第3讲分式(题型精讲)(原卷版+解析)2

第3讲分式（精讲）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：课前自我评估测试第三部分：典型例题剖析题型一：分式的定义题型二：分式有意义的条件题型三：分式的值题型四：分式的基本性质角度1：判断分式变形是否正确角度2：利用分式基本性质变形成立条件角度3：利用分式基本性质判断分式值的变化角度4：分式分子分母最高项化正角度5：分式分子分母系数化整题型五：约分与最简分式题型六：通分与最简公分母题型七：分式的运算角度1：分式的加减角度2：分式的乘除角度3：分式的混合运算角度4：分式化简求值角度5：整数指数幂运算角度6：负指数幂与科学记数法第四部分：中考真题感悟第一部分：知识点精准记忆知识点一：分式的有关概念1．分式：一般地，如果，表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式．对于分式来说：①当时，分式有意义；②当时，分式没有意义；③只有在同时满足且这两个条件时，分式的值才是零．2．最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式．3．约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．约分时，如果分式的分子或分母是多项式，要先分解因式，再约去分子和分母所有的公因式.4．通分：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分．通分的关键是确定几个分式的最简公分母.通分步骤：①定最简公分母；②化异分母为最简公分母.5．最简公分母：一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．确定最简公分母步骤：①定系数：取各分母系数的最小公倍数；②定字母：取分式分母中的所有字母；③定指数：取各个字母的最高指数知识点二：分式的基本性质基本性质：分式的分子与分母都乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变.即（）或（），其中是整式.符号法则：分子、分母与分式的符号，改变其中任何两个，分式的值不变．即.知识点三：分式的运算1、分式的加减①同分母：分母不变，分子相加减：②异分母：先通分，变为同分母的分式，再加减：2、分式的乘除和乘方①乘法：用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母：②除法：把除式的分子分母颠倒位置，与被除式相乘：（）③乘方：分式的乘方要把分子，分母分别乘方:（为正整数）3、分式的混合运算顺序：先乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面．第二部分：课前自我评估测试1．（2022·湖南·新化县东方文武学校八年级期中）若分式的值为0，则x的值为（）A．0 B．1 C． D．2．（2022·湖南·岳阳市第十九中学八年级阶段练习）根据分式的基本性质，分式可变形为（

）A． B． C． D．3．（2022·湖南·涟源市湄江镇大江口中学八年级阶段练习）计算的结果是（）A． B． C． D．4．（2022·山东·泰安市泰山区树人外国语学校八年级阶段练习）若代数式有意义，则实数的取值范围是__________．5．（2022·湖南·新化县东方文武学校八年级期中）当时，求的值第三部分：典型例题剖析题型一：分式的定义典型例题例题1．（2022·山东·济宁市第十五中学八年级阶段练习）在式子、、、、、、中，分式的个数是（

）A．4 B．3 C．2 D．1例题2．（2022·广东·佛山市南海区桂城街道桂江第二初级中学八年级阶段练习）下列代数式中，是分式的是（）A． B． C． D．同类题型归类练1．（2022·河北·北师大石家庄长安实验学校八年级阶段练习）代数式的家中来了几位客人：，，，，，其中属于分式家族成员的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．（2022·四川遂宁·八年级期末）下列各式：，，，，，，中，分式有（

）个A．2 B．3 C．4 D．5题型二：分式有意义的条件典型例题例题1．（2022·四川·眉山市东坡区尚义镇象耳初级中学八年级期中）的取（

）值时，代数式有意义．A． B． C． D．例题2．（2022·全国·八年级单元测试）在函数中，自变量的取值范围是（

）A． B． C．且 D．例题3．（2022·黑龙江·哈尔滨市第四十七中学九年级阶段练习）在函数中，自变量的取值范围是__________．同类题型归类练1．（2022·甘肃·平凉市第十中学九年级阶段练习）在函数中，自变量的取值范围是______．2．（2022·湖南·李达中学九年级阶段练习）函数y＝的自变量x的取值范围是_____．题型三：分式的值典型例题例题1．（2022·湖北·建始县花坪民族中学九年级期中）若，则的值是（）A． B．2 C． D．1例题2．（2022·山东·威海市第七中学九年级阶段练习）若成立，则的取值范围是______________例题3．（2022·浙江舟山·七年级期末）若表示一个整数，则整数可取的个数有______个．例题4．（2022·江苏·滨海县八巨初级中学八年级阶段练习）阅读下列材料，然后解答后面的问题我们知道：分式和分数有着很多的相似点．如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质，等等．小学里，把分子比分母小的分数叫做真分数．类似的，对于只含有一个字母的分式，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式，如．(1)下列分式中，属于真分式的是（

）A．

B．

C．

D．(2)将假分式，化成整式和真分式的和的形式．(3)当取哪些整数时，分式的值也是整数？同类题型归类练1．（2022·湖北·华中师范大学第一附属中学光谷分校九年级阶段练习）若a是一元二次方程的一个根，则代数式的值是（

）A． B． C． D．2．（2022·江苏·无锡市钱桥中学九年级阶段练习）已知，则的值是（

）A．－5 B．5 C．－4 D．43．（2022·河北·保定市第一中学分校九年级开学考试）已知a2+b2＝6ab，则的值为（）A． B． C．2 D．±24．（2022·河北·北师大石家庄长安实验学校八年级阶段练习）已知，那么分式的值为__．题型四：分式的基本性质角度1：判断分式变形是否正确典型例题例题1．（2022·上海市罗南中学九年级阶段练习）已知，则下列各式中不正确的是（

）A． B． C． D．例题2．（2022·河北·邢台市第八中学八年级阶段练习）下列运算中，错误的是（）A． B． C． D．例题3．（2022·江苏南京·八年级期末）下列式子从左到右变形一定正确的是（）A． B． C． D．例题4．（2022·福建省泉州实验中学八年级阶段练习）下列代数式变形正确的是（）A．＝﹣ B． C．＝ D．＝同类题型归类练1．（2022·江苏·靖江市滨江学校八年级阶段练习）下列式子从左至右变形不正确的是（

