2023年人教版八年级上册数学教案全册

第十二章全等三角形

12.1全等三角形

教学内容

本节课重要简介全等三角形日勺概念和性质.

教学目的

1.知识与技能

领会全等三角形对应边和对应角相等日勺有关概念.

2.过程与措施

经历探索全等三角形性质日勺过程，能在全等三角形中对日勺找出对应边、对应角.

3.情感、态度与价值观

培养观测、操作、分析能力，体会全等三角形的应用价值.

重、难点与关键

1.重点：会确定全等三角形日勺对应元素.

2.难点：掌握找对应边、对应角日勺措施.

3.关键：找对应边、对应角有下面两种措施：（1）全等三角形对应角所对日勺边是对应边,

两个对应角所夹日勺边是对应边；（2）对应边所对的I角是对应角，两条对应边所夹日勺角是对应角.

教具准备

四张大小同样日勺纸片、直尺、剪刀.

教学措施

采用“直观——感悟”日勺教学措施，让学生自己举出形状、大小相似日勺实例，加深认识.

教学过程

一、动手操作，导入课题

1.先在其中一张纸上画出任意一种多边形，再用剪刀剪下，思索得到日勺图形有何特点？

2.重新在一张纸板上画出任意一种三角形，再用剪刀剪下，思索得到的图形有何特点？

【学生活动】动手操作、用脑思索、与同伴讨论，得出结论.

【教师活动】指导学生用剪刀剪出重叠日勺两个多边形和三角形.

学生在操作过程中，教师要让学生事先在纸上画出三角形，然后固定重叠日勺两张纸，注意

整个过程要细心.

【互动交流】剪出日勺多边形和三角形，可以看出：形状、大小相似，可以完全重叠.这样

日勺两个图形叫做全等形，用“Z”表达.

概念：可以完全重叠日勺两个三角形叫做全等三角形.

【教师活动】在纸版上任意剪下一种三角形，规定学生手拿一种三角形，做如下运动：平

移、翻折、旋转，观测其运动前后日勺三角形会全等吗？

【学生活动】动手操作，实践感知，得出结论：两个三角形全等.

【教师活动】规定学生用字母表达出每个剪下日勺三角形，同步互相指出每个三角形日勺顶点、

三个角、三条边、每条边日勺边角、每个角日勺对边.

【学生活动】把两个三角形按上述规定标上字母，并任意放置，与同桌交流：（1）何时能

完全重在一起？（2）此时它们日勺顶点、边、角有何特点？

【交流讨论】通过同桌交流，试验得出下面结论：

1.任意放置时，并不一定完全重叠，只有当把相似日勺角旋转到一起时才能完全重叠.

2.这时它们日勺三个顶点、三条边和三个内角分别重叠了.

3.完全重叠阐明三条边对应相等，三个内角对应相等，对应顶点在相对应的位置.

【教师活动】根据学生交流的状况，予以补充和语言上的规范.

1.概念：把两个全等日勺三角形重叠到一起，重叠日勺顶点叫做对应顶点，重叠时边叫做对

应边，重叠日勺角叫做对应角.

2.证两个三角形全等时，一般把表达对应顶点日勺字母写在对应日勺位置上，假如本图11.1

—2AABC和4DBC全等，点A和点D,点B和点B,点C和点C是对应顶点，记作aABC咨△DBC.

【问题提出工AABC^ADEF,对应边有什么关系？对应角呢？

【学生活动】通过观测得到下面性质：

1.全等三角形对应边相等；

2.全等三角形对应角相等.

二、随堂练习，巩固深化

书本练习.

【探研时空】

1.如图1所示，4ACFmADBE,NE=NF,若AD=20cm,BC=8cm,你能求出线段AB时长吗？

与同伴交流.（AB=6）

图1

2.如图2所示，AABC咨△AEC,ZB=30°,ZACB=85°,求出AAEC各内角的度数.（N

AEC=30°,ZEAC=65°,ZECA=85°)

三、课堂总结，发展潜能

1.什么叫做全等三角形？

2.全等三角形具有哪些性质？

四、布置作业，专题突破

1.书本习题第1,2,3,4题.

2.选用课时作业设计.

板书设计

把黑板提成左、中、右三部分，左边板书本节课概念，中间部分板书“思索”中日勺问题，

右边部分板书学生日勺练习.

疑难解析

由于两个三角形的位置关系不一样，在找对应边、对应角时，可以针对两个三角形不一样

日勺位置关系，寻找对应边、角日勺规律：（1）有公共边日勺，公共边一定是对应边；（2）有公共角

日勺，公共角一定是对应角；（3）有对顶角日勺，对顶角一定是对应角；两个全等三角形中一对最

长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短日勺边（或最小的角）是对应边（或角）.

12.2三角形全等的鉴定（SSS）

教学内容

本节课重要内容是探索三角形全等的条件（SSS）,及运用全等三角形进行证明.

教学目的

1.知识与技能

理解三角形日勺稳定性，会应用“边边边”鉴定两个三角形全等.

2.过程与措施

经历探索“边边边”鉴定全等三角形的I过程，处理简朴的问题.

3.情感、态度与价值观

培养有条理日勺思索和体现能力，形成良好的合作意识.

重、难点与关键

1.重点：掌握“边边边”鉴定两个三角形全等日勺措施.

2.难点：理解证明日勺基本过程，学会综合分析法.

