为()A．12 B．1πC．21 D．2π第=2\*ROMANII卷(共90分)二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知复数z满意（i是虚数单位），则∣z∣=。14．从2位女生，4位男生中选3人参与科技竞赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有种．（用数字填写答案）15．已知函数f(x)＝eq\f(a2,3)x3－2ax2＋3x，其中a∈R,若函数f(x)在x＝1处取得极大值，则a=16．设则=三．解答题（本题包括6小题，17题题10分，18-22题每题12分，共70分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.已知函数求函数的最小正周期。求函数的最大值及取最大值时x的集合。(3)求函数的单调递减区间.18.已知等差数列满意：，的前n项和为（Ⅰ）求和；（Ⅱ）令，求数列的前n项和．19．已知函数f(x)＝x3－2ax2＋bx＋c，(1)当c＝0时，f(x)在点P(1,3)处的切线平行于直线y＝x＋2，求a，b的值；(2)若f(x)在点A(－1,8)，B(3，－24)处有极值，求f(x)的表达式．20．已知函数f(x)＝ax3＋cx＋d(a≠0)是R上的奇函数，当x＝1时，f(x)取得极值－2.(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)的单调区间和极大值；(3)证明：对随意x1、x2∈(－1,1)，不等式|f(x1)－f(x2)|<4恒成立．21．已知函数f(x)＝2x3－ax2＋b.(1)探讨f(x)的单调性．(2)是否存在a，b，使得f(x)在区间[0,1]的最小值为－1且最大值为1？若存在，求出a，b的全部值；若不存在，说明理由．22．已知函数f(x)＝eq\f(1,4)x3－x2＋x.(1)求曲线y＝f(x)的斜率为1的切线方程．(2)当x∈[－2,4]时，求证：x－6≤f(x)≤x.(3)设F(x)＝|f(x)－(x＋a)|(a∈R)，记F(x)在区间[－2,4]上的最大值为M(a)．当M(a)最小时，求a的值．单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题意的。一选择1．在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（D）（A）第一象限 （B）其次象限（C）第三象限 （D）第四象限3、曲线在点（1，2）处的瞬时改变率为(B)A2B4C5D62．曲线y＝4x－x3在点(－1，－3)处的切线方程是(D)A．y＝7x＋4 B．y＝x－4C．y＝7x＋2 D．y＝x－2[解析]y′|x＝－1＝(4－3x2)|x＝－1＝1，∴切线方程为y＋3＝x＋1，即y＝x－2.4．(2024·青岛高二检测)下列函数中，x＝0是其极值点的函数是(B)A．f(x)＝－x3 B．f(x)＝－cosxC．f(x)＝sinx－x D．f(x)＝eq\f(1,x)[解析]对于A，f′(x)＝－3x2≤0恒成立，在R上单调递减，没有极值点；对于B，f′(x)＝sinx，当x∈(－π，0)时，f′(x)<0，当x∈(0，π)时，f′(x)>0，故f(x)＝－cosx在x＝0的左侧区间(－π，0)内单调递减，在其右侧区间(0，π)内单调递增，所以x＝0是f(x)的一个微小值点；对于C，f′(x)＝cosx－1≤0恒成立，在R上单调递减，没有极值点；对于D，f(x)＝eq\f(1,x)在x＝0没有定义，所以x＝0不行能成为极值点，综上可知，答案选B．9．(2024·沈阳一模)设函数f(x)＝xex＋1，则(D)A．x＝1为f(x)的极大值点B．x＝1为f(x)的微小值点C．x＝－1为f(x)的极大值点D．x＝－1为f(x)的微小值点[解析]由于f(x)＝xex，可得f′(x)＝(x＋1)ex，令f′(x)＝(x＋1)ex＝0可得x＝－1，令f′(x)＝(x＋1)ex＞0可得x＞－1，即函数在(－1，＋∞)上是增函数；令f′(x)＝(x＋1)ex＜0可得x＜－1，即函数在(－∞，－1)上是减函数，所以x＝－1为f(x)的微小值点．故选D．6．用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字且大于3000的四位数，这样的四位数有()A.250个 B.249个C.48个 D.24个解析：选C①当千位上的数字为4时，满意条件的四位数有Aeq\o\al(3,4)＝24(个)；②当千位上的数字为3时，满意条件的四位数有Aeq\o\al(3,4)＝24(个).由分类加法计数原理得满意条件的四位数共有24＋24＝48(个)，故选C.8．若函数f(x)＝x2＋bx＋c的图象的顶点在第四象限，则函数f′(x)的图象是(A)[解析]∵f′(x)＝2x＋b为增函数，∴解除B、D；又f(x)的顶点在第四象限，∴－eq\f(b,2)>0，∴b<0，解除C，故选A．8．曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离为(A)A．eq\r(5) B．2eq\r(5)C．3eq\r(5) D．2[解析]设曲线上的点A(x0，ln(2x0－1))到直线2x－y＋3＝0的距离最短，则曲线上过点A的切线与直线2x－y＋3＝0平行．