）A． B． C． D．2．（2022·河北·石家庄石门实验学校八年级期末）小马虎在下面的计算中只做对了一道题，他做对的题目是（

）A． B． C． D．3．（2022·湖南·衡阳师范学院祁东附属中学八年级期中）下列代数式变形正确的是（

）A． B．C． D．4．（2022·山东烟台·八年级期末）已知，则下列说法错误的是（

）A． B． C． D．角度2：利用分式基本性质变形成立条件典型例题例题1．（2022·湖南邵阳·八年级期末）若分式中的和都扩大3倍，且分式的植不变，则□可以是（

）A．2 B． C． D．例题2．（2022·河北·一模）只把分式中的，同时扩大为原来的3倍后，分式的值也不会变，则此时的值可以是下列中的（

）A．2 B． C． D．例题3．（2022·江西景德镇·八年级期末）利用分式的基本性质填空：．同类题型归类练1．（2022·四川·仁寿县黑龙滩镇光相九年制学校八年级期末）若，的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（

）A． B． C． D．2．（2022·山东省济南第十二中学八年级阶段练习）若＝成立，则x的取值范围是___角度3：利用分式基本性质判断分式值的变化典型例题例题1．（2022·湖南·临湘市第六中学八年级阶段练习）如果把分式中的，都扩大10倍，则分式的值（

）A．缩小10倍 B．扩大10倍 C．不变 D．缩小到原来的例题2．（2022·吉林·长春市第八十七中学八年级阶段练习）如果把分式中的，都扩大2倍，那么分式的值（

）A．不变 B．缩小2倍 C．扩大2倍 D．无法确定例题3．（2022·湖南·岳阳县甘田中学八年级阶段练习）．例题4．（2022·山东济南·八年级期中）阅读材料题：已知：，求分式的值．解：设，则，，①；所以②．(1)上述解题过程中，第①步运用了的基本性质；第②步中，由求得结果运用了的基本性质；(2)参照上述材料解题：已知：，求分式的值．同类题型归类练1．（2022·山东·济宁市第十五中学八年级阶段练习）如果把的与（，均为正）都扩大10倍，那么这个代数式的值（

）A．不变 B．扩大50倍 C．扩大10倍 D．缩小到原来的2．（2022·广东·佛山市南海区桂城街道映月中学八年级阶段练习）如果把分式中的x、y的值都扩大为原来的3倍，那么分式的值（

）A．不变 B．扩大为原来的3倍C．扩大为原来的6倍 D．扩大为原来的9倍3．（2022·浙江·湖州市埭溪镇上强中学七年级阶段练习）将分式中的a、b都扩大为原来的3倍，则分式的值（

）A．不变 B．扩大为原来的9倍C．扩大为原来的6倍 D．扩大为原来的3倍4．（2022·福建·厦门外国语学校八年级阶段练习）如果把分数的分子、分母分别加上正整数a、b，结果等于，那么的最小值是（

）．A．26 B．28 C．30 D．325．（2022·广东·佛山市顺德区文德学校八年级阶段练习）如果把分式中的m和n都扩大3倍，那么分式的值（

）A．不变 B．扩大3倍 C．缩小到原来的 D．扩大9倍角度4：分式分子分母最高项化正典型例题例题1．（2022·湖北·云梦县实验外国语学校模拟预测）不改变分式的值，使分子、分母的第一项系数都是正数，则＝_____．例题2．（2022·全国·八年级专题练习）不改变分式的值，使分子、分母中次数最高的项的系数都化为正数．①；②；③；④．例题3．（2022·陕西渭南·八年级期末）小明在解一道分式方程，过程如下：第一步：方程整理第二步：去分母……(1)请你说明第一步和第二步变化过程的依据分别是___________、___________；(2)请把以上解分式方程过程补充完整．同类题型归类练1．（2022·全国·八年级专题练习）不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号．（1）；（2）；（3）；（4）．2．（2022·福建·厦门市松柏中学八年级期末）小明在解分式方程时，过程如下：第一步：方程整理第二步：去分母……(1)请你说明第一步和第二步变化过程的依据分别是、．(2)请把以上解分式方程的过程补充完整．角度5：分式分子分母系数化整典型例题例题1．（2022·山东滨州·八年级期末）把分式的分子与分母各项系数化为整数，得到的正确结果是（

）A． B． C． D．例题2．（2022·浙江湖州·七年级期末）有下列说法：①在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；②把分式的分子和分母中的各项系数都化成整数为；③无论k取任何实数，多项式总能进行因式分解；④若，则t可以取的值有3个，其中正确的说法是（

）A．①④ B．①③④ C．②③ D．①②例题3．（2022·山东·东平县实验中学八年级阶段练习）不改变分式的值，把分式的分子和分母各项系数都化成整数：=______．例题4．（2022·江苏·八年级专题练习）我们知道：分式和分数有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质，等等．小学里，把分子比分母小的数叫做真分数．类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式．如：==1+．（1）请写出分式的基本性质；（2）下列分式中，属于真分式的是；A．B．C．﹣D．（3）将假分式，化成整式和真分式的形式．同类题型归类练1．（2022·河北保定·一模）不改变分式的值，将分式中的分子、分母的系数化为整数，其结果为（

）A． B． C． D．2．（2022·浙江浙江·七年级期末）不改变分式的值，把它的分子分母的各项系数都化为整数，所得结果正确的是（

）A． B． C． D．3．（2022·全国·八年级专题练习）不改变分式的值，把下列各式的分式与分母中各项的系数都化为整数．①；②；③；④．4．（2022·江苏·八年级专题练习）不改变分式的值，把下列分式的分子、分母中各项的系数化为整数．（1）

（2）．题型五：约分与最简分式典型例题例题1．（2022·新疆·吐鲁番市高昌区第一中学八年级期中）下列运算结果为的是（）A． B． C． D．例题2．（2022·湖南·临武县第六中学八年级阶段练习）分式，，，中，最简分式有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个例题3．（2022·湖南·临武县第三中学八年级期中）化简：________；=________．例题4．（2022·广东·佛山市南海区桂城街道映月中学八年级阶段练习）化简：______．例题5．（2022·河南·上蔡县第六初级中学八年级阶段练习）下列四个分式：、、、，其中最简分式有__________个．同类题型归类练1．（2022·河北·邢台市第六中学八年级阶段练习）小明计算了四个分式，其中有一个结果忘记了约分，是下面中的（