3.关键：掌握图形特性，寻找适合条件日勺两个三角形.

教具准备

一块形状如图1所示日勺硬纸片，直尺，圆规.

(1)(2)

教学措施

采用“操作——试验”的教学措施，让学生亲自动手，形成直观形象.

教学过程

一、设疑求解，操作感知

【教师活动】（出示教具）

问题提出：一块三角形的玻璃损坏后，只剩余如图2所示日勺残片，你对图中日勺残片作哪些

测量，就可以割取符合规格的三角形玻璃，与同伴交流.

【学生活动】观测，思索，回答教师的问题.措施如下：可以将图1日勺玻璃碎片放在一块

纸板上，然后用直尺和铅笔或水笔画出一块完整的三角形.如图2,剪下模板就可去割玻璃了.

【理论认知】

假如AABCmAA，B，C,那么它们日勺对应边相等，对应角相等.反之，假如4ABC与

△A'B'C'满足三条边对应相等，三个角对应相等，即AB=A'B',BC=B,C,CA=C,A',

ZA=ZAZ,NB=NB',ZC=ZC.

这六个条件，就能保证△ABCZAA，C,，从刚刚的实践我们可以发现：只要两个三角

形三条对应边相等，就可以保证这两块三角形全等.

信不信？

【作图验证】（用直尺和圆规）

先任意画出一种AABC,再画一种AA'B'C，使A'B'=AB,B'C=BC,CA'=CA.把

画出的AA，C‘剪下来，放在AABC上，它们能完全重叠吗？（即全等吗）

【学生活动】拿出直尺和圆规按上面的规定作图，并验证.（如书本图11.2-2所示）

画一种AA'B'C,使A'B'=AB'，A'C=AC,B'C=BC：

1.画线段取B,C=BC；

2.分别以1、L为圆心，线段AB、AC为半径画弧，两弧交于点A，；

3.连接线段A，B'、A'C'.

【教师活动】巡视、指导，引入课题:“上述的生活实例和尺规作图的成果反应了什么规律？”

【学生活动】在思索、实践日勺基础上可以归纳出下面鉴定两个三角形全等日勺定理.

（I）鉴定措施：三边对应相等日勺两个三角形全等（简写成“边边边”或“SSS”）.

（2）判断两个三角形全等日勺推理过程，叫做证明三角形全等.

【评析】通过学生全过程日勺画图、观测、比较、交流等，逐渐探索出最终日勺结论——边边

边，在这个过程中，学生不仅得到了两个三角形全等日勺条件，同步增强了数学体验.

二、范例点击，应用所学

【例1】如书本图所示，AABC是一种钢架，AB=AC,AD是连接点A与BC中点D的支架，求

证4ABD咨4ACD.（教师板书）

【教师活动】分析例1,分析：要证明△ABDZAACD,可看这两个三角形日勺三条边与否对

A

应相等.

证明：•.》是BC日勺中点，BDC

.\BD=CD

在4ABD和4ACD中

AB=AC,

<BD=CD,

AD=AD.

：.AABD^AACD（SSS）.

【评析】符号“•••”表达“由于"，“・••”表达“因此”；从例1可以看出，证明是由题设

（已知）出发，通过一步步时推理，最终推出结论（求证）对时的过程.书写中注意对应顶点

要写在同一种位置上，哪个三角形先写，哪个三角形日勺边就先写.

三、实践应用，合作学习

【问题思索】

已知AC=FE,BC=DE,点A、D、B、F在直线上，AD=FB（如图所示），要用“边边边”证明△

ABCm△FDE,除了已知中的AC=FE,BC=DE以外，还应当有什么条件？怎样才能得到这个条件？

【教师活动】提出问题，巡视、引导学生，并请学生说说自己日勺想法.

【学生活动】先独立思索后，再发言：“还应当有AB=FD,只要AD=FB两边都加上DB即可

得到AB=FD.”

【教学形式】先独立思索，再合作交流，师生互动

四、随堂练习，巩固深化

书本练习.

【探研时空】

如图所示，AB=DF,AC=DE,BE=CF,BC与EF相等吗?你能找到一对全等三角形吗？阐明你

的1理由.（BC=EF,AABC^ADFE）

AD

AA

BECF

五、课堂总结，发展潜能

1.全等三角形性质是什么？

2.对时地判断出全等三角形的对应边、对应角，运用全等三角形处理问题的基础，你是

怎样掌握判断对应边、对应角的措施？

3.“边边边”鉴定法告诉我们什么呢？（答：只要一种三角形三边长度确定了，则这个三

角形的形状大小就完全确定了，这就是三角形的稳定性）

六、布置作业，专题突破

1.书本习题

2.选用课时作业设计.

板书设计

把黑板平均提成三份，左边部分板书“边边边”鉴定法，中间部分板书例题，右边部分板

书练习.

疑难解析

证明中日勺每一步推理都要有根据，不能“想当然”，这些根据，可以是已知条件，也可以是

定义、公理、已学过日勺重要结论.

三角形全等鉴定（SAS）

教学内容

本节课重要内容是探索三角形全等日勺条件（SAS）,及运用全等三角形证明.

教学目的

1.知识与技能领会“边角边”鉴定两个三角形日勺措施.

2.过程与措施经历探究三角形全等的鉴定措施日勺过程，学会处理简朴日勺推理问题.