因为y′＝eq\f(1,2x－1)·(2x－1)′＝eq\f(2,2x－1)，所以y′|x＝x0＝eq\f(2,2x0－1)＝2，解得x0＝1.所以点A的坐标为(1,0)．所以点A到直线2x－y＋3＝0的距离为d＝eq\f(|2×1－0＋3|,\r(22＋－12))＝eq\f(5,\r(5))＝eq\r(5).2．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a的取值范围是(D)A．(－∞，－eq\r(3))∪(eq\r(3)，＋∞) B．(－eq\r(3)，eq\r(3))C．(－∞，－eq\r(3)]∪[eq\r(3)，＋∞) D．[－eq\r(3)，eq\r(3)][解析]f′(x)＝－3x2＋2ax－1，∵f(x)在(－∞，＋∞)上是单调函数，且f′(x)的图象是开口向下的抛物线，∴f′(x)≤0恒成立，∴Δ＝4a2－12≤0，∴－eq\r(3)≤a≤eq\r(3)，故选D．6．已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则(A)A．函数f(x)有1个极大值点，1个微小值点B．函数f(x)有2个极大值点，2个微小值点C．函数f(x)有3个极大值点，1个微小值点D．函数f(x)有1个大值点，3个微小值点[解析]依据极值的定义及推断方法，检查f′(x)的零点左右的值的符号，假如左正右负，那么f(x)在这个点处取得极大值；假如左负右正，那么f(x)在这个点处取得最小值；假如左右都是正，或者左右都是负，那么f(x)在这个点处不是极值．由此可见，x2是函数f(x)的极大值点，x3是微小值点，x1，x4不是极值点．7．函数f(x)在其定义域内可导，其图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能为(C)[解析]由图象知，f(x)在x<0时，图象增→减→增，x>0时，单调递增，故f′(x)在x<0时，其值为＋→－→＋，在x>0时为＋，故选C．10．某学校获得5个高校自主招生举荐名额，其中甲高校2个，乙高校2个，丙高校1个，并且甲高校和乙高校都要求必需有男生参与，学校通过选拔定下3男2女共5个举荐对象，则不同的举荐方法共有()A.36种 B.24种C.22种 D.20种解析：选B依据题意，分两种状况探讨：第一种，3名男生每个高校各举荐1人，2名女生分别举荐给甲高校和乙高校，共有Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(2,2)＝12种举荐方法；其次种，将3名男生分成两组分别举荐给甲高校和乙高校，共有Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)＝12种举荐方法.故共有24种举荐方法.7．已知y＝f(x)是定义在R上的函数，且f(1)＝1，f′(x)>1，则f(x)>x的解集是(C)A．(0,1) B．(－1,0)∪(0,1)C．(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)[解析]不等式f(x)>x可化为f(x)－x>0，设g(x)＝f(x)－x，则g′(x)＝f′(x)－1，由题意g′(x)＝f′(x)－1>0，∴函数g(x)在R上单调递增，又g(1)＝f(1)－1＝0，∴原不等式⇔g(x)>0⇔g(x)>g(1)．∴x>1，故选C．11．把一个周长为12cm的长方形围成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱底面周长与高的比为(C)A．12 B．1πC．21 D．2π[解析]设圆柱的高为x，底面半径为r，则r＝eq\f(6－x,2π)，圆柱体积V＝π(eq\f(6－x,2π))2x＝eq\f(1,4π)(x3－12x2＋36x)(0<x<6)，V′＝eq\f(3,4π)(x－2)·(x－6)．当x＝2时，V最大，此时底面周长为6－x＝4,42＝21，故选C．二．填空5．（2024全国新课标Ⅰ理）从2位女生，4位男生中选3人参与科技竞赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案）5.答案：解答：恰有位女生，有种；恰有位女生，有种，∴不同的选法共有种.1.（2024上海）在（1+x）7的二项绽开式中，x²项的系数为。（结果用数值表示）1.已知复数z满意（i是虚数单位），则∣z∣=。3．若复数z＝a2－a－2＋(a＋1)i为纯虚数(i为虚数单位)，则实数a的值是________．解析：由于z＝a2－a－2＋(a＋1)i为纯虚数，因此a2－a－2＝0且a＋1≠0，解得a＝2.答案：214．(2024·天津卷文，11)曲线y＝cosx－eq\f(x,2)在点(0,1)处的切线方程为y＝－eq\f(1,2)x＋1.[解析]y′＝－sinx－eq\f(1,2)，将x＝0代入，可得切线斜率为－eq\f(1,2).所以切线方程为y－1＝－eq\f(1,2)x，即y＝－eq\f(1,2)x＋1.14．函数y＝x3＋x2－5x－5的单调递增区间是(－∞，－eq\f(5,3))和(1，＋∞).[解析]∵y＝x3＋x2－5x－5，∴y′＝3x2＋2x－5，令y′＝3x2＋2x－5>0，解得x<－eq\f(5,3)，x>1，∴函数的单调递增区间为(－∞，－eq\f(5,3))和(1，＋∞)．