）①，②，③，④A．① B．② C．③ D．④2．（2022·甘肃·甘州中学八年级期中）下列各式是最简分式的是（）A． B． C． D．3．（2022·湖南·临武县第六中学八年级阶段练习）将分式约分后得_________。4．（2022·宁夏·灵武市第二中学八年级期末）下列分式：①；②；③；④中，最简分式是______．5．（2022·河北·邢台市第八中学八年级阶段练习）化简：(1)；(2)．题型六：通分与最简公分母典型例题例题1．（2022·河北·邢台市第六中学八年级阶段练习）若将分式与通分，则分式的分子应变为（

）A． B．C． D．例题2．（2022·新疆·吐鲁番市高昌区第一中学八年级期中）分式和的最简公分母是___________例题3．（2022·湖南·新化县东方文武学校八年级期中）把，通分，则=________，=__________.例题4．（2022·广东·丰顺县球山中学九年级开学考试）通分：(1)，，；(2)，，．同类题型归类练1．（2022·贵州遵义·八年级期末）在计算通分时，分母确定为（

）A． B． C． D．2．（2022·山东·济宁北湖省级旅游度假区石桥镇中学八年级阶段练习）下列三个分式，，中的最简公分母是______．3．（2022·湖南·明德湘南学校八年级阶段练习）三个分式：，，的最简公分母是_____________．4．（2022·江苏扬州·八年级阶段练习）分式、与的最简公分母是______．5．（2022·江苏南京·八年级期末）分式和的最简公分母为___________．题型七：分式的运算角度1：分式的加减典型例题例题1．（2022·湖南·岳阳县甘田中学八年级阶段练习）计算：，结果为（）A．1 B． C． D．例题2．（2022·湖南·岳阳县甘田中学八年级阶段练习）计算：=___________．例题3．（2022·福建省泉州实验中学八年级期中）化简，结果等于________．例题4．（2022·北京昌平·八年级期中）计算：例题5．（2022·浙江嘉兴·七年级期末）化简：．小明的解法如下框：解：原式小明的解答是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请写出你的解答过程．同类题型归类练1．（2022·北京市三帆中学模拟预测）如果，且，那么代数式的值为（

）A． B． C． D．2．（2022·湖北·武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）九年级阶段练习）化简的结果是______．3．（2022·浙江杭州·七年级期末）化简：___．4．（2022·浙江舟山·七年级期末）化简：言言同学的解答如下：言言同学的解答正确吗？如果不正确，请写出正确的解答过程．角度2：分式的乘除典型例题例题1．（2022·四川·东坡区实验中学八年级期中）下列各式中，计算结果正确的是（

）A． B．C． D．例题2．（2022·江苏·灌南县扬州路实验学校八年级阶段练习）计算：=________；=________；＝_______．例题3．（2022·新疆·吐鲁番市高昌区第一中学八年级期中）计算：(1)(2)(3)同类题型归类练1．（2022·吉林·长春市第八十七中学八年级阶段练习）计算：(1)；(2)．2．（2022·山东·宁阳县第十一中学八年级阶段练习）计算(1)(2)(3)(4)(5)(6)3．（2022·宁夏·灵武市第二中学八年级期末）计算(1)(2)角度3：分式的混合运算典型例题例题1．（2022·湖南·明德湘南学校八年级阶段练习）计算(1)(2)(3)(4)例题2．（2022·上海·七年级单元测试）计算：(1)(2)(3)(4).(5)(6).(7)(8).(9)例题3．（2022·辽宁·大连市第七十六中学八年级阶段练习）计算：．例题4．（2022·福建师范大学附属中学初中部八年级期末）已知，求代数式的值．例题5．（2022·北京昌平·八年级期中）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，则是“和谐分式”．(1)下列分式中，属于“和谐分式”的是

（填序号）；①②③④(2)请将“和谐分式”化为一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，并写出化简过程；(3)应用：先化简，并求取什么整数时，该式的值为整数．同类题型归类练1．（2022·江苏·滨海县八巨初级中学八年级阶段练习）计算(1)(2)2．（2022·全国·八年级专题练习）计算(1)；(2)；(3)．(4)3．（2022·广东·深圳市龙华区丹堤实验学校模拟预测）某同学在解分式的化简求值题时，发现所得答案与参考答案不同．下面是他所解的题目和解答过程：先化简（1），再将x＝5代入求值．解：原式1……第1步第2步第3步第4步第5步第6步当x＝5时，原式第7步(1)以上步骤中，第步出现了错误，导致结果与答案不同，错误的原因是；(2)请你把正确的解答过程写出来；(3)请你提出一条解答这类题目的建议．角度4：分式化简求值典型例题例题1．（2022·新疆·吐鲁番市高昌区第一中学八年级期中）先化简，再求值：，其中．例题2．（2022·江苏·靖江市滨江学校九年级阶段练习）先化简，冉求值，其中满足．例题3．（2022·福建省泉州实验中学三模）先化简后求值，其中．例题4．（2022·西藏·林芝市广东实验中学八年级期中）先化简，再求值：，其中，．同类题型归类练1．（2022·巴中四川师范大学附属第四实验中学九年级阶段练习）先化简，再求值：，其中a是方程的解．2．（2022·湖南·临武县第三中学八年级期中）先化简再求值：，再在，0，1，2中选择一个合适的数代入求值．3．（2022·四川·仁寿县鳌峰初级中学九年级期中）先化简，再求值，其中4．（2022·福建·泉州七中九年级阶段练习）化简并求值：，其中．角度5：整数指数幂运算典型例题例题1．（2022·山东临沂·二模）下列运算正确的是（

）A． B． C． D．例题2．（2022·江苏·扬州市江都区第三中学七年级阶段练习）计算：(1)(2)同类题型归类练1．（2022·河南南阳·八年级期中）计算：(1)．(2)（要求结果不含负整数指数幂）．2．（2022·江苏扬州·七年级阶段练习）计算：(1)；(2)角度6：负指数幂与科学记数法典型例题例题1．（2022·湖南·新化县东方文武学校八年级期中）2010年，国外科学家成功制造出世界上最小的晶体管，只有，请用科学记数法表示它的长度（