3.情感、态度与价值观培养合情推理能力，感悟三角形全等的应用价值.

重、难点及关键

1.重点：会用“边角边”证明两个三角形全等.

2.难点：应用结合法日勺格式体现问题.

3.关键：在实践、观测中对日勺选择鉴定三角形全等日勺措施.

教具准备投影仪、直尺、圆规.

教学措施采用“操作——试验”日勺教学措施，让学生有一种直观日勺感受.

教学过程

一、回忆交流，操作分析

【动手画图】

【投影】作一种角等于已知角.

【学生活动】动手用直尺、圆规画图.

已知：ZAOB.

求作：ZAiOiBi,使NAiOiB尸NAOB.

【作法】(1)作射线O1A1；(2)以点。为圆心，以合适长为半径画弧，交OA•于点C,・

交OB于点D；(3)以点Oi为圆心，以0C长为半径画弧，交OiAi于点Ci；(4)以点Ci为圆

心，以CD•长为半径画弧，交前面的弧于点Di；(5)过点Di作射线OiBi,NAiOiBi就是所求

的角.

【导入课题】

教师论述：请同学们连接CD、C1D1,回忆作图过程，分析aCOD和△C101D1•中相等的

条件.

【学生活动】与同伴交流，发现下面日勺相等量：

OD=OiDi,OC=OiCi,ZCOD=ZCiOiDi,ACOD^ACiOiDi.

归纳出规律：

两边和它们日勺夹角对应相等的两个三角形全等(简写成“边角边”或“SAS”).

【评析】通过让学生回忆基本作图，在作图过程中体会相等的条件，在直观日勺操作过程中

发现问题，获得新知，使学生日勺知识承上启下，开拓思维，发展探究新知日勺能力.

【媒体使用】投影显示作法.

【教学形式】操作感知，互动交流，形成共识.

二、范例点击，应用新知

【例2】如书本图所示有一池塘，要测池塘两侧A、B日勺距离，可先在平地上取一种可以直

接抵达A和B日勺点，连接AC并延长到D,使CD=CA,连接BC并延长到E,使CE=CB,连接DE,

那么量出DE的长就是A、B的距离，为何?

【教师活动】操作投影仪,显示例2,分析:假如可以证明AABC等△口£（：,就可以得出AB=DE.在

△ABC和aDEC中,CA=CD,CB=CE,假如能得出N1=N2,4ABC和4DEC就全等了.

证明：在AABC和ADEC中

CA=CD

<Zl=Z2

CB=CE

：.AABC^ADEC（SAS）

.\AB=DE

想一想：N1=N2日勺根据是什么？（对顶角相等）AB=DE日勺根据是什么？（全等三角形对应

边相等）

【学生活动】参与教师日勺讲例之中，领悟“边角边”证明三角形全等的措施，学会分析推

理和规范书写.

【媒体使用】投影显示例2.

【教学形式】教师讲例，学生接受式学习但要积极参与.

【评析】证明分别属于两个三角形日勺线段相等或角相等日勺问题，常常通过证明这两个三角

形全等来处理.

三、辨析理解，对的掌握

【问题探究】（投影显示）

我们懂得，两边和它们日勺夹角对应相等日勺两个三角形全等，由“两边及其中一边日勺对角对

应相等”日勺条件能鉴定两个三角形全等吗？为何？

【教师活动】拿出教具进行示范，让学生直观地感受到问题的本质.

操作教具：把一长一短两根细木棍的一端用螺钉钱合在一起，使长木棍日勺另一端与射线BC

日勺端点B重叠，合适调整好长木棍与射线BC所成日勺角后，固定住长木棍，把短木棍摆起来(书

本图11.2-7),出现一种现象：^ABC与4ABD满足两边及其中一边对角相等的条件，但4ABC

与4ABD不全等.这阐明，有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.

【学生活动】观测教师操作教具、发现问题、辨析理解，动手用直尺和圆规试验一次，做

法如下：(如图1所示)

(1)画NABT；(2)以A为圆心，以合适长为半径，画弧，交BT于C、C；(3)连线AC,

AC，,4ABC与△ABC'不全等.

【形成共识】“边边角”不能作为鉴定两个三角形全等日勺条件.

【教学形式】观测、操作、感知，互动交流.

四、随堂练习，巩固深化

书本练习.

五、课堂总结，发展潜能

1.请你论述“边角边”定理.

2.证明两个三角形全等日勺思绪是：首先分析条件，观测已经具有了什么条件；然后以已

具有的I条件为基础根据全等三角形日勺鉴定措施，来确定还需要证明哪些边或角对应相等，再设

法证明这些边和角相等.

六、布置作业，专题突破

1.书本习题

2.选用课时作业设计.

板书设计

把黑板提成左、中、右三部分，其中右边部分板书“边角边”鉴定法，中间部分板书例题,

右边部分板书练习题.

三角形全等鉴定（ASA）

教学内容

本节课重要内容是探索三角形全等的鉴定（ASA,AAS）,及运用全等三角形日勺证明.

教学目的

1.知识与技能

理解“角边角”、“角角边”鉴定三角形全等日勺措施.

2.过程与措施

经历探索“角边角”、“角角边”鉴定三角形全等日勺过程，能运用已学三角形鉴定法处理实

际问题.

3.情感、态度与价值观

培养良好的几何推理意识，发展思维，感悟全等三角形的应用价值.