14．已知f(x)＝x3＋3x2＋a(a为常数)，在[－3,3]上有最小值3，那么在[－3,3]上f(x)的最大值是57.[解析]f′(x)＝3x2＋6x＝3x(x＋2)，当x∈[－3，－2)和x∈(0,3]时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x∈(－2,0)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，∴极大值为f(－2)＝a＋4，微小值为f(0)＝a，又f(－3)＝a，f(3)＝54＋a，由条件知a＝3，∴最大值为f(3)＝54＋3＝57.7．设则=三大题17．(本题满分10分)(1)已知复数z在复平面内对应的点在第四象限，|z|＝1，且z＋eq\o(z,\s\up6(－))＝1，求z；(2)已知复数z＝eq\f(5m2,1－2i)－(1＋5i)m－3(2＋i)为纯虚数，求实数m的值．[解析](1)设z＝a＋bi(a、b∈R)，由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋b2＝1，,2a＝1.))解得a＝eq\f(1,2)，b＝±eq\f(\r(3),2).∵复数z在复平面内对应的点在第四象限，∴b＝－eq\f(\r(3),2).∴z＝eq\f(1,2)－eq\f(\r(3),2)i.(2)z＝eq\f(5m2,1－2i)－(1＋5i)m－3(2＋i)＝(m2－m－6)＋(2m2－5m－3)i，依题意，m2－m－6＝0，解得m＝3或－2.∵2m2－5m－3≠0.∴m≠3.∴m＝－2.18．(本题满分12分)已知复数z1满意(1＋i)z1＝－1＋5i，z2＝a－2－i，其中i为虚数单位，a∈R，若|z1－eq\x\to(z)2|<|z1|，（1）求的模长（2）求a的取值范围．[解析]因为z1＝eq\f(－1＋5i,1＋i)＝2＋3i，z2＝a－2－i，eq\x\to(z)2＝a－2＋i，所以|z1－eq\x\to(z)2|＝|(2＋3i)－(a－2＋i)|＝|4－a＋2i|＝eq\r(4－a2＋4)，又因为|z1|＝eq\r(13)，|z1－eq\x\to(z)2|<|z1|，所以eq\r(4－a2＋4)<eq\r(13)，所以a2－8a＋7<0，解得1<a<7.所以a的取值范围是(1,7)．17．(本题满分10分)设eq\x\to(z)为复数z的共轭复数，满意|z－eq\x\to(z)|＝2eq\r(3).(1)若z为纯虚数，求z；(2)若z－eq\x\to(z)2为实数，求|z|.[解析](1)设z＝bi(b∈R，且b≠0)，则eq\x\to(z)＝－bi，因为|z－eq\x\to(z)|＝2eq\r(3)，则|2bi|＝2eq\r(3)，即|b|＝eq\r(3)，所以b＝±eq\r(3)，所以z＝±eq\r(3)i.(2)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则eq\x\to(z)＝a－bi，因为|z－eq\x\to(z)|＝2eq\r(3)，则|2bi|＝2eq\r(3)，即|b|＝eq\r(3)，z－eq\x\to(z)2＝a＋bi－(a－bi)2＝a－a2＋b2＋(b＋2ab)i.因为z－eq\x\to(z)2为实数，所以b＋2ab＝0，因为|b|＝eq\r(3)，所以a＝－eq\f(1,2)，所以|z|＝eq\r(－\f(1,2)2＋±\r(3)2)＝eq\f(\r(13),2).19．(本题满分10分)已知函数f(x)＝x3－2ax2＋bx＋c，(1)当c＝0时，f(x)在点P(1,3)处的切线平行于直线y＝x＋2，求a，b的值；(2)若f(x)在点A(－1,8)，B(3，－24)处有极值，求f(x)的表达式．[解析](1)当c＝0时，f(x)＝x3－2ax2＋bx.所以f′(x)＝3x2－4ax＋b.依题意可得f(1)＝3，f′(1)＝1，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－2a＋b＝3，,3－4a＋b＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝6.))(2)f(x)＝x3－2ax2＋bx＋c，所以f′(x)＝3x2－4ax＋b.由题意知－1,3是方程3x2－4ax＋b＝0的两根，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1＋3＝\f(4a,3)，,－1×3＝\f(b,3)，))解得a＝eq\f(3,2)，b＝－9，由f(－1)＝－1－2a－b＋c＝8，a＝eq\f(3,2)，b＝－9，可得c＝3，所以f(x)＝x3－3x2－9x＋3.检验知，合题意．20．(本题满分12分)已知函数f(x)＝ax3＋cx＋d(a≠0)是R上的奇函数，当x＝1时，f(x)取得极值－2.(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)的单调区间和极大值；(3)证明：对随意x1、x2∈(－1,1)，不等式|f(x1)－f(x2)|<4恒成立．[解析](1)∵f(x)是R上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即－ax3－cx＋d＝－ax3－cx－d，∴d＝－d，∴d＝0(或由f(0)＝0得d＝0)．