）A． B． C． D．例题2．（2022·四川·眉山市东坡区尚义镇象耳初级中学八年级期中）已知某种植物孢子的半径为150000nm，1nm＝10-9m，用科学计数法表示该孢子的半径是（

）A． B． C． D．同类题型归类练1．（2022·福建·泉州市第六中学八年级期中）现代比较先进的光学显微镜可以观测0.0000005米．将0.0000005用科学记数法表示为（

）A． B． C． D．2．（2022·广东·深圳市宝安中学（集团）模拟预测）据研究发现，奥密克戎是一种新型冠状病毒，冠状病毒的平均直径为100nm，已知1nm=m，那么用科学记数法表示冠状病毒的平均直径为（

）A．1×10-9m B．0.1×10-8m C．1×10-7m D．1×10-8m第四部分：中考真题感悟1．（2022·四川·巴中市教育科学研究所中考真题）下列运算正确的是（

）A． B． C． D．2．（2022·湖北黄石·中考真题）函数的自变量x的取值范围是（

）A．且 B．且 C． D．且3．（2022·内蒙古内蒙古·中考真题）计算：．4．（2022·西藏·中考真题）计算：．5．（2022·江苏镇江·中考真题）（1）计算：；（2）化简：．6．（2022·辽宁阜新·中考真题）先化简，再求值：，其中．7．（2022·江苏徐州·中考真题）计算：(1)；(2)．8．（2022·宁夏·中考真题）下面是某分式化简过程，请认真阅读并完成任务．第一步第二步第三步第四步任务一：填空①以上化简步骤中，第______步是通分，通分的依据是______．②第______步开始出现错误，错误的原因是______．任务二：直接写出该分式化简后的正确结果．9．（2022·广东深圳·中考真题）先化简，再求值：其中10．（2022·山东潍坊·中考真题）（1）在计算时，小亮的计算过程如下：解：小莹发现小亮的计算有误，帮助小亮找出了3个错误．请你找出其他错误，参照①～③的格式写在横线上，并依次标注序号：①；②；③；____________________________________________________________________________．请写出正确的计算过程．（2）先化简，再求值：，其中x是方程的根．第3讲分式（精讲）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：课前自我评估测试第三部分：典型例题剖析题型一：分式的定义题型二：分式有意义的条件题型三：分式的值题型四：分式的基本性质角度1：判断分式变形是否正确角度2：利用分式基本性质变形成立条件角度3：利用分式基本性质判断分式值的变化角度4：分式分子分母最高项化正角度5：分式分子分母系数化整题型五：约分与最简分式题型六：通分与最简公分母题型七：分式的运算角度1：分式的加减角度2：分式的乘除角度3：分式的混合运算角度4：分式化简求值角度5：整数指数幂运算角度6：负指数幂与科学记数法第四部分：中考真题感悟第一部分：知识点精准记忆知识点一：分式的有关概念1．分式：一般地，如果，表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式．对于分式来说：①当时，分式有意义；②当时，分式没有意义；③只有在同时满足且这两个条件时，分式的值才是零．2．最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式．3．约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．约分时，如果分式的分子或分母是多项式，要先分解因式，再约去分子和分母所有的公因式.4．通分：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分．通分的关键是确定几个分式的最简公分母.通分步骤：①定最简公分母；②化异分母为最简公分母.5．最简公分母：一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．确定最简公分母步骤：①定系数：取各分母系数的最小公倍数；②定字母：取分式分母中的所有字母；③定指数：取各个字母的最高指数知识点二：分式的基本性质基本性质：分式的分子与分母都乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变.即（）或（），其中是整式.符号法则：分子、分母与分式的符号，改变其中任何两个，分式的值不变．即.知识点三：分式的运算1、分式的加减①同分母：分母不变，分子相加减：②异分母：先通分，变为同分母的分式，再加减：2、分式的乘除和乘方①乘法：用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母：②除法：把除式的分子分母颠倒位置，与被除式相乘：（）③乘方：分式的乘方要把分子，分母分别乘方:（为正整数）3、分式的混合运算顺序：先乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面．第二部分：课前自我评估测试1．（2022·湖南·新化县东方文武学校八年级期中）若分式的值为0，则x的值为（）A．0 B．1 C． D．【答案】C【详解】解：∵分式的值为0，∴，，∴，，故选：C．2．（2022·湖南·岳阳市第十九中学八年级阶段练习）根据分式的基本性质，分式可变形为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：，故选：C．3．（2022·湖南·涟源市湄江镇大江口中学八年级阶段练习）计算的结果是（）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：；故选D．4．（2022·山东·泰安市泰山区树人外国语学校八年级阶段练习）若代数式有意义，则实数的取值范围是__________．【答案】【详解】解：∵代数式有意义，分母不能为0，∴，即，故答案为：．5．（2022·湖南·新化县东方文武学校八年级期中）当时，求的值【答案】【详解】解：当时，．第三部分：典型例题剖析题型一：分式的定义典型例题例题1．（2022·山东·济宁市第十五中学八年级阶段练习）在式子、、、、、、中，分式的个数是（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【详解】解：∵在式子、、、、、、中，分式有：、、、，∴分式有个．故选：A．例题2．（2022·广东·佛山市南海区桂城街道桂江第二初级中学八年级阶段练习）下列代数式中，是分式的是（）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：A．是分数，是单项式，故该选项不合题意；B．分母是常数，是单项式，故该选项不合题意；C．分母是常数，是单项式，故该选项不合题意；D．正确．故选D．同类题型归类练1．（2022·河北·北师大石家庄长安实验学校八年级阶段练习）代数式的家中来了几位客人：，，，，，其中属于分式家族成员的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【详解】解：，，，的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式；，，的分母中含有字母，因此是分式．故分式有3个，故选：C．2．（2022·四川遂宁·八年级期末）下列各式：，，，，，，中，分式有（

）个A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【详解】解：分式有：，，，，共有4个．故选：C．题型二：分式有意义的条件典型例题例题1．（2022·四川·眉山市东坡区尚义镇象耳初级中学八年级期中）的取（

）值时，代数式有意义．A． B． C． D．【答案】C【详解】解：由题意得，，解得，故选：C例题2．（2022·全国·八年级单元测试）在函数中，自变量的取值范围是（