重、难点与关键

1.重点：应用“角边角”、“角角边”鉴定三角形全等.

2.难点：学会综合法处理几何推理问题.

3.关键：把握综合分析法的思想，寻找问题的切入点.

教具准备

投影仪、幻灯片、直尺、圆规.

教学措施：采用“问题教学法”在情境问题中，激发学生日勺求知欲.

教学过程

一、回忆交流，巩固学习

【知识回忆】(投影显示)

情境思索：

1.小菁做了一种如图1所示日勺风筝，其中NEDH=NFDH,ED=FD,将上述条件注在图中,

小明不用测量就能懂得EH=FH吗？与同伴交流.

[答案：能，由于根据“SAS”，可以得到AEDH四△FDH,从而EH=FH]

2.如图2,AB=AD,AC=AE,能添上一种条件证明出aABC咨4ADE吗？[答案：BC=DE(SSS)

或NBAC=NDAE(SAS)].

3.假如两边及其中一边日勺对角对应相等，两个三角形一定会全等吗？试举例阐明.

【教师活动】操作投影仪，提出问题，组织学生思索和提问.

【学生活动】通过情境思索，复习前面学过的知识，学会对的选择三角形全等的鉴定措施,

小组交流，踊跃发言.

【教学形式】用问题牵引，辨析、巩固已学知识，在师生互动交流过程中，激发求知欲.

二、实践操作，导入课题

【动手动脑】(投影显示)

问题探究：先任意画一种△ABC,再画出一种AA'B'C,使A，B,=AB,ZAZ=ZA,Z

Bz=ZB（虽然两角和它们的夹边对应相等），把画出的AA，L剪下，放到4ABC上，它

们全等吗？

【学生活动】动手操作，感知问题的规律，画图如下

画一种AA，B，L,使K'B'

=AB,

ZAZ=ZA,ZB'=ZB：

1.画A'B'=AB；

2.在AzBz的同旁画NDA，Bz=Z

A,

NEBA'=NB,A'D,B’E交于点C'。

探究规律：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（简写成“角边角”或“ASA”）.

【知识铺垫】书本图n.2—8中，ZAZ=ZA,NB,=ZB,那么NC=NA'CB'吗？为

何？

【学生回答】根据三角形内角和定理，ZC=180°-ZAZ-NB',ZC=180°-ZA-ZB,

由于NA=NA‘，NB=NB',：.ZC=ZC.

【教师提问】在^ABC和ADEF中，ZA=ZD,ZB=ZE,BC=EF（书本图11.2—9）,AABC

与4DEF全等吗？

【学生活动】运用三角形内角和定理，以及“ASA”很快证出4ABC24EFD,并且归纳如下:

归纳规律：两个角和其中一种角日勺对边对应相等日勺两个三角形全等（简与成AAS）.

三、范例点击，应用所学

【例3】如书本图11.2—10,D在AB上，E在AC上，AB=AC,ZB=ZC,求证：AD=AE.

【教师活动】引导学生，分析例3.关键是寻找到和已知条件有关的4ACD和AABE,再证

它们全等，从而得出AD=AE.

证明：在4ACD与4ABE中,

'NA=NA(公共角)

<AC=AB

ZC=ZB

：.AACD^AABE(ASA)

/.AD=AE

【学生活动】参与教师分析，领会推理措施.

【媒体使用】投影显示例3.

【教学形式】师生互动.

【教师提问】三角对应相等的两个三角形全等吗？

【学生活动】与同伴交流，得到有三角对应相等日勺两个三角形不一定会全等，拿出三角板

进行阐明，如图3,下面这块三角形的内外边形成日勺AABC和AA，B'C'中，ZA=ZAZ,Z

B=NB'，ZC=ZC,不过它们不全等.（形状相似，大小不等）.

四、随堂练习,巩固深化

书本练习

五、课堂总结,发展潜能

1.证明两个三角形全等有几种措施？怎样对的选择和应用这些措施？

2.全等三角形性质可以用来证明哪些问题？举例阐明.

3.你在本节课时探究过程中，有什么感想？

六、布置作业，专题突破

1.书本习题.

2.选用课时作业设计.

板书设计

把黑板提成三部分，左边部分板书“角边角”、“角角边”鉴定法，中间部分板书例题、画

图，右边部分板书练习.

三角形全等的鉴定（综合）

教学内容

本节课重要内容是三角形全等的鉴定的I综合运用.

教学目的

1.知识与技能

理解三角形全等日勺鉴定，并会运用它们处理实际问题.

2.过程与措施

经历探索三角形全等的四种鉴定措施的过程，能进行合情推理.

3.情感、态度与价值观

培养良好日勺几何思维，体会几何学日勺应用价值.

重、难点与关键

1.重点：运用四个鉴定三角形全等日勺措施.

2.难点：对日勺选择鉴定三角形全等日勺措施，充足应用“综合法”进行体现.

3.关键：把握问题的因果关系，从中寻找思绪.

教具准备

投影仪、幻灯片、直尺、圆规.

教学措施

采用“讲.练”结合的教学法，让学生充足体会到几何时分析思想.

教学过程

一、分层练习，回忆反思

【课堂演习】

1.已知AABCmAA'B'C',且NA=48°,ZB=33°,A'B'=5cm,求NC'时度数与

AB日勺长.