∴f(x)＝ax3＋cx，f′(x)＝3ax2＋c，又当x＝1时，f(x)取得极值－2，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f1＝－2，,f′1＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋c＝－2，,3a＋c＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,c＝－3.))∴f(x)＝x3－3x.(2)f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，令f′(x)＝0，得x＝±1，当－1<x<1时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；当x<－1或x>1时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；∴函数f(x)的递增区间是(－∞，－1)和(1，＋∞)；递减区间为(－1,1)．因此，f(x)在x＝－1处取得极大值，且极大值为f(－1)＝2.(3)由(2)知，函数f(x)在区间[－1,1]上单调递减，且f(x)在区间[－1,1]上的最大值为M＝f(－1)＝2.最小值为m＝f(1)＝－2.∴对随意x1、x2∈(－1,1)，|f(x1)－f(x2)|<M－m＝4成立．即对随意x1、x2∈(－1,1)，不等式|f(x1)－f(x2)|<4恒成立．21．(本题满分12分)已知函数f(x)＝eq\f(a2,3)x3－2ax2＋bx，其中a、b∈R，且曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线斜率为3.(1)求b的值；(2)若函数f(x)在x＝1处取得极大值，求a的值．[解析](1)f′(x)＝a2x2－4ax＋b，由题意f′(0)＝b＝3.(2)∵函数f(x)在x＝1处取得极大值，∴f′(1)＝a2－4a＋3＝0，解得a＝1或a＝3.①当a＝1时，f′(x)＝x2－4x＋3＝(x－1)(x－3)，x、f′(x)、f(x)的改变状况如下表：x(－∞，1)1(1,3)3(3，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值微小值由上表知，函数f(x)在x＝1处取得极大值，符合题意．②当a＝3时，f′(x)＝9x2－12x＋3＝3(3x－1)(x－1)，x、f′(x)、f(x)的改变状况如下表：x(－∞，eq\f(1,3))eq\f(1,3)(eq\f(1,3)，1)1(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值微小值由上表知，函数f(x)在x＝1处取得微小值，不符合题意．综上所述，若函数f(x)在x＝1处取得极大值，a的值为1.22．(本题满分12分)(2024·全国Ⅲ卷理，20)已知函数f(x)＝2x3－ax2＋b.(1)探讨f(x)的单调性．(2)是否存在a，b，使得f(x)在区间[0,1]的最小值为－1且最大值为1？若存在，求出a，b的全部值；若不存在，说明理由．[解析](1)f′(x)＝6x2－2ax＝2x(3x－a)．令f′(x)＝0，得x＝0或x＝eq\f(a,3).若a>0，则当x∈(－∞，0)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,3)，＋∞))时，f′(x)>0；当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(a,3)))时，f′(x)<0.故f(x)在(－∞，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,3)，＋∞))单调递增，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(a,3)))单调递减．若a＝0，则f(x)在(－∞，＋∞)单调递增．若a<0，则当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(a,3)))∪(0，＋∞)时，f′(x)>0；当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,3)，0))时，f′<0.故f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(a,3)))，(0，＋∞)单调递增，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,3)，0))单调递减．(2)满意题设条件的a，b存在．①当a≤0时，由(1)知，f(x)在[0,1]单调递增，所以f(x)在区间[0,1]的最小值为f(0)＝b，最大值为f(1)＝2－a＋b.此时a，b满意题设条件当且仅当b＝－1,2－a＋b＝1，即a＝0，b＝－1.②当a≥3时，由(1)知，f(x)在[0,1]单调递减，所以f(x)在区间[0,1]的最大值为f(0)＝b，最小值为f(1)＝2－a＋b.此时a，b满意题设