）A． B． C．且 D．【答案】C【详解】解：由题意得：且，解得：且，故选：C．例题3．（2022·黑龙江·哈尔滨市第四十七中学九年级阶段练习）在函数中，自变量的取值范围是__________．【答案】x≠-2【详解】解：由题意得，3x+6≠0，解得x≠-2．故答案为：x≠-2．同类题型归类练1．（2022·甘肃·平凉市第十中学九年级阶段练习）在函数中，自变量的取值范围是______．【答案】【详解】要使分式有意义，即：，解得：．故答案为：．2．（2022·湖南·李达中学九年级阶段练习）函数y＝的自变量x的取值范围是_____．【答案】x≥2且x≠3##x≠3且x≥2【详解】解：由题意得：，解得：x≥2且x≠3，故答案为：x≥2且x≠3．题型三：分式的值典型例题例题1．（2022·湖北·建始县花坪民族中学九年级期中）若，则的值是（）A． B．2 C． D．1【答案】A【详解】解：∵，∴，∴；故选：A．例题2．（2022·山东·威海市第七中学九年级阶段练习）若成立，则的取值范围是______________【答案】【详解】解：∵分式的分母不能为零，∴，，即，，∴成立，∴a的取值范围是．故答案为：．例题3．（2022·浙江舟山·七年级期末）若表示一个整数，则整数可取的个数有______个．【答案】4【详解】解：∵为整数，∴2x+3为1，3，当2x+3=1，即x=-1时，原式=-2；当2x+3=-1，即x=-2时，原式=4；当2x+3=3，即x=0时，原式=0；当2x+3=-3，即x=-3时，原式=2．∴x的值可取0，-1，-2，-3．故答案为：4．例题4．（2022·江苏·滨海县八巨初级中学八年级阶段练习）阅读下列材料，然后解答后面的问题我们知道：分式和分数有着很多的相似点．如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质，等等．小学里，把分子比分母小的分数叫做真分数．类似的，对于只含有一个字母的分式，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式，如．(1)下列分式中，属于真分式的是（

）A．

B．

C．

D．(2)将假分式，化成整式和真分式的和的形式．(3)当m取哪些整数时，分式的值也是整数？【答案】(1)A(2)(3)-1或0或2或3（1）解：∵分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．∴是真分式，，，是假分式，故选A（2）（3）解：∵，m为整数，∴或或或解得：或或或同类题型归类练1．（2022·湖北·华中师范大学第一附属中学光谷分校九年级阶段练习）若a是一元二次方程的一个根，则代数式的值是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：∵a是一元二次方程的一个根，∴，且∴，∴，故选B．2．（2022·江苏·无锡市钱桥中学九年级阶段练习）已知，则的值是（

）A．－5 B．5 C．－4 D．4【答案】B【详解】解：，，，故选：B．3．（2022·河北·保定市第一中学分校九年级开学考试）已知a2+b2＝6ab，则的值为（）A． B． C．2 D．±2【答案】B【详解】解：∵a2+b2＝6ab,∴（a＋b）2＝8ab,（a−b）2＝4ab,∴，∴＝．故选B．4．（2022·河北·北师大石家庄长安实验学校八年级阶段练习）已知，那么分式的值为__．【答案】##0.2【详解】解：将两边同时乘以x得：，将两边同时平方得：，将两边同时减去得：，所以．故答案为：．题型四：分式的基本性质角度1：判断分式变形是否正确典型例题例题1．（2022·上海市罗南中学九年级阶段练习）已知，则下列各式中不正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：∵x：y=3：2，∴设x=3a，y=2a，∴，，，，∴选项A、B、C都正确，选项D错误，故选：D．例题2．（2022·河北·邢台市第八中学八年级阶段练习）下列运算中，错误的是（）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：A、，故本选项错误；B、，故本选项正确；C、，故本选项正确；D、，故本选项正确．故选：A．例题3．（2022·江苏南京·八年级期末）下列式子从左到右变形一定正确的是（）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：A．，故A选项不符合题意；B．，故B选项不符合题意；C．，故C选项不符合题意；D．，故D选项符合题意，故选：D．例题4．（2022·福建省泉州实验中学八年级阶段练习）下列代数式变形正确的是（）A．＝﹣ B． C．＝ D．＝【答案】C【详解】解：A.＝﹣，原变形错误，不合题意；B.当z=0时，不成立，不合题意；C.＝，变形正确，符合题意；D.＝，原变形错误，不合题意，故选：C．同类题型归类练1．（2022·江苏·靖江市滨江学校八年级阶段练习）下列式子从左至右变形不正确的是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：A、，故A符合题意．B、，故B不符合题意．C、，故C不符合题意．D、，故D不符合题意．故选：A．2．（2022·河北·石家庄石门实验学校八年级期末）小马虎在下面的计算中只做对了一道题，他做对的题目是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：A、，此选项错误；B、，此选项错误；C、，此选项正确；D、，此选项错误．故选：C．3．（2022·湖南·衡阳师范学院祁东附属中学八年级期中）下列代数式变形正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】解：A、原式=，故此选项不符合题意；B、原式=，故此选项不符合题意；C、原式=，故此选项符合题意；D、原式=，故此选项不符合题意；故选：C．4．（2022·山东烟台·八年级期末）已知，则下列说法错误的是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：∵，∴设，，A．，说法正确，不符合题意；B．，∴，该项说法错误，符合题意；C．，说法正确，不符合题意；D．，，故，说法正确，不符合题意；故选：B．角度2：利用分式基本性质变形成立条件典型例题例题1．（2022·湖南邵阳·八年级期末）若分式中的和都扩大3倍，且分式的植不变，则□可以是（

）A．2 B． C． D．【答案】C【详解】解：∵x和y都扩大3倍，∴2xy扩大到原来的：3×3＝9倍，∵分式的值不变，∴x2+□也扩大到原来的9倍，∵x扩大3倍，x2扩大到原来的9（32＝9）倍，∴□也要扩大到原来的9倍，∵y扩大3倍，y、3y都扩大到原来的3倍，y2扩大到原来的9（32＝9）倍，∴□可以是y2．故选：C．例题2．（2022·河北·一模）只把分式中的，同时扩大为原来的3倍后，分式的值也不会变，则此时的值可以是下列中的（