【教师活动】操作投影仪，组织学生练习，请一位学生上台演示.

【学生活动】先独立完毕演习1,然后再与同伴交流，踊跃上台演示.

解：在AABC中，ZA+ZB+ZC=180°

AZC=180°-（ZA+ZB）=99°

VAABC^AAZB'C'，ZC=ZCz,

：.ZC=99°,

AB=A'B'=5cm.

【评析】表达两个全等三角形时，要把对应顶点的字母写在对应位置上，这时解题就很以

便.

2.已知：如图1,在AB、AC上各取一点E、D,使AE=AD,连接BD、CE相

交于点0,连接AO,Z1=Z2.

求证：ZB=ZC.

【思绪点拨】要证两个角相等，我们一般用的措施有：（1）两直线平行，同位角或内错角

相等；（2）全等三角形对应角相等；（3）等腰三角形两底角相等（待学）.

根据本题日勺图形，应考虑去证明三角形全等，由已知条件，可知AD=AE,Zl=Z2,A0是

公共边，叫AADO也ZSAEO,则可得到OD=OE,ZAE0=ZAD0,ZE0A=ZD0A,而要证NB=NC可

以深入考察^OBE咨ZkOCD,而由上可知OE=OD,ZB0E=ZC0D（对顶角），NBE0=NCD0（等角的

补角相等），则可证得AOBF法△OCD,实际上，得到NAE0=NA0D之后，又有NB0E=NC0D,由

外角的关系，可得出NB=NC,这样更深入简化了思绪.

【教师活动】操作投影仪，巡视、启发引导，关注“学困生”，请学生上台演示，然后评点.

【学生活动】小组合作交流，共同探讨，然后解答.

【媒体使用】投影显示演习题2.

【教学形式】分组合作，互相交流.

【教师点评】在分析一道题目的条件时，尽量把条件分析透，如上题当证明△ADOZAAEO

之后，可以得到OD=OE,ZAEO=ZADO,ZEOA=ZDOA,这些结论虽然在深入证明中并不一定都

用到，但在分析时对图形中的等量及大小关系有了对日勺认识，有助于深入思索.

证明在AAEO与△ADO中，

AE=AD,Z2=ZLAO=AO,

.•.△AEO注△ADO(SAS),，NAEONADO.

XVZAE0=ZE0B+ZB,ZA0D=ZD0C+ZC.

XVZE0B=ZD0C（对应角），/.ZB=ZC.

3.如图2,已知NBAC=NDAE,ZABD=ZACE,BD=CE.求证：AD=AE.

【思绪点拨】欲证相等日勺两条线段AD、AE分别在4ABD和AACE中，由于BD=CE,ZABD=

ZACE,因此要证明4ABD咨AACE,则需证明NBAD=ZCAE,这由已知条件NBAC=NDAE轻易

得至U.

【教师活动】操作投影仪：引导学生思索问题.

【学生活动】分析、寻找证题思绪，独立完毕演习题3.

证明：ZBAC=ZDAE

/.ZBAC-ZDAC=ZDAE-ZDAC即NBAD=NCAE图2

在4ABD和4ACE中，

VBD=CE,ZABD=ZACE,ZBAD=ZCAE,

AAABD^AACE(AAS),

.*.AD=AE.

【媒体使用】投影显示演习题3.

【教学形式】讲练结合.

二、随堂练习，继续巩固

1.如图3,点E在AB上，AC=AD,ZCAB=ZDAB,AACE与4ADE全等吗？4ACB与4ADB

呢？请阐明理由.

[答案：4ACE咨AADE,AACB^AADB,根据“SAS”.]

2.如图4,仪器ABCD可以用来平分一种角，其中AB=AD,BC=DC,将仪器上日勺点A与NPRQ

日勺顶点R重叠，调整AB和AD,使它们落在角的两边上，沿AC画一条射线AE,AE就是NPRQ

的平分线，你能阐明其中道理吗?

小明日勺思索过程如下：

[AB=AD

<BC=DC-*AABC^AADC^ZQRE=ZPRE

AC=AC

你能说出每一步的理由吗？图4

3.如图5,斜拉桥日勺拉杆AB,BC日勺两端分别是A,C,它们到0日勺距离相等，将条件标注

在图中，你能阐明两条拉杆的长度相等吗？

as

答案：相等，由于AABO咨△CBO(SAS),从而AB=CB.图5

三、布置作业，专题突破

1.书本习题

2.选用课时作业设计.

板书设计

把黑板提成两份，左边板书概念、例题，右边板书练习.

直角三角形全等鉴定(HL)

教学内容

本节课重要内容是探究直角三角形日勺鉴定措施.

教学目的

1.知识与技能

在操作、比较中理解直角三角形全等的过程，并能用于处理实际问题.

2.过程与措施

经历探索直角三角形全等鉴定日勺过程，掌握数学措施，提高合情推理的能力.

3.情感、态度与价值观

培养几何推理意识，激发学生求知欲，感悟几何思维日勺内涵.

重、难点与关键

1.重点：理解运用“斜边、直角边”来鉴定直角三角形全等日勺措施.

2.难点：培养有条理日勺思索能力，对日勺使用“综合法”体现.

3.关键：鉴定两个三角形全等时，要注意这两个三角形中已经具有一对角相等的条件,

只需找到此外两个条件即可.

教具准备

投影仪、幻灯片、直尺、圆规.