）A．2 B． C． D．【答案】C【详解】解：∵中的，同时扩大为原来的3倍后，分式的值也不会变，∴为含或的一次单项式，故只有C符合题意．故选C．例题3．（2022·江西景德镇·八年级期末）利用分式的基本性质填空：．【答案】【详解】解：∵，∴，故答案为：．同类题型归类练1．（2022·四川·仁寿县黑龙滩镇光相九年制学校八年级期末）若，的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】当、都扩大3倍时，A、，故A错误．B、，故B错误．C、，故C错误．D、，故D正确．故选D．2．（2022·山东省济南第十二中学八年级阶段练习）若＝成立，则x的取值范围是___【答案】x≠-1【详解】解：∵＝，∴x+1≠0，解得：x≠-1，故答案为：x≠-1．角度3：利用分式基本性质判断分式值的变化典型例题例题1．（2022·湖南·临湘市第六中学八年级阶段练习）如果把分式中的，都扩大10倍，则分式的值（

）A．缩小10倍 B．扩大10倍 C．不变 D．缩小到原来的【答案】B【详解】解：分别用10x，10y去代换原分式中的x、y，得．故选：B．例题2．（2022·吉林·长春市第八十七中学八年级阶段练习）如果把分式中的，都扩大2倍，那么分式的值（

）A．不变 B．缩小2倍 C．扩大2倍 D．无法确定【答案】C【详解】解：把分式中的，都扩大2倍，可得：，∴把分式中的，都扩大2倍，分式的值扩大了2倍．故选：C例题3．（2022·湖南·岳阳县甘田中学八年级阶段练习）．【答案】1【详解】解：．故答案为：1．例题4．（2022·山东济南·八年级期中）阅读材料题：已知：，求分式的值．解：设，则，，①；所以②．(1)上述解题过程中，第①步运用了的基本性质；第②步中，由求得结果运用了的基本性质；(2)参照上述材料解题：已知：，求分式的值．【答案】(1)等式，分式(2)（1）解：上述解题过程中，第①步运用了等式的基本性质，第②步中，由求得结果运用了分式的基本性质的基本性质．故答案为：等式，分式；（2）解：设，则，，，∴，∴分式的值为：．同类题型归类练1．（2022·山东·济宁市第十五中学八年级阶段练习）如果把的与（，均为正）都扩大10倍，那么这个代数式的值（

）A．不变 B．扩大50倍 C．扩大10倍 D．缩小到原来的【答案】D【详解】解：把的与（，均为正）都扩大10倍，可得：，∴这个代数式的值缩小到原来的．故选：D2．（2022·广东·佛山市南海区桂城街道映月中学八年级阶段练习）如果把分式中的x、y的值都扩大为原来的3倍，那么分式的值（

）A．不变 B．扩大为原来的3倍C．扩大为原来的6倍 D．扩大为原来的9倍【答案】A【详解】解：由题意得：，∴如果把分式中的x、y的值都扩大为原来的3倍，那么分式的值不变，故选：A．3．（2022·浙江·湖州市埭溪镇上强中学七年级阶段练习）将分式中的a、b都扩大为原来的3倍，则分式的值（

）A．不变 B．扩大为原来的9倍C．扩大为原来的6倍 D．扩大为原来的3倍【答案】D【详解】解：由题意，得，故选：D．4．（2022·福建·厦门外国语学校八年级阶段练习）如果把分数的分子、分母分别加上正整数a、b，结果等于，那么的最小值是（

）．A．26 B．28 C．30 D．32【答案】B【详解】解：根据题意，得，设，其中k为正整数．两式相加，得．因为a、b为正整数，所以必为正整数．所以，解得，，且k为正整数．当时，，不合题意，舍去；当时，；所以的最小值是28；故选：B．5．（2022·广东·佛山市顺德区文德学校八年级阶段练习）如果把分式中的m和n都扩大3倍，那么分式的值（

）A．不变 B．扩大3倍 C．缩小到原来的 D．扩大9倍【答案】A【详解】解：m和n都扩大3倍时，原分式变为：，即把分式中的m和n都扩大3倍，那么分式的值不变．故选A．角度4：分式分子分母最高项化正典型例题例题1．（2022·湖北·云梦县实验外国语学校模拟预测）不改变分式的值，使分子、分母的第一项系数都是正数，则＝_____．【答案】【详解】原式＝＝，故答案为：例题2．（2022·全国·八年级专题练习）不改变分式的值，使分子、分母中次数最高的项的系数都化为正数．①；②；③；④．【答案】①；②；③；④【详解】解：①；②；③；④例题3．（2022·陕西渭南·八年级期末）小明在解一道分式方程，过程如下：第一步：方程整理第二步：去分母……(1)请你说明第一步和第二步变化过程的依据分别是___________、___________；(2)请把以上解分式方程过程补充完整．【答案】(1)分式的基本性质；等式的基本性质(2)见解析（1）解：第一步是将分式的分子与分母同时乘以，依据是分式的基本性质，第二步是将方程的两边同乘以去分母，依据是等式的基本性质，故答案为：分式的基本性质；等式的基本性质．（2）解：，第一步：方程整理，第二步：去分母，第三步：去括号，第四步：移项，第五步：合并同类项，第六步：系数化为1得，第七步：经检验，是分式方程的解．同类题型归类练1．（2022·全国·八年级专题练习）不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号．（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【详解】解：（1）（2）（3）（4）2．（2022·福建·厦门市松柏中学八年级期末）小明在解分式方程时，过程如下：第一步：方程整理第二步：去分母……(1)请你说明第一步和第二步变化过程的依据分别是、．(2)请把以上解分式方程的过程补充完整．【答案】(1)分式的基本性质，等式的性质；(2)．(1)第一步：根据分式的基本性质将等式右边分子分母都乘以-1方程整理，第二步：去分母根据等式的性质，等式两边都乘以（x-3），故答案为：分式的基本性质，等式的性质；(2)解：，第一步：方程整理，第二步：去分母得：，去括号得，移项合并得，系数化1得．检验：当时，，∴是分式方程的根．角度5：分式分子分母系数化整典型例题例题1．（2022·山东滨州·八年级期末）把分式的分子与分母各项系数化为整数，得到的正确结果是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：给分式的分子和分母同乘以12，得：==，故选：B．例题2．（2022·浙江湖州·七年级期末）有下列说法：①在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；②把分式的分子和分母中的各项系数都化成整数为；③无论k取任何实数，多项式总能进行因式分解；④若，则t可以取的值有3个，其中正确的说法是（

）A．①④ B．①③④ C．②③ D．①②【答案】A【详解】解：①按照平行公理可判断在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项正确；②把分式的分子和分母中的各项系数都化成整数为，故本选项不正确；③当k为负值时，多项式x2-ky2不能分解成两个一次因式积的形式，故本选项不正确；④当2t=0即t=0时，（t-2）2t=（-2）0=1，当t-2=1即t=3时，（t-2）2t=16=1，当t-2=-1即t=1时，（t-2）2t=（-1）2=1，t可以取的值有3个，故本选项正确；综上正确的说法是①④．故选：A．例题3．（2022·山东·东平县实验中学八年级阶段练习）不改变分式的值，把分式的分子和分母各项系数都化成整数：=______．【答案】【详解】解：原式．故答案为：．例题4．（2022·江苏·八年级专题练习）我们知道：分式和分数有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质，等等．小学里，把分子比分母小的数叫做真分数．类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式．如：==1+．（1）请写出分式的基本性质；（2）下列分式中，属于真分式的是；A．B．C．﹣D．（3）将假分式，化成整式和真分式的形式．【答案】（1）分式的分子和分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的分式值不变；（2）C；（3）=m﹣1+【详解】（1）分式的分子和分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的分式值不变．（2）根据题意得：选项C的分子次数是0，分母次数是1，分子的次数小于分母的次数是真分式．而其他选项是分子的次数均不小于分母的次数的分式，故ABD选项是假分式，故选：C．（3）∵=m﹣1+，∴故答案为：m﹣1+．同类题型归类练1．（2022·河北保定·一模）不改变分式的值，将分式中的分子、分母的系数化为整数，其结果为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：，故选：A.2．（2022·浙江浙江·七年级期末）不改变分式的值，把它的分子分母的各项系数都化为整数，所得结果正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：，故选：C．3．（2022·全国·八年级专题练习）不改变分式的值，把下列各式的分式与分母中各项的系数都化为整数．①；②；③；④．【答案】①；②；③；④【详解】解：①，②，③，④4．（2022·江苏·八年级专题练习）不改变分式的值，把下列分式的分子、分母中各项的系数化为整数．（1）

（2）．【答案】（1）；（2）．【详解】解：（1）原式；（2）原式=；题型五：约分与最简分式典型例题例题1．（2022·新疆·吐鲁番市高昌区第一中学八年级期中）下列运算结果为的是（）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：A、与不一定相等，不符合题意；B、，符合题意；C、与不一定相等，不符合题意；D、与不一定相等，不符合题意；故选B．例题2．（2022·湖南·临武县第六中学八年级阶段练习）分式，，，中，最简分式有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【详解】解：∴最简分式有，，共2个，故选B.例题3．（2022·湖南·临武县第三中学八年级期中）化简：________；=________．【答案】

【详解】解：；．故答案为：；例题4．（2022·广东·佛山市南海区桂城街道映月中学八年级阶段练习）化简：______．【答案】【详解】解：，故答案为：．例题5．（2022·河南·上蔡县第六初级中学八年级阶段练习）下列四个分式：、、、，其中最简分式有__________个．【答案】2##两【详解】解：是最简分式，，不是最简分式，是最简分式，，不是最简分式，故最简分式有2个，故答案为：2．同类题型归类练1．（2022·河北·邢台市第六中学八年级阶段练习）小明计算了四个分式，其中有一个结果忘记了约分，是下面中的（

）①，②，③，④A．① B．② C．③ D．④【答案】D【详解】解：，，都是最简分式，，故④符合题意；故选：D2．（2022·甘肃·甘州中学八年级期中）下列各式是最简分式的是（）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：A．＝，原式不是最简分式，故本选项错误；B．＝，原式不是最简分式，故本选项错误；C．中分子、分母不含公因式，原式是最简分式，故本选项正确；D．＝＝x，原式不是最简分式，故本选项错误．故选：C．3．（2022·湖南·临武县第六中学八年级阶段练习）将分式约分后得_________。【答案】【详解】解：故答案为：.4．（2022·宁夏·灵武市第二中学八年级期末）下列分式：①；②；③；④中，最简分式是______．【答案】②③##③②【详解】解：，因此①不是最简分式；中分子和分母没有公因式，因此②是最简分式；中分子和分母没有公因式，因此③是最简分式；，因此④不是最简分式；故答案为：②③．5．（2022·河北·邢台市第八中学八年级阶段练习）化简：(1)；(2)．【答案】(1)；(2)．（1）解：===．（2）解：====．题型六：通分与最简公分母典型例题例题1．（2022·河北·邢台市第六中学八年级阶段练习）若将分式与通分，则分式的分子应变为（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】解：分式与的公分母是，则分式的分子应变为．故选：A．例题2．（2022·新疆·吐鲁番市高昌区第一中学八年级期中）分式和的最简公分母是___________【答案】##【详解】分式和的最简公分母是故答案为：．例题3．（2022·湖南·新化县东方文武学校八年级期中）把，通分，则=________，=__________.【答案】