教学措施

采用“问题探究”日勺教学措施，让学生在互动交流中领会知识.

教学过程

一、回忆交流，迁移拓展

【问题探究】

图1是两个直角三角形，除了直角相等日勺条件，还要满足几种条件，这两个直角三角形才

能全等？

【教师活动】操作投影仪，提出“问题探究”，组织学生讨论.

【学生活动】小组讨论，刊登意见：“由三角形全等条件可知，对于两个直角三角形，满足

一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了

【媒体使用】投影显示“问题探究”.

【教学形式】分四人小组，合作、讨论.

【情境导入】如图2所示.

舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想懂得这两个直角三角形与否全等，但每个

三角形均有一条直角边被花盆遮住无法测量.

(1)你能帮他想个措施吗?

（2）假如他只带了一种卷尺，能完毕这个任务吗？

工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别对应相等，于是他

就肯定“两个直角三角形是全等的“，你相信他日勺结论吗？

【思绪点拨】（1）学生可以回答去量斜边和一种锐角，或直角边和一种锐角，但对问题（2）

学生难以回答.此时，教师可以引导学生对工作人员提出日勺措施及结论进行思索，并验证它们

的措施，从而展开对直角三角形特殊条件日勺探索.

【教师活动】操作投影仪，提出问题，引导学生思索、验证.

【学生活动】思索问题，探究原理.

做一做如书本图：任意画出一种Rt^ABC,使NC=90°,再画一种RtAAZB'C'，使B’

C=BC,AzBz=AB,把画好时RtZSA，BzC剪下，放到Rt^ABC上，它们全等吗？

【学生活动】画图分析，寻找规律.如下：

规律：斜边和一条直角边对应相等日勺两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或“HL”）.

画一种Rt^A'B'C,使B'C=BC,AB=AB;

1.画NMC'N=90°o

2.在射线C，M上取B，CBCo

3.以为圆心，AB为半径画弧，交射线C，N于点

A’。

4.连接A，B'。

二、范例点击，应用所学

【例】如图，AC±BC,BD±AD,AC=BD,求证BC=AD.

DC

【思绪点拨】欲证BC=AD,首先应寻找和这两条线段有关的三角形，这里有4ABD和4

BAC,△ADO和△BCO,0为DB、AC时交点，通过条件的分析，4ABD和ABAC具有全等的条件.

【教师活动】引导学生共同参与分析例4.

证明：VACXBC,BDXBD,

...NC与ND都是直角.

在RtAABC和RtABAD中，

AB=BA,

AC=BD,

ARtAABC^RtABAD(HL).

.,.BC=AD.

【学生活动】参与教师分析，提出自己日勺见解.

【评析】在证明两个直角三角形全等时，要防止学生使用“SSA”来证明.

【媒体使用】投影显示例4.

三、随堂练习，巩固深化

书本练习.

【探研时空】

如图3,有两个长度相似日勺滑梯，左边滑梯日勺高度AC与右边滑梯水平方面日勺长度DF相等,

两个滑梯的倾斜角NABC和NDEF日勺大小有什么关系？

下面是三个同学日勺思索过程，你能明白他们口勺意思吗？（如图4所示）

BC=EF,AC=DF

-*AABC^ADEF-*ZABC-*ZDEF-ZABC+ZDEF=90°.

ZCAB=ZFDE=90°

有一条直角边和斜边对应相等，因此AABC与4DEF全等.这样NABC=NDEF,也就是NABC+

ZDEF=90°.

在Rt^ABC和Rt^DEF中，BC=EF,AC=DF,因此这两个三角形是全等的，这样NABC=NDEF,

因此NABC与NDEF是互余时.

【教学形式】这个问题波及日勺推理比较复杂，可以通过全班讨论，共同处理这个问题，但

不需要每个学生自己独立阐明理由，只规定学生能看懂三位同学日勺思索过程就可以了.

四、课堂总结，发展潜能

本节课通过动手操作，在合作交流、比较中共同发现问题，培养直观发现问题的I能力，在

反思中发现新知，体会处理问题的措施.通过今天的学习和对前面三角形全等条件的探求，可

知鉴定直角三角形全等有五种措施.（教师让学生讨论归纳）

五、布置作业，专题突破

1.书本习题

板书设计

把黑板提成三份，反复使用，左边部分板书直角三角形鉴定定理等有关概念，中间部分板

书“探究”，右边部分板书例题.

12.3角的平分线的性质(1)

教学内容

本节课首先简介作一种角日勺平分线日勺措施，然后用三角形全等证明角平分线日勺性质定理.

教学目的

1.知识与技能

通过作图直观地理解角平分线日勺两个互逆定理.

2.过程与措施

经历探究角日勺平分线日勺性质的过程，领会其应用措施.

3.情感、态度与价值观

激发学生日勺几何思维，启迪他们日勺灵感，使学生体会到几何日勺真正魅力.

重、难点与关键

1.重点：领会角的平分线的两个互逆定理.

2.难点：两个互逆定理的实际应用.

3.关键：可通过学生折纸活动得到角平分线上日勺点到角口勺两边的距离相等日勺结论.运用

全等来证明它的逆定理.

教具准备

投影仪、制作如书本图11.3—1日勺教具.

教学措施

A

采用“问题处理”日勺教学措施，让学生在实践探究中领会定

教学过程令

一、创设情境，导入新课

【问题探究】(投影显示)

如书本图，是一种平分角的仪器，其中AB=AD,BC=DC,将点A放在角的顶点，AB和AD沿

着角日勺两边放下，沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线，你能阐明它日勺道理吗？

【教师活动】首先将“问题提出”，然后运用教具直观地进行讲述，提出探究的问题.

【学生活动】小组讨论后得出：根据三角形全等条件“边边边”鉴定法，可以阐明这个仪

器日勺制作原理.

【教师活动】

请同学们和老师一起完毕下面日勺作图问题.

操作观测：

已知：ZAOB.

求法：NAOB日勺平分线.

作法：(1)以0为圆心，合适长为半径作弧，交0A于M,交0B于N.(2)分别以M、N为

圆心，不小于‘MN的长为半径作弧，两弧在NAOB日勺内部交于点C.(3)作射线0C,射线0C

2

即为所求

【学生活动】动手制图（尺规），边画图边领会，认识角平分线的定义；同步在实践操作中

感知・

【媒体使用】投影显示学生的“画图”.。NB

【教学形式】小组合作交流.

二、随堂练习，巩固深化

书本练习.

【学生活动】动手画图，从中得到：直线CD与直线AB是互相垂直日勺.

【探研时空】（投影显示）

如书本图，将NAOB对折，再折出一种直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观

测两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？

【教师活动】操作投影仪，提出问题，提问学生.

【学生活动】实践感知，互动交流，得出结论，“从实践中可以看出，第一条折痕是NAOB

日勺平分线0C,第二次折叠形成日勺两条折痕PD、PE是角日勺平分线上一点到NAOB两边日勺距离，这

两个距离相等.”

论证如下：

已知：0C是NAOB的平分线，点P在0C上，PD±OA,PEXOB,垂足分别是D、E（书本图

11.3—4）

求证：PD=PE

证明：•.•PDLOA,PEXOB,

.*.ZPD0=ZPE0=90o

在△PDO和△PEO中，

ZPDO=ZPEO,

<ZAOC=ZBOC,

OP=OP,

.,.△PDO2△PEO（AAS）

.*.PD=PE

【归纳如下】

角日勺平分线上日勺点到角日勺两边日勺距离相等.

【教学形式】师生互动，生生互动，合作交流.

三、情境合一，优化思维

【问题思索】（投影显示）

如书本图，要在S区建一种集贸市场，使它到公路、铁路日勺距离相等，离公路与铁路交叉

处500米，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20000）?

Zx

【学生活动】四人小组合作学习，动手操作探究，获得问题结论.从实践中可知：角平分

线上的点到角日勺两边距离相等，将条件和结论互换：到角的两边日勺距离相等时点也在角日勺平分

线.

证明如下：

已知：PD±OA,PE±OB,垂足分别是D、E,PD=PE.

求证：点P在NA0B日勺平分线上.

证明：通过点P作射线0C.

VPDXOA,PEX0B

.*.ZPD0=ZPE0=90o

在RtAPDO和RtAPEO中，

OP=OP,

PD=PE,

ARtAPDO^RtAPEO(HL)

ZAOC=ZBOC,

...OC是NAOB日勺平分线.

【教师活动】启发、引导学生；组织小组之间日勺交流、讨论；协助“学困生”.

【归纳】到角日勺两边日勺距离相等日勺点在角日勺平分线上.

【教学形式】自主、合作、交流，在教师日勺引导下，比较上述两个结论，弄清其条件和结

论，加深认识.

四、范例点击，应用所学

【例】如书本图，AABC的角平分线BM,CN相交于点P,求证：点P到三边AB,BC,CA

日勺距离相等.

【思绪点拨】由于已知、求证中都没有详细阐明哪些线段是距离，而证明它们相等必须标

出它们.因此这一段话要在证明中写出，同辅助线同样处理.假如已知中写明点P到三边日勺距

离是哪些线段，那么图中画实线，在证明中就可以不写.

【教师活动】操作投影仪，显示例子，分析例子，引导学生参与.

证明：过点P作PD、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA,垂足为D、E、F.

••.BM是AABC的角平分线，点P在BM上.

.\PD=PE

同理PE=PF

.,.PD=PE=PF

即点P到边AB、BC、CA时距离相等.

【评析】在几何里，假如证明的过程完全同样，只是字母不一样，可以用“同理”二字概

括，省略详细证明过程.

【学生活动】参与教师分析，积极探究学习.

五、随堂练习，巩固深化

书本练习.

六、课堂总结，发展潜能

1.学生自行小结角平分线性质及其逆定理，和它们日勺区别.

2.阐明本节例子实际上是证明三角形三条角平分线相交于一点日勺问题，阐明这一点是三

角形的内切圆的圆心（为后来学习设伏）.

七、布置作业，专题突破

1.书本习题

2.选用课时作业设计.

板书设计

把黑板提成三部分，左边部分板书概念、定理等，中间部分板书探究，右边部分板书例题,

反复使用时，中间部分和右边部分板书练习题.

第十三章轴对称

13.1轴对称（一）

教学目的

1.在生活实例中认识轴对称图.

2.分析轴对称图形，理解轴对称日勺概念.

教学重点：轴对称图形日勺概念.

教学难点：可以识别轴对称图形并找出它日勺对称轴.