【详解】解：，，故答案为：，．例题4．（2022·广东·丰顺县球山中学九年级开学考试）通分：(1)，，；(2)，，．【答案】(1)，，(2)，，（1）解：∵，，∴，，的最简公分母为：，∴三个分式通分为：，，．（2）解：∵，，，∴分式，，的最简公分母为：，三个分式通分为：，，．同类题型归类练1．（2022·贵州遵义·八年级期末）在计算通分时，分母确定为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】，计算通分时，分母确定为．故选B2．（2022·山东·济宁北湖省级旅游度假区石桥镇中学八年级阶段练习）下列三个分式，，中的最简公分母是______．【答案】【详解】解：三个分式，，的最简公分母是；故答案为：．3．（2022·湖南·明德湘南学校八年级阶段练习）三个分式：，，的最简公分母是_____________．【答案】【详解】解：∵，∴、、的最简公分母为．故答案为：．4．（2022·江苏扬州·八年级阶段练习）分式、与的最简公分母是______．【答案】【详解】分式，，的分母分别为：ab，，，故最简公分母是：．故答案为：．5．（2022·江苏南京·八年级期末）分式和的最简公分母为___________．【答案】2(a＋b)(a－b)【详解】解：，所以两个分式的最简公分母为2（a+b）（a-b），故答案为：2(a＋b)(a－b)题型七：分式的运算角度1：分式的加减典型例题例题1．（2022·湖南·岳阳县甘田中学八年级阶段练习）计算：，结果为（）A．1 B． C． D．【答案】A【详解】解：故选：A例题2．（2022·湖南·岳阳县甘田中学八年级阶段练习）计算：=___________．【答案】##【详解】解：故答案为：例题3．（2022·福建省泉州实验中学八年级期中）化简，结果等于________．【答案】2【详解】解：故答案为：2例题4．（2022·北京昌平·八年级期中）计算：【答案】【详解】解：原式＝．例题5．（2022·浙江嘉兴·七年级期末）化简：．小明的解法如下框：解：原式小明的解答是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请写出你的解答过程．【答案】小明的解答错误，解答过程见解析【详解】解：小明的解答错误，解答过程如下：同类题型归类练1．（2022·北京市三帆中学模拟预测）如果，且，那么代数式的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：原式，，，原式，故选：B．2．（2022·湖北·武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）九年级阶段练习）化简的结果是______．【答案】【详解】解：．故答案为：．3．（2022·浙江杭州·七年级期末）化简：___．【答案】【详解】解：原式．故答案为：．4．（2022·浙江舟山·七年级期末）化简：言言同学的解答如下：言言同学的解答正确吗？如果不正确，请写出正确的解答过程．【答案】不正确，过程见解析【详解】不正确．解答如下：．角度2：分式的乘除典型例题例题1．（2022·四川·东坡区实验中学八年级期中）下列各式中，计算结果正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】解：A、，故该选项不符合题意；B、，故该选项不符合题意；C、，故该选项符合题意；D、，故该选项不符合题意；故选：C．例题2．（2022·江苏·灌南县扬州路实验学校八年级阶段练习）计算：=________；=________；＝_______．【答案】

【详解】解：；；；故答案为：，，．例题3．（2022·新疆·吐鲁番市高昌区第一中学八年级期中）计算：(1)(2)(3)【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）解：；（2）解：；（3）解：．同类题型归类练1．（2022·吉林·长春市第八十七中学八年级阶段练习）计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)（1）解：；（2）解：．2．（2022·山东·宁阳县第十一中学八年级阶段练习）计算(1)(2)(3)(4)(5)(6)【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．3．（2022·宁夏·灵武市第二中学八年级期末）计算(1)(2)【答案】(1)(2)（1）解：．（2）解：．角度3：分式的混合运算典型例题例题1．（2022·湖南·明德湘南学校八年级阶段练习）计算(1)(2)(3)(4)【答案】(1)(2)(3)(4)（1）原式＝．（2）原式．（3）原式．（4）原式．例题2．（2022·上海·七年级单元测试）计算：(1)(2)(3)(4).(5)(6).(7)(8).(9)【答案】(1)；(2)；(3)；(4)；(5)(6)；(7)；(8)；(9)（1）原式；（2）原式；（3）原式===；（4）原式=====；（5）=====；（6）原式；（7），，，，，；（8）原式；（9）原式，，，，，．例题3．（2022·辽宁·大连市第七十六中学八年级阶段练习）计算：．【答案】【详解】解：例题4．（2022·福建师范大学附属中学初中部八年级期末）已知，求代数式的值．【答案】-1【详解】解：原式，当时，原式．例题5．（2022·北京昌平·八年级期中）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，则是“和谐分式”．(1)下列分式中，属于“和谐分式”的是

（填序号）；①②③④(2)请将“和谐分式”化为一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，并写出化简过程；(3)应用：先化简，并求取什么整数时，该式的值为整数．【答案】(1)②③(2)，过程见解析(3)，当，该式的值是整数，【详解】（1）解：①，不是“和谐分式”，②，是“和谐分式”，③，是“和谐分式”，④，不是“和谐分式”，故答案为：②③；（2）解：；（3）解：，∵为整数，∴，∴当时，是整数，又∵．∴时，原式的值是整数．同类题型归类练1．（2022·江苏·滨海县八巨初级中学八年级阶段练习）计算(1)(2)【答案】(1)(2)（1）解：（2）2．（2022·全国·八年级专题练习）计算(1)；(2)；(3)．(4)【答案】(1)(2)(3)(4)（1）解：原式，故答案是：．（2）解：原式，故答案是：．（3）解：原式故答案是：．（4）解：原式，故答案是：．3．（2022·广东·深圳市龙华区丹堤实验学校模拟预测）某同学在解分式的化简求值题时，发现所得答案与参考答案不同．下面是他所解的题目和解答过程：先化简（1），再将x＝5代入求值．解：原式1……第1步第2步第3步第4步第5步第6步当x＝5时，原式第7步(1)以上步骤中，第步出现了错误，导致结果与答案不同，错误的原因是；(2)请你把正确的解答过程写出来；(3)请你提出一条解答这类题目的建议．【答案】(1)一、没按照正确的运算顺序计算(2)，当x＝5时，原式(3)要正确应用运算律（1）解：第一步出现了错误，没按照正确的运算顺序计算，故答案为：一、没按照正确的运算顺序计算；（2）原式[1]（）•，当x＝5时，原式；（3）解题反思（不唯一）：要正确应用运算律．角度4：分式化简求值典型例题例题1．（2022·新疆·吐鲁番市高昌区第一中学八年级期中）先化简，再求值：，其中．【答案】，【详解】解：当时，原式例题2．（2022·江苏·靖江市滨江学校九年级阶段练习）先化简，冉求值，其中满足．【答案】，或【详解】解：∵，∴，∴原式，对于来说，∵，∴，∴，∴当时，原式