教学过程

I.创设情境，引入新课

我们生活在一种充斥对称日勺世界中，许多建筑物都设计成对称形，艺术作品的创作往往也

从对称角度考虑，自然界日勺许多动植物也按对称形生长，中国的方块字中些也具有对称性……

对称给我们带来多少美日勺感受！初步掌握对称日勺奥秒，不仅可以协助我们发现某些图形日勺特性,

还可以使我们感受到自然界日勺美与友好.

轴对称是对称中重要日勺一种，从这节课开始，我们来学习第十二章：轴对称.今天我们来

研究第一节，认识什么是轴对称图形，什么是对称轴.

II.导入新课

出示书本日勺图片，观测它们均有些什么共同特性.

这些图形都是对称的.这些图形从中间分开后，左右两部分可以完全重叠.

小结：对称现象无处不在，从自然景观到分子构造，从建筑物到艺术作品，•甚至平常生活

用品，人们都可以找到对称日勺例子.目前同学们就从我们生活周围日勺事物中来找某些具有对称

特性的例子.

我们的黑板、课桌、椅子等.

我们的身体，尚有飞机、汽车、枫叶等都是对称日勺.

如书本日勺图，把一张纸对折，剪出一种图案（折痕处不要完全剪断），•再打开这张对折的

纸，就剪出了漂亮日勺窗花.观测得到日勺窗花和图中日勺图形，你能发现它们有什么共同日勺特点吗？

窗花可以沿折痕对折，使折痕两旁的部分完全重叠.不仅窗花可以沿一条直线对折，使直

线两旁重叠，上面图中日勺图形也可以沿一条直线对折，使直线两旁的部分重叠.

结论：假如一种图形沿一直线折叠，直线两旁的部分可以互相重叠，这个图形就叫做轴对

称图形，这条直线就是它的对称轴.这时，我们也说这个图形有关这条直线（成轴）•对称.

理解了轴对称图形及其对称轴日勺概念后，我们来做一做.

取一张质地较硬日勺纸，将纸对折，并用小刀在纸日勺中央随意刻出一种图案，•将纸打开后铺

平，你得到两个成轴对称日勺图案了吗？与同伴进行交流.

结论：位于折痕两侧日勺图案是对称日勺，它们可以互相重叠.

由此可以得到轴对称图形日勺特性：一种图形沿一条直线折叠后，折痕两侧日勺图形完全重叠.

接下来我们来探讨一种有关对称轴的问题.有些轴对称图形日勺对称轴只有一条，但有日勺轴

对称图形的对称轴却不止一条，有日勺轴对称图形日勺对称轴甚至有无数条。

下列各图，你能找出它们日勺对称轴吗？

成果：图（1）有四条对称轴；图（2）有四条对称轴；图（3）有无数条对称轴；图（4）

⑴⑵⑶(4)⑸

展示挂图，大家想一想，你发现了什么？

像这样，把一种图形沿着某一条直线折叠，假如它可以与另一种图形重叠，那么就说这两

个图形有关这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重叠的点是对应点，叫做对称点.

m.随堂练习：书本练习

IV.课时小结

这节课我们重要认识了轴对称图形，理解了轴对称图形及有关概念，深入探讨了轴对称的

特点，辨别了轴对称图形和两个图形成轴对称.

V.作业：书本习题

VI.活动与探究：思索.

成轴对称日勺两个图形全等吗？假如把一种轴对称图形沿对称轴提成两个图形，那么这两个

图形全等吗？这两个图形对称吗？

过程：在硬纸板上画两个成轴对称的图形，再用剪刀将这两个图形剪下来看与否重叠.再

在硬纸板上画出一种轴对称图形，然后将该图形剪下来，再沿对称轴剪开，看两部分与否可以

完全重叠.

结论：成轴对称的两个图形全等.假如把一种轴对称图形沿对称轴提成两个图形，这两个

图形全等，并且也是成轴对称日勺.

轴对称是说两个图形日勺位置关系，而轴对称图形是说一种具有特殊形状日勺图形.

轴对称的两个图形和轴对称图形，都要沿某一条直线折叠后重叠；假如把轴对称图形沿对

称轴提成两部分，那么这两个图形就有关这条直线成轴对称；反过来，•假如把两个成轴对称日勺

图形当作一种整体，那么它就是一种轴对称图形.

板书设计

轴对称（一）

一、轴对称：假如一种图形沿一条直线折叠后，直线两旁日勺部分可以完全重叠，这个图

形就叫轴对称图形，这条直线叫对称轴.

二、两个图形成轴对称：把一种图形沿着某一条直线折叠，假如它可以与另一种图形重

叠，那么就说这两个图形有关这条直线对称.

13.1轴对称（二）

教学目的

1.理解两个图形成轴对称性日勺性质，理解轴对称图形的I性质.

2.探究线段垂直平分线日勺性质.

3.经历探索轴对称图形性质的过程，深入体验轴对称日勺特点，发展空间观测.

教学重点；1.轴对称的性质.2.线段垂直平分线的性质.

教学难点：体验轴对称日勺特性.

教学过程

I.创设情境，引入新课

上节课我们共同探讨了轴对称图形，懂得现实生活中由于有轴对称图形，而使得世界非常

漂亮.那么大家想一想，什么样日勺图形是轴对称图形呢？

今天继续来研究轴对称日勺性质.

II.导入新课：观看投